ハーシャド数

数学において、ハルシャド数（またはニーヴン数）は、与えられた基数で表されたときにその桁の和で割り切れる整数である。基数 $nのハルシャド数は、$ $n-$ ハルシャド数（または $n-$ ニーヴン数）とも呼ばれる。ハルシャド数はインドの数学者D.R.カプレカーによって定義された。^[1]「ハルシャド」という単語は、サンスクリット語のharṣa（喜び）+ da （与える）から来ており、喜びを与える人を意味する。「ニーヴン数」という用語は、1977年に数論に関する会議でイヴァン・M・ニーヴンが発表した論文に由来している。

意味

数学的に言えば、 $Xを$ $n$ 進数で表したときに $m$ 桁の正の整数とし、桁を( ) とします。(したがって、は0 または⁠ ⁠までの正の整数である必要があります。) $X は$ 次のように表すことができます。 $a_{i}$ $i=0,1,\ldots ,m-1$ $a_{i}$ $n-1$

X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.

$次の場合、 X は$ $n$ 進数のハーシャド数です。

X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}}}.

すべての基数でハーシャド数となる数は、全ハーシャド数、または全ニーヴン数と呼ばれます。全ハーシャド数は1、2、4、および6 の4 つだけです。数12は、 8 進数を除くすべての基数でハーシャド数です。

例

18 という数字は、 10 進法ではハーシャド数です。1 と 8 の合計は 9 であり、18 は9 で割り切れるからです。
ハーディ・ラマヌジャン数 (1729) は、その数字の合計である 19 で割り切れるので、10 進数のハーシャド数です (1729 = 19 × 91)。
19 という数字は、10 進法ではハーシャド数ではありません。1 と 9 の数字の合計は 10 であり、19 は 10 で割り切れないからです。
10進数では、 9R _n a _{n の}形式で表現できるすべての自然数は、ハーシャド数です。ここで、数 R _{n は}単一の数字 1 のn 回のコピーで構成され、 n > 0、a _{n は10}ⁿ未満の正の整数でnの倍数です。 (R. D'Amico、2019)。数 9R ₃a ₃ = 521478 (R ₃ = 111、n = 3、a ₃ = 3×174 = 522) はハーシャド数です。実際、521478/(5+2+1+4+7+8) = 521478/27 = 19314 となります。^[2]
10 進数の Harshad 数列は次のようになります。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、18、20、21、24、27、30、36、40、42、45、48、50、54、60、 63、70、72、80、81、84、90、100、102、108、110、111、112、114、117、120、126、132、133、135、140、144、150、152、153、156、162、171、180、190、192、195、198、200 、...（OEISの配列A005349）。
0から $n$ までのすべての整数は $n$ ハーシャッド数です。

プロパティ

9 の割り切れる数を考えると、9 で割り切れる数はすべてハーシャド数でもあると一般化したくなるかもしれません。しかし、 $n$ のハーシャド性を判断するためには、 $n$ の桁は1 回しか加算できず、その合計で $n が$ 割り切れる必要があります。そうでない場合は、ハーシャド数ではありません。たとえば、99 は9 + 9 = 18 であり、99 は 18 で割り切れないので、ハーシャド数ではありません。

基数 (およびさらにその累乗) は、常にその基数自体のハーシャド数になります。これは、「10」と表され、1 + 0 = 1 となるためです。

bを底とする数字の合計がb −1 で割り切れる数はすべて、 b を底とするハーシャド数です。

素数がハーシャド数でもあるためには、その数が基数以下でなければなりません。そうでない場合、素数の桁を足すと 1 より大きいが素数より小さい数になり、割り切れなくなります。たとえば、11 は基数 10 ではハーシャドではありません。その桁の合計「11」は 1 + 1 = 2 であり、11 は 2 で割り切れないからです。一方、基数 12では、数字 11 は「B」と表され、その桁の合計も B です。B はそれ自体で割り切れるので、基数 12 ではハーシャドです。

階乗のシーケンスは10 進数のハーシャド数で始まりますが、すべての階乗がハーシャド数であるわけではありません。432! はハーシャド数ではない最初の数です。(432! の数字の合計は 10 進数では 3897 = 3 ² × 433 なので、432 を割り切れません!)

ハーシャド数となる最小の $kは$ $k\cdot n$

1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、10、1、9、3、2、3、6、1、6、1、1、5、9、1、2、 6、1、3、9、1、12、6、4、3、2、1、3、3、 3、1、10、1、12、3、1、5、9、1、8、1、2、3、18、1、2、2、2、9、9、1、12、6、1、 3、3、2、3、3、3、1、18、1、7、3、2、 2、4、2、 9、1、...（OEISの配列A144261）。

ハーシャド数ではない最小の $kは$ $k\cdot n$

11、7、5、4、3、11、2、2、11、13、1、8、1、1、1、1、1、161、1、8、5、1、1、4、1、 1、7、1、1、13、1、1、1、1、1、83、 1、1、1、4、1、4、1、1、11、1、1、2、1、5、1、1、1、537、1、1、1、1、1、83、1、 1、3、1、1、1、1、1、1、5、1、68、1、 1、1、1、 1、1、1、2、...（OEISの配列A144262）。

その他の基地

12 進数のハーシャド数は次のとおりです。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、10、1A、20、29、30、38、40、47、50、56、60、65、70、74、80、83、90、92、A0、A1、B0、100、10A、110、115、119、120、122、128、130、134、137、146、150、153、155、164、172、173、182、191、1A0、1B0、1BA、200、...

ここで、A は 10 を表し、B は 11 を表します。

12 進数のハーシャド数となる最小の $k は$ 次のとおりです (10 進数で表記)。 $k\cdot n$

1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、12、6、4、3、10、2、11、3、4、1、7、1、12、 6、4、3、11、2、11、3、1、5、9、1、 12、11、4、3、11、2、11、1、4、4、11、1、16、6、4、3、11、2、1、3、11、11、11、1、12、 11、5、7、9、1、7、3、3、9、11、 1、...

12 進数のハーシャド数ではない最小の $k は$ 次のとおりです (10 進数で表記)。 $k\cdot n$

13、7、5、4、3、3、2、2、2、2、13、16、1、1、1、1、1、1、1、1、1、157、1、8、1、 1、1、1、1、1、1、1、13、1、1、6、1、 1、1、1、1、1、1、157、1、1、1、4、1、1、1、1、1、1、5、1、1、1、1、4、1、1、 1、1、1、1885、1、1、1、1、1、3、...

10 進数と同様に、12 進数ではすべての階乗がハーシャッド数になるわけではありません。7! (12 進数では 5040 = 2B00、12 進数では桁の合計が 13 で、13 は 7 を割り切れません!) の次にハーシャッド数にならないのは 1276! です。(1276! の桁の合計は 12 進数では 14201 = 11 × 1291 なので、1276 を割り切れません!)

連続ハーシャッド番号

連続するハーシャド数の最大連続数

クーパーとケネディは1993年に、10を底とする21個の連続する整数がすべてハーシャド数であることはないことを証明した^。[3]^[4]彼らはまた、すべて10ハーシャド数である連続する20組の整数を無限に構築し、その最小のものは10 ^44363342786を超える。

HG Grundman (1994) は、クーパーとケネディの結果を拡張して、任意の基数bに対して、連続するb -ハーシャッド数は 2 b個あるが、 2 b + 1 個あるわけではないことを示した。^[4]^[5] この結果は強化され、b = 2 または 3に対してはT. Cai (1996) ^[4]によって、また任意のbに対しては Brad Wilson によって、2 b個の連続するb -ハーシャッド数の連続が無限に存在することが1997 年に示された。^[6]

したがって、 2進法では、連続する4つのハーシャド数の連続が無限に存在し、3進法では、連続する6つのハーシャド数が無限に存在します。

一般に、このような最大シーケンスはN · b ^k − bからN · b ^k + ( b − 1)までの範囲になります。ここで、 bは基数、kは比較的大きな累乗、Nは定数です。このような適切に選択されたシーケンスが与えられた場合、次のようにしてそれをより大きなシーケンスに変換できます。

Nにゼロを挿入しても、デジタル合計の順序は変わりません (21、201、2001 がすべて 10 ハーシャッド数であるのと同じです)。
最初の桁αの後にn 個のゼロを挿入すると( αb ⁱの値)、 Nの値がだけ増加します。 $\alpha b^{i}\left(b^{n}-1\right)$
b ⁿ − 1 がシーケンス内のすべての桁の合計で割り切れることを保証できる場合、それらの合計による割り切れる可能性は維持されます。
数字の合計がbと互いに素になるように初期シーケンスを選択した場合、すべての合計を法としてb ⁿ = 1を解くことができます。
そうでなくても、各桁の和がbと互いに素でない部分がαb ⁱを割り切れる場合は、割り切れる可能性は依然として維持されます。
(証明されていない)初期シーケンスはそのように選択されます。

したがって、最初のシーケンスでは無限のソリューションセットが生成されます。

最初の実行は正確に $ん$ 連続する10ハーシャッド数

ちょうど $n 個$ の連続する 10 ハーシャド数 (つまり、はハーシャド数であるが、とはそうではない最小の $x$ )の連続を開始する最小の自然数は次のとおりです ( OEISのシーケンスA060159 )。 $x,x+1,\cdots ,x+n-1$ $x-1$ $x+n$

前のセクションでは、そのような $xは$ 存在しない。 $n>20.$

ハーシャド数の密度の推定

をハーシャド数の個数とすると、任意の $N(x)$ $\leq x$ $\varepsilon >0,$

x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}

ジャン＝マリー・ド・コニンクとニコラ・ドヨンによって示されたように^[7]、さらにド・コニンク、ドヨン、カタイ^[8]は、

N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},

ここで、項はBig O 表記法を使用します。 $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ $o(1)$

ハーシャド数の合計

10億を超えないすべての自然数は、ハーシャド数か、2つのハーシャド数の和のいずれかです。特定のデデキントゼータ関数の零点に関する技術的な仮説を条件として、サンナは、すべての自然数が最大でハーシャド数の和である正の整数が存在することを証明しました。つまり、ハーシャド数の集合は加法基底です。^[9] $k$ $k$

各自然数 1、2、3、... を 2 つのハーシャド数の和として表す方法の数は次のとおりです。

0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、5、5、5、4、4、3、3、3、3、3、4、3、4、4、 4、4、5、4、5、4、4、4、3、2、4、3、3、4、 3、3、5、3、4、5、4、4、7、4、5、6、5、3、7、4、4、6、4、2、7、3、4、5、4、 3、7、3、4、5、4、3、8、3、4、6、3、3、6、 2、5、6、 5、3、8、4、4、6、...（OEISの配列A337853）。

2 つのハーシャド数の合計として正確に 1、2、3、... の方法で表すことができる最小の数は次のとおりです。

2、4、6、8、10、51、48、72、108、126、90、138、144、120、198、162、210、216、315、240、234、306、252、372、270、 546、 360、342、444、414、468、420、642、450、522、540、924、612、600、666、630、888、930、756、840、882、936、972、1098、 1215、 1026、1212、1080、...（OEISの配列A337854）。

ニヴンモルフィック数

与えられた基数に対するNivenmorphic 数またはharmashadmorphic数は、 $t$ の桁の合計となる harmashad 数 $N$ が存在し、その基数で書かれた $t$ が同じ基数で書かれた $Nで終わるような整数$ $tです。$

たとえば、18 は 10 を底とするニヴンモルフィック数です。

16218はハーシャッド番号です
 16218の数字の合計は18です
    18は16218を終了します

サンドロ・ボスカロは、基数 10 では11 を除くすべての正の整数がニブンモルフィック数であると判定しました。^[10]実際、偶数 n > 1 の場合、n +1を除くすべての正の整数は基数nのニブンモルフィック数であり、奇数 n > 1 の場合、すべての正の整数は基数nのニブンモルフィック数です。たとえば、基数 12のニブンモルフィック数はOEIS : A011760 (13 を除くすべての正の整数) です。

10 進数で n 桁の合計がn で、10 進数で表されたn で終わる最小の数は、次のとおりです (そのような数が存在しない場合は 0)。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、910、0、912、11713、6314、915、3616、15317、918、17119、9920、18921、9922、82823、19824、 9925、46826、18927、18928、78329、99930、585931、388832、1098933、198934、289835、99936、99937、478838、198939、 1999840、 2988941、2979942、2979943、999944、999945、4698946、4779947、2998848、2998849、9999950、...（OEISの配列A187924）

複数のハーシャド番号

ブルーム（2005）は、複数のハーシャド数を、その桁の合計で割ったときに別のハーシャド数になるハーシャド数と定義しています。^[11] 彼は、6804が「MHN-4」であると述べています。

{\begin{aligned}6804/18&=378\\378/18&=21\\21/3&=7\\7/7&=1\end{aligned}}

(これは MHN-5 ではありませんが、1 は「別の」ハーシャド数ではありません) $1/1=1$

そして、2016502858579884466176 が MHN-12 であることを示しました。これより小さい数 10080000000000 = 1008 × 10 ^{10も MHN-12 です。一般に、1008 × 10}^{n は}MHN-( n +2) です。

参考文献

^ DR Kaprekar、「多桁数」、Scripta Mathematica 21 (1955)、27。
^ Rosario D'Amico、「Harshad数を生成する方法」、Journal of Mathematical Economics and Finance、vol. 5、n. 1、2019年6月、p. 19-26。
^ クーパー、カーティス、ケネディ、ロバート E. (1993)、「連続するニーヴン数について」(PDF)、フィボナッチ・クォータリー、31 (2): 146–151、doi :10.1080/00150517.1993.12429304、ISSN 0015-0517、Zbl 0776.11003
^ abc サンダー、ヨジェフ;クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。 p. 382.ISBN 1-4020-2546-7.ZBL1079.11001 。
^ Grundman, HG (1994)、「連続する n-Niven 数のシーケンス」(PDF)、Fibonacci Quarterly、32 (2): 174–175、doi :10.1080/00150517.1994.12429245、ISSN 0015-0517、Zbl 0796.11002
^ ウィルソン、ブラッド (1997)、「2n 連続 n-ニヴン数の構築」(PDF)、フィボナッチ・クォータリー、35 (2): 122–128、doi :10.1080/00150517.1997.12429006、ISSN 0015-0517
^ De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas (2003 年 11 月)、「 xまでの Niven 数の数について」、Fibonacci Quarterly、41 (5): 431–440、doi :10.1080/00150517.2003.12428555。
^ デ・コーニンク、ジャン＝マリー;ドヨン、ニコラス。 Kátai, I. (2003)、「Niven 数のカウント関数について」、Acta Arithmetica、106 (3): 265–275、Bibcode :2003AcAri.106..265D、doi : 10.4064/aa106-3-5。
^ サンナ、カルロ（2021年3月）、「加法基数とニーヴン数」、オーストラリア数学会誌、104（3）：373–380、arXiv：2101.07593、doi：10.1017/S0004972721000186、S2CID 231639019。
^ ボスカロ、サンドロ（1996–1997）、「ニヴェンモルフィック整数」、レクリエーション数学ジャーナル、28（3）：201–205。
^ ブルーム、E. (2005)、「ハーシャッド数」、レクリエーション数学ジャーナル、34 (2): 128。

外部リンク

Weisstein、Eric W.「Harshad 数」。MathWorld。

[1] DR Kaprekar、「多桁数」、Scripta Mathematica 21 (1955)、27。

[2] Rosario D'Amico、「Harshad数を生成する方法」、Journal of Mathematical Economics and Finance、vol. 5、n. 1、2019年6月、p. 19-26。

[3] クーパー、カーティス、ケネディ、ロバート E. (1993)、「連続するニーヴン数について」(PDF)、フィボナッチ・クォータリー、31 (2): 146–151、doi :10.1080/00150517.1993.12429304、ISSN 0015-0517、Zbl 0776.11003

[HBII382-4] サンダー、ヨジェフ;クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。 p. 382.ISBN 1-4020-2546-7.ZBL1079.11001 。

[5] Grundman, HG (1994)、「連続する n-Niven 数のシーケンス」(PDF)、Fibonacci Quarterly、32 (2): 174–175、doi :10.1080/00150517.1994.12429245、ISSN 0015-0517、Zbl 0796.11002

[6] ウィルソン、ブラッド (1997)、「2n 連続 n-ニヴン数の構築」(PDF)、フィボナッチ・クォータリー、35 (2): 122–128、doi :10.1080/00150517.1997.12429006、ISSN 0015-0517

[7] ^ De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas (2003 年 11 月)、「 xまでの Niven 数の数について」、Fibonacci Quarterly、41 (5): 431–440、doi :10.1080/00150517.2003.12428555。

[8] デ・コーニンク、ジャン＝マリー;ドヨン、ニコラス。 Kátai, I. (2003)、「Niven 数のカウント関数について」、Acta Arithmetica、106 (3): 265–275、Bibcode :2003AcAri.106..265D、doi : 10.4064/aa106-3-5。

[9] サンナ、カルロ（2021年3月）、「加法基数とニーヴン数」、オーストラリア数学会誌、104（3）：373–380、arXiv：2101.07593、doi：10.1017/S0004972721000186、S2CID 231639019。

[10] ボスカロ、サンドロ（1996–1997）、「ニヴェンモルフィック整数」、レクリエーション数学ジャーナル、28（3）：201–205。

[11] ブルーム、E. (2005)、「ハーシャッド数」、レクリエーション数学ジャーナル、34 (2): 128。

意味

例