ジオポテンシャル

ジオポテンシャルは、地球の重力場のポテンシャルです。便宜上、単位質量あたりの位置エネルギーの負として定義されることが多く、重力ベクトルは、負を除いたジオポテンシャルの勾配として得られます。実際のポテンシャル（ジオポテンシャル）に加えて、理論上の法線ポテンシャルとそれらの差である妨害ポテンシャルも定義できます。

地球物理学の分野では、重力は重力作用とは区別されます。重力は、重力と地球の自転による遠心力の合力として定義されます。同様に、それぞれのスカラーポテンシャルを加算して、ジオポテンシャルと呼ばれる有効ポテンシャルを形成できます。一定のジオポテンシャルの表面またはジオポテンシャルの等値面は、等ジオポテンシャル面（ geopと略されることもあります）^[1]と呼ばれ、ジオポテンシャルレベル面、等ポテンシャル面、または単にレベル面とも呼ばれます。^[2]${\displaystyle W}$

全球平均海面は、ジオイドと呼ばれる 1 つの等ジオポテンシャルに近い。^[3]重力と遠心力がジオイドに直交する力にどのように加算されるかは、図に示されています (縮尺は正確ではありません)。緯度 50 度では、重力 (図の赤線) と局所的な垂直線 (図の緑線) の間のオフセットは、実際には 0.098 度です。運動している質点 (大気) の場合、遠心力は重力と一致せず、ベクトルの合計は地球の表面に対して正確に直交しません。これが、大気の運動に対する コリオリの力の原因です。

ジオイドは、地球内部の不規則な質量分布により、緩やかに起伏した表面になっています。ただし、基準楕円体と呼ばれる回転楕円体で近似することができます。現在最も広く使用されている基準楕円体である 1980 年測地基準系 ( GRS80 ) は、ジオイドを ±100 m 強の範囲内で近似します。この基準楕円体を等電位面の 1 つとして持ち、ジオイドの真の電位と同じモデル電位を持つ単純なモデル ジオポテンシャルを構築することができます。このモデルは通常電位と呼ばれます。その差は擾乱電位と呼ばれます。重力異常や鉛直線のたわみなど、重力場の多くの観測可能な量は、この擾乱電位で表現できます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{0}}$${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle T=W-U}$

ニュートンの万有引力の法則によれば、質量中心の分離距離rを持つ2つの質点m ₁とm ₂の間に働く重力Fは次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

ここで、Gは重力定数、r̂ は半径方向の単位ベクトルです。連続的な質量分布を持つ非点状の物体の場合、各質量要素dm は小さな体積に分布した質量として扱うことができるため、物体 2 の範囲にわたる 体積積分は次のようになります。

対応する重力ポテンシャル

ここで、ρ ₂ = ρ( x , y , z ) は体積要素における質量密度であり、体積要素から質点 1 への方向の質量密度です。は単位質量あたりの重力位置エネルギーです。 ${\displaystyle u}$

地球の重力場は、重力ポテンシャル（ジオポテンシャル）場から次のように導き出されます。

${\displaystyle \mathbf {g} =\nabla W=\mathrm {grad} \ W={\frac {\partial W}{\partial X}}\mathbf {i} +{\frac {\partial W}{\partial Y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial W}{\partial Z}}\mathbf {k} }$

これは、重力加速度ベクトルを重力ポテンシャル の勾配として表します。ベクトル トライアドは、座標軸に沿って指す空間内の基本ベクトルの正規直交セットです。ここで、、およびは地心座標です。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

重力とそのポテンシャルは、地球の自転による 遠心力の擬似力の寄与を含んでいる。次のように書くことができる。

${\displaystyle W=V+\Phi \,}$

ここで、 は重力場のポテンシャル、は重力場のポテンシャル、 は遠心場のポテンシャルです。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \Phi }$

遠心力（単位質量当たり、つまり加速度）は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {g} _{c}=\omega ^{2}\mathbf {p} ,}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {p} =X\mathbf {i} +Y\mathbf {j} +0\cdot \mathbf {k} }$

は、地球の自転軸から直線的に見た場合の点を指すベクトルです。この擬似力場は、地球と共に回転する基準フレームでは、地球の自転速度ωに関するポテンシャルを持つことがわかります。

${\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}\omega ^{2}(X^{2}+Y^{2}).}$

これは、この式の勾配 ( ) 演算子を取ることで確認できます。 ${\displaystyle \nabla }$

遠心力は球面緯度φ と地心半径 rで表すこともできます。

${\displaystyle \Phi =0.5\,\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\phi }$

地球はほぼ楕円体です。したがって、地球の基準楕円体を等電位面の 1 つとして持つフィールドによってジオポテンシャルを近似すると正確です。

実際のジオポテンシャル場Wと同様に、法線場U (ポテンシャルエネルギーUと混同しないでください)は、2 つの部分の合計として構築されます。

${\displaystyle U=\Psi +\Phi }$

ここで、は法線重力ポテンシャル、 は遠心ポテンシャルです。 ${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Phi }$

楕円体調和座標（測地座標と混同しないように）では閉じた正確な表現が存在する。 ^[4]また、球面座標では級数展開 として表現することもできる。級数を切り捨てると次のようになる。 ^[4]

${\displaystyle \Psi \approx (GM/r)(1-(a/r)^{2}J_{2}((3/2)\cos ^{2}(\phi )-1/2))}$

ここでaは半長軸であり、J _2は2番目の動的形状係数である。^[4]

最新の地球基準楕円体はGRS80、つまり 1980 年測地基準システムで、全地球測位システムが基準として使用している。その幾何学的パラメータは、長半径a  = 6378137.0 m、扁平率f  = 1/298.257222101 である。また、標準重力パラメータGM = 3986005 × 10 ⁸ m ³ ·s ^{−2に含まれるように、囲まれた質量}Mが地球の既知の質量 (大気を含む) と等しいことを要求すると、基準楕円体でのポテンシャルは次の式で表されます。

${\displaystyle U_{0}=62636860.850\ {\textrm {m}}^{2}\,{\textrm {s}}^{-2}}$

明らかに、この値は、物理学では一般的であるように、ポテンシャルが無限大 ( ) で漸近的にゼロになるという仮定に依存します。実用的な目的のためには、基準楕円体のゼロ点を通常の重力のゼロ点として選択し、他の点のポテンシャルをこれに準拠させる方が理にかなっています。 ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

既知の GRS80 基準楕円体と等電位面と一致する、きれいで滑らかなジオポテンシャル場が構築されると (このような場を通常電位と呼びます)、実際の地球の真の (測定された) 電位からそれを減算できます。結果はT、つまり擾乱電位として定義されます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle T=W-U}$

擾乱ポテンシャルTは数値的にはUやWよりもかなり小さく、通常のポテンシャルの滑らかな数学的楕円体によって捉えられる全体的な地球の傾向とは区別して、実際に存在する地球の真の重力場の詳細で複雑な変動を点ごとに捉えます。

実際の地上作業、例えば水準測量では、ジオポテンシャルの代替バージョンであるジオポテンシャル数 が使用されます。これは、ジオイドから上に向かって計算されます。 ここで、はジオイドのジオポテンシャルです。 ${\displaystyle C}$$${\displaystyle C=-\left(W-W_{0}\right),}$$${\displaystyle W_{0}}$

球対称の質量密度を持つ球の特殊なケースではρ = ρ( s )となる。つまり、密度は半径距離のみに依存する。

${\displaystyle s={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,.}$

これらの積分は解析的に評価できます。この場合、 シェル定理は次のようになります。

対応する潜在能力

ここでM = ∫ _V ρ( s ) dxdydzは球の全質量です。

衛星軌道力学の目的上、ジオポテンシャルは典型的には球面調和関数（スペクトル表現）への級数展開によって記述される。この文脈では、ジオポテンシャルは地球の重力場のポテンシャル、すなわち遠心ポテンシャルを除いたものとして扱われる。回転しない球の単純なケースにおけるジオポテンシャルを[m ² /s ² ]または[J/kg]の単位で解くと次のようになる。^[5] $${\displaystyle \Psi (h)=\int _{0}^{h}g\,dz}$$ $${\displaystyle \Psi =\int _{0}^{z}\left[{\frac {Gm}{(a+z)^{2}}}\right]dz}$$

統合すると次のようになります : $${\displaystyle \Psi =Gm\left[{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a+z}}\right]}$$

• G =6.673 × 10 ⁻¹¹  Nm ² /kg ^{2 は}重力定数であり、
• メートル=5.975 × 10 ²⁴  kgは地球の質量です。
• ア=6.378 × 10 ⁶  mは地球の平均半径であり、
• zはメートル単位の幾何学的高さです

• ダイナミックハイト
• ジオイド
• ジオポテンシャル高度
• ジオポテンシャルモデル
• 通常の重力
• 物理的な測地学