大きな数の名前

英語やその他のヨーロッパ言語では、近世以降、大きな数を表すために長スケールと短スケールという 2 つの命名スケールが使われてきました。現在ではほとんどの英語の変種で短スケールが使用されていますが、大陸ヨーロッパやラテンアメリカのスペイン語圏の国々など、英語圏以外の多くの地域では長スケールが依然として主流です。これらの命名手順は、 10 ^{3 n +3} (短スケール) または 10 ^{6 n} (長スケール) の数nを取り、その一位、十位、百位のラテン語語根と接尾辞-illionを連結することに基づいています。

1 兆を超える数の名前は実際にはめったに使用されません。このような大きな数は主に科学分野で実用的に使用され、10 の累乗は数字の上付き文字で10と表されます。ただし、これらのやや珍しい名前は、近似値を表す場合に許容されると考えられています。たとえば、「成人の人体には約 7.1 オクティリオンの原子がある」という記述は、下の表の短いスケールであると理解されます (長いスケールではなく短いスケールを参照している場合にのみ正確です)。

インド英語では百万は使用しないが、lakhs（英語ではlacs）やcroresなど、独自の大きな数の表記法がある。^{[1]英語には「zillion」など、大きいが不特定の量を意味する非公式な単語も多数ある。}不定数と架空の数を参照。

使用法：

• 短期規模:米国、イギリス領カナダ、現代イギリス、オーストラリア、東ヨーロッパ
• ロングスケール：フランス領カナダ、古いイギリス、西ヨーロッパと中央ヨーロッパ

millionを除き、このリストで - illionで終わる単語はすべて、語幹 - illionに接頭辞（ラテン語由来のbi -、tri - など）を追加することによって派生しています。^[11] Centillion ^[12]は、これらの辞書に含まれる -"illion" で終わる名前の中で最大の名前のようです。大きな数の名前の議論でよく単語として引用されるtrigintillion は、これらの辞書のいずれにも含まれていません。また、命名パターンを拡張することで簡単に作成できる名前（unvigintillion、duovigintillion、duoquinquagintillion など）も含まれていません。

全ての辞書にgoogolとgoogolplexが含まれており、一般的には Kasner と Newman の本と Kasner の甥 (下記参照) に帰属している。どの辞書にも googol ファミリーの上位の名前 (googolduplex など) は含まれていない。Oxford English Dictionary は、googolとgoogolplex は「正式な数学的使用法ではない」 とコメントしている。

百万、十億、兆などの大きな数の名前には、人間の経験において実際の指示対象があり、多くの文脈、特に金融と経済で遭遇する。時には、ハイパーインフレの結果として、大きな数の名前が一般的に使用されることを余儀なくされた。これまでに印刷された最高額の紙幣は、 1946年にハンガリーで印刷された1セクスティリオンペンゴ（印刷された文字どおりには10の^21乗、10億ビルペンゴ）の紙幣である。2009年にジンバブエは100兆（10の^14乗）ジンバブエドル紙幣を印刷したが、印刷当時は約30米ドルの価値があった。^[13]世界経済では、2024年にロシアの報道機関RBKが、ロシアにおけるグーグルに対する訴訟の合計額が2兆ルーブル（2 x 10 ³⁶）ルーブル、または20兆ドル（2 x 10 ³⁴）であると報じた際に、はるかに大きな数字の名前が使われました。これは、世界のすべての金融資産を合わせた額よりも大きい金額です。^[14]クレムリンの報道官ドミトリー・ペスコフは、この数字は象徴的なものだと述べました。^[15]

しかし、大きな数の名前は、定義、リスト、大きな数の命名方法に関する議論以外ではめったに見られない、曖昧で人工的な存在です。600万のようなよく知られた名前でさえ、めったに使用されません。なぜなら、そのような大きな数が頻繁に登場する天文学を含む科学の文脈では、それらはほぼ常に科学的記法を使用して記述されるからです。この記法では、10の累乗は数字の上付き文字で10として表されます。たとえば、「電波銀河のX線放射は1.3 × 10 ⁴⁵ ジュール。」 10 ⁴⁵のような数字を言葉で表す必要がある場合は、単に「10の45乗」または「10の45乗」と読みます。これは、長いスケールと短いスケールで意味が異なる「quattuordecillion」よりも言いやすく、曖昧さも少なくなります。

数字が数ではなく量を表す場合、SI 接頭辞を使用できます (つまり、「1 兆分の 1 秒」ではなく「フェムト秒」)。ただし、非常に高い接頭辞と非常に低い接頭辞の代わりに、10 の累乗が使用されることがよくあります。場合によっては、天文学者のパーセクや光年、素粒子物理学者のバーンなどの特殊な単位が使用されることもあります。

それでも、大きな数字には知的な魅力があり、数学的な興味をそそるものであり、名前を付けることは人々が数字を概念化し理解しようとする方法の 1 つです。

その最も初期の例の 1 つが『砂の計算者』で、アルキメデスは大きな数の命名システムを提示しました。このために、彼は無数の無数(10 ⁸ ) までの数を「最初の数」と呼び、10 ⁸自体を「2 番目の数の単位」と呼びました。この単位の倍数が 2 番目の数となり、この単位の無数無数倍、つまり 10 ⁸ ·10 ⁸ =10 ¹⁶になりました。これが「3 番目の数の単位」となり、その倍数が 3 番目の数となり、以下同様に続きます。アルキメデスは、10 8 番目の数の単位の無数無数倍まで、つまり10 16までの数に名前を付け続けました。そして、この構成を別のコピーに埋め込み、最大で10 ^{8番目の数に名前を付けました。次にアルキメデスは、既知の宇宙を満たすのに必要な砂粒の数を推定し、それが「8 番目の数の千無数」(10 63} )を超えないことを発見しました。 ${\displaystyle (10^{8})^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{8}},}$${\displaystyle ((10^{8})^{(10^{8})})^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{16}}.}$

それ以来、想像の外には存在しない数字を概念化し、名前を付ける研究に取り組んだ人は大勢いる。そうした研究の動機の 1 つは、有限の数字には必ず「名前がなければならない」と確信していた、グーゴルという言葉の発明者によるものだ。もう 1 つの動機は、コンピューター プログラミング コースの学生間の競争である。このコースでは、数字を英語の単語の形で出力するプログラムを書くという課題がよく行われる。^{[引用が必要]}

大きな数に提案される名前のほとんどは、拡張可能な体系的なスキームに属しています。したがって、大きな数の名前の多くは、命名システムを論理的な結論までたどった結果、またはそれをさらに拡張した結果にすぎません。^{[引用が必要]}

bymillionとtrimillionという単語は、1475 年にJehan Adamの原稿に初めて記録されました。その後、Nicolas Chuquet がTriparty en la science des nombresという本を書きましたが、これは Chuquet の存命中には出版されませんでした。しかし、その大部分はEstienne de La Rocheによって 1520 年の著書L'arismetiqueの一部として書き写されました。Chuquet の本には、6 桁のグループに分けられた大きな数を示す一節があり、次のようなコメントが添えられています。

Ou qui veult le premier point peultsigniffier million Le 2nd point billion Le tiers point trillion Le quart quadrillion Le cinq ^e quyllion Le six ^e sixlion Le sept. ^e septyllion Le huyt ^e ottyllion Le neuf ^e nonyllion et ainsi des ault's ^se plus oultre on vouloit preceder

(または、最初のマークが百万、2 番目のマークが億、3 番目のマークが一兆、4 番目の千兆、5 番目の千兆、6 番目の六兆、7 番目の七兆、8 番目の十兆、9 番目の九兆など、好きなだけ他の数を表すこともできます)。

アダムとシュケは百万の累乗の長い目盛りを使用しました。つまり、アダムの百万の累乗(シュケの百万の累乗) は 10 ¹²を表し、アダムの三百万の累乗(シュケの三百万の累乗) は 10 ¹⁸を表します。

グーゴルとグーゴルプレックスという名前はエドワード・カスナーの甥ミルトン・シロッタによって考案され、カスナーとニューマンの1940年の著書『数学と想像力』 ^[16]の次の一節で紹介されました。

「グーゴル」という名前は、1 の後に 100 個のゼロが続く非常に大きな数の名前を考えるよう頼まれた子供 (カスナー博士の 9 歳の甥) によって考案されました。彼はこの数が無限ではないことを確信していたため、名前が必要であることも確信していました。「グーゴル」を提案すると同時に、さらに大きな数に「グーゴルプレックス」という名前も付けました。グーゴルプレックスはグーゴルよりもはるかに大きいですが、名前の考案者がすぐに指摘したように、やはり有限です。最初に提案されたのは、グーゴルプレックスは 1 で、その後に疲れるまでゼロを書き続けるというものでした。これは、グーゴルプレックスを書こうとするとどうなるかを説明していますが、疲れるタイミングは人によって異なり、単に忍耐力があるという理由だけでカルネラをアインシュタイン博士よりも優れた数学者にすることは決してできません。グーゴルプレックスは、1 の後にグーゴルのゼロが続く特定の有限数です。

ジョン・ホートン・コンウェイとリチャード・K・ガイ^{[17]は、10 N}の名称としてN-plexの使用を 提案した。これにより、 10 ^googolplex = 10 ^{10 10 100}に対してgoogolplexplex という名前が生まれた。コンウェイとガイ^{[17]は、10 −N}の名称としてN-minexの使用を提案し、googolplex の逆数である10 ^{-(10 100 )に対して}googolminexという名前が生まれた。これらの名前はいずれも広く使用されていない。

googolとgoogolplexという名前は、それぞれインターネット企業 Googleとその本社Googleplexの名前の由来となった。^[要出典]

このセクションでは、大きな数を命名するためのいくつかのシステムを示し、それらを100 分の 1を超えて拡張する方法を示します。

伝統的な英国の慣習では、100 万の累乗ごとに新しい名前が割り当てられていました (長い目盛り)。1,000,000 = 1 百万、1,000,000 ² = 10 億、1,000,000 ³ = 1 兆、などです。これはフランスの慣習から採用されたもので、 Chuquetによって文書化または発明されたシステムに似ています。

伝統的なアメリカの用法（これもフランスの用法から取り入れられたが、後になってからのものである）、カナダ、そして現代のイギリスの用法では、1000の累乗ごとに新しい名前が割り当てられている（短縮スケール）。したがって、10億は1000 × 1000 ² = 10 ⁹、1兆は1000 × 1000 ³ = 10 ¹²というように。金融の世界（および米ドル）での優位性により、これは公式の国連文書 に採用された。

伝統的なフランス語の使用法は変化しており、もともと短い音階を世界中に普及させたフランスは、1948 年に長い音階に戻りました。

milliard という用語は曖昧さがなく、常に 10 ^{9 を}意味します。アメリカではほとんど使用されず、イギリスでもまれにしか使用されませんが、ヨーロッパ大陸では頻繁に使用されます。この用語は、  1550年頃のフランスの数学者Jacques Peletier du Mans に由来すると言われることがあります(このため、長い目盛りはChuquet-Peletierシステムとしても知られています)。しかし、Oxford English Dictionaryによると、この用語は古典期以降のラテン語milliartumに由来し、これがmilliareになり、さらにmilliartになり、最終的に現代の用語になりました。

^{10 6 n +3 の}数字の -illiard で終わる名前に関しては、英語以外の言語ではmilliard が広く使用されていることは確かですが、より大きな用語の実際の使用度は疑問です。イタリア語の「milliardo」、ドイツ語の「Milliarde」、オランダ語の「miljard」、トルコ語の「milyar」、ロシア語の「миллиард」(milliard (音訳)) という用語は、金融の話題を議論する際に標準的に使用されます。

大きな数の命名手順は、10 ^{3 n +3} (短スケール) または 10 ^{6 n} (長スケール) に現れる数n を取り、その一位、十位、百位のラテン語の語根を接尾辞-illionとともに連結することに基づいています。この方法で、10 ^3·999+3  = 10 ³⁰⁰⁰ (短スケール) または 10 ^6·999  = 10 ⁵⁹⁹⁴ (長スケール)までの数を命名できます。nが 9 以下の場合、語根の選択と連結手順は標準の辞書数と同じです。より大きなn (10 から 999 の間) の場合、接頭辞は Conway と Guy によって記述されたシステムに基づいて作成できます。^[17]現在、sexdecillion と novemdecillion は標準の辞書数であり、Conway と Guy が nonillion までの数に対して行ったのと同じ推論を使用して、おそらく許容される接頭辞を形成するために使用できます。接頭辞を形成するためのコンウェイ・ガイ方式:

^(*) ^ ^Sまたは^Xで マークされた要素の前にある場合、「tre」は「tres」に、「se」は「ses」または「sex」に変わります。同様に、^Mまたは^Nでマークされた要素の前にある場合、「septe」と「nove」は「septem」と「novem」または「septen」と「noven」に変わります。

ラテン語の接頭辞を使用するシステムは、10 ^6,000,258のように、ローマ人がめったに数えなかったような指数を持つ数に対しては曖昧になるため、コンウェイとガイはアラン・ウェクスラーと共同で、このシステムを無制限に拡張して、あらゆる整数に対して英語の短縮名を提供することを原則として許可する、次のような一貫した規則のセットを考案しました。^{[17] 10 3 n +3}という数の名前（nは1000以上）は、10 ^{3 m +3}という形式の数の名前を連結することによって形成されます。ここで、mはnのカンマで区切られた各数字のグループを表し、最後以外の「-illion」は「-illi-」に切り詰められます。m = 0の場合は、「-nilli-」または「-nillion」になります。^[17]例えば、1,000,003番目の「-illion」数である10 ^3,000,012は1「millinillitrillion」に等しく、11,000,670,036番目の「-illion」数である10 ^{33,002,010,111}は1「undecillinilliseptuagintasescentillisestrigintillion」に等しく、^{9,876,543,210}番目の「-illion」数である10 29,629,629,633 は1「nonilliseseptuagintaoctingentillitresquadragintaquingentillideciducentillion」に等しい。^[17]

次の表は、コンウェイとガイが説明したシステムによって生成された短いスケールと長いスケールの数字名を示しています。^[18]

^[1] グーゴルプレックスの略称は、3,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​333,​332 の「-illion」の 10 倍に等しいことに由来しています (これは、10 × 10 ^{(3n + 3)} = 10 ^{10 100}のときの n の値です)

^[2] グーゴルプレックスの長いスケールの名前（伝統的な英国と伝統的なヨーロッパの両方）は、それ^が1 ^{, ​6} ...

国際数量体系（ISQ）は、1024 ¹から1024 ⁸までの1024の整数乗を表す一連の接頭辞を定義しています。^[20]