割り切れるルール

割り切れる規則は、与えられた整数が固定の除数で割り切れるかどうかを、通常はその桁を調べることによって、割り算をせずに判定する簡便で便利な方法です。あらゆる基数、つまり底の数に対して割り切れるテストがあり、それらはすべて異なりますが、この記事では、 10進数、つまり底が10の数についてのみ規則と例を示します。 マーティン・ガードナーは、 1962年9月のScientific Americanのコラム「数学ゲーム」でこれらの規則を説明し、普及させました。^[1]

以下に示す規則は、対象の除数による割り切れる度合いを維持しながら、与えられた数を一般に小さい数に変換します。したがって、特に断りがない限り、結果の数は、同じ除数による割り切れる度合いを評価する必要があります。場合によっては、割り切れる度合いが明らかになるまでこのプロセスを繰り返すことができますが、その他の場合 (最後のn桁を調べるなど) は、結果を他の方法で調べる必要があります。

複数の規則を持つ除数の場合、一般に、最初に桁数の多い数に適した規則が並べられ、次に桁数の少ない数に役立つ規則が並べられます。

ある数が 2 の累乗または 5 の累乗 (2 ⁿまたは 5 ⁿ、ここでnは正の整数) で割り切れるかどうかをテストするには、その数の 最後のn桁を見るだけで済みます。

素因数の積として表される任意の数で割り切れるかどうかをテストするには、各素数を適切な累乗で割り切れるかどうかを個別にテストします。たとえば、24 (24 = 8×3 = 2 ^{3 ×3) で割り切れるかどうかをテストすることは、8 (2 3} ) と 3で同時に割り切れるかどうかをテストすることと同じなので、24 で割り切れることを証明するには、8 と 3 で割り切れることを示すだけで済みます。 ${\displaystyle p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}}$

まず、任意の数字 (この例では 376) を取り、その数字の最後の桁を書き留め、他の桁は無視します。次に、その桁 (6) を取り、数字の残りの部分は無視して、それが 2 で割り切れるかどうかを判断します。2 で割り切れる場合は、元の数字が 2 で割り切れます。

例

1. 376（元の番号）
2. 37 6 (最後の桁を取る)
3. 6 ÷ 2 = 3 (最後の桁が 2 で割り切れるかどうかを確認してください)
4. 376 ÷ 2 = 188 (最後の桁が 2 で割り切れる場合、その数も 2 で割り切れます)

まず、任意の数字 (この例では 492) を取り、その数字の各桁を足します (4 + 9 + 2 = 15)。次に、その合計 (15) が 3 で割り切れるかどうかを確認します。元の数字が 3 (または 9) で割り切れるのは、その数字の桁の合計が 3 (または 9) で割り切れる場合のみです。

数字の桁を足し合わせて、1 桁だけが残るまでこの処理を繰り返すと、元の数字を 9 で割ったときの余りが得られます(ただし、その 1 桁が 9 である場合は、その数字は 9 で割り切れるため、余りは 0 になります)。

これは、任意の標準的な位取りシステムに一般化することができ、その場合、問題の除数は基数より 1 小さくなります。したがって、12 進数では、数字を合計すると 11 で割った余りになり、数字の合計が 11 で割り切れる場合にのみ、数字は 11 で割り切れます。

例。

1. 492（元の番号）
2. 4 + 9 + 2 = 15 (各数字を足し合わせます)
3. 15 は 3 で割り切れるので、ここで終了です。あるいは、数字がまだ大きすぎる場合は、同じ方法を使い続けることもできます。
4. 1 + 5 = 6 (各数字を足し合わせます)
5. 6 ÷ 3 = 2 (受け取った数字が 3 で割り切れるかどうかを確認します)
6. 492 ÷ 3 = 164 (この規則で得られた数が 3 で割り切れる場合、その数全体も 3 で割り切れます)

4で割り切れるかどうかの基本的なルールは、ある数の最後の2桁で構成される数が4で割り切れる場合、元の数は4で割り切れるということです。^{[2] [3]}これは、100が4で割り切れるため、100、1000などを加算することは、単に4で割り切れる別の数を加算するだけだからです。任意の数が4で割り切れるとわかっている2桁の数字で終わる場合（例：24、04、08など）、最後の2桁の前に何があっても、その数全体は4で割り切れます。

あるいは、最後の桁の半分を最後から2番目の桁（または残りの数）に加えることもできます。その数が偶数の自然数であれば、元の数は4で割り切れます。

また、単純に数を 2 で割り、その結果が 2 で割り切れるかどうかを調べることもできます。割り切れる場合、元の数は 4 で割り切れます。さらに、このテストの結果は、元の数を 4 で割った結果と同じです。

例:
一般的なルール

1. 2092（元の番号）
2. 20 92 (数字の最後の2桁を取り、他の桁は切り捨てます)
3. 92 ÷ 4 = 23 (その数字が 4 で割り切れるかどうかを確認してください)
4. 2092 ÷ 4 = 523 (得られた数が 4 で割り切れる場合、元の数も 4 で割り切れます)

2番目の方法

1. 6174（元の番号）
2. 最後の桁が偶数であることを確認してください。そうでない場合、6174 は 4 で割り切れません。
3. 61 7 4 (最後の2桁を残りの数字から分離します)
4. 4 ÷ 2 = 2 (最後の桁を 2 で割る)
5. 7 + 2 = 9 (最後の桁の半分を最後から2番目の桁に加える)
6. 9は偶数ではないので、6174は4で割り切れない。

3番目の方法

1. 1720（元の番号）
2. 1720 ÷ 2 = 860 (元の数字を2で割る)
3. 860 ÷ 2 = 430 (結果が 2 で割り切れるか確認してください)
4. 1720 ÷ 4 = 430 (結果が 2 で割り切れる場合、元の数は 4 で割り切れます)

5で割り切れるかどうかは、数字の最後の桁（47 5）を調べて、それが0か5のどちらかであるかどうかで簡単に判断できます。最後の数字が0か5であれば、その数字全体は5で割り切れます。^{[2] [3]}

数字の最後の桁が 0 の場合、残りの桁に 2 を掛けた値が結果になります。たとえば、40 は 0 で終わるので、残りの桁 (4) に 2 を掛けます (4 × 2 = 8)。結果は 40 を 5 で割った結果 (40/5 = 8) と同じです。

数字の最後の桁が 5 の場合、残りの桁に 2 を掛けて 1 を加えた値が結果になります。たとえば、125 は 5 で終わるので、残りの桁 (12) に 2 を掛け (12 × 2 = 24)、1 を足します (24 + 1 = 25)。結果は、125 を 5 で割った結果 (125/5=25) と同じです。

例:
最後の桁が0の場合

1. 110（元の番号）
2. 11 0 (数字の最後の桁を取って、それが0か5かを確認します)
3. 11 0 (0の場合は、最後の桁を捨てて残りの桁を取る)
4. 11 × 2 = 22 (結果に2を掛けます)
5. 110 ÷ 5 = 22 (結果は元の数字を 5 で割ったものと同じ)

最後の桁が5の場合

1. 85（元の番号）
2. 8 5 (数字の最後の桁を取って、それが0か5かを確認します)
3. 8 5 (5の場合は、最後の数字を捨てて残りの数字を取ります)
4. 8 × 2 = 16 (結果に2を掛ける)
5. 16 + 1 = 17 (結果に1を加える)
6. 85 ÷ 5 = 17 (結果は元の数字を 5 で割ったものと同じ)

6で割り切れるかどうかは、元の数が偶数（2で割り切れる）かつ3で割り切れるかどうかで判断されます。^[6]

最後の桁が偶数の場合、その数は 2 で割り切れるため、6 でも割り切れます。2 で割り切れる場合は、元の数の桁を加算し、その合計が 3 の倍数であるかどうかを確認します。2 の倍数であり、かつ 3 の倍数でもある数は、6 の倍数です。

例。

1. 324（元の番号）
2. 最後の数字 4 は偶数なので、324 は 2 で割り切れ、6 でも割り切れます。
3. 3 + 2 + 4 = 9 は 3 の倍数です。したがって、元の数は 2 でも 3 でも割り切れ、6 でも割り切れます。

7 で割り切れるかどうかは、再帰的な方法でテストできます。10 x  +  yという形式の数が7 で割り切れるのは、 x  − 2 yが 7 で割り切れる場合のみです。言い換えると、残りの桁で構成される数から最後の桁の 2 倍を引きます。7 で割り切れるかどうかがわかる数が得られるまで、これを続けます。元の数が 7 で割り切れるのは、この手順で得られた数が 7 で割り切れる場合のみです。たとえば、数 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7 です。したがって、−7 は 7 で割り切れるので、371 は 7 で割り切れます。

同様に、10 x  +  yという形式の数は、 x  + 5 yが 7 で割り切れる場合にのみ 7 で割り切れます。 ^[8]したがって、残りの数字で形成される数に最後の桁の 5 倍を加え、7 で割り切れるかどうかがわかる数が得られるまでこれを続けます。^[9]

もう 1 つの方法は、3 を掛け算することです。10 x  +  yという形式の数を7 で割ると、余りは 3 x  +  yになります。元の数の左端の桁に 3 を掛け、次の桁を加算し、7 で割った余りを求め、最初から繰り返します。つまり、3 を掛け、次の桁を加算します。たとえば、数 371 の場合、3×3 + 7 = 16 余り 2、2×3 + 1 = 7 となります。この方法は、7 で割った余りを求めるときに使用できます。

7 で割り切れるかどうかをテストするより複雑なアルゴリズムでは、10 ⁰  ≡ 1、10 ¹  ≡ 3、10 ²  ≡ 2、10 ³  ≡ 6、10 ⁴  ≡ 4、10 ⁵  ≡ 5、10 ⁶  ≡ 1、... (mod 7) という事実を使用します。数 (371) の各桁を逆の順序 (173) で取り、数字1、3、2、6、4、5で順番に掛け、この乗数のシーケンスを必要なだけ繰り返します (1、 3、 2、 6、 4、 5、 1、 3、 2、 6、 4、 5、...)。そして、積を加算します (1× 1  + 7× 3  + 3× 2 = 1 + 21 + 6 = 28)。元の数が7で割り切れるのは、この手順で得られた数が7で割り切れる場合のみです（したがって、28が7で割り切れるので、371は7で割り切れます）。^[10]

この方法は、掛け算の必要性をなくすことで簡略化できます。この簡略化で必要なのは、上記の数列 (132645...) を記憶し、常に 1 桁の数字を使って加算と減算を行うことだけです。

簡略化すると次のようになります。

• 例えば371という数字を例に挙げてみましょう
• 7、8、9をすべてそれぞれ0、1、2に変更します。この例では、301になります。この 2 番目の手順は、左端の数字を除いてスキップできますが、この手順に従うと、後の計算が容易になります。
• ここで、最初の数字 (3) を13264513...という数列の次の数字に変換します。この例では、 3 は2になります。
• 前のステップ（2）の結果を数値の2桁目に追加し、その結果を両方の桁に代入します。残りの桁はすべて変更されません。2 + 0 = 2です。したがって、30 1は2 1になります。
• 7 の倍数が認識されるまで、または確実に 0 から 6 の間の数字になるまで、この手順を繰り返します。したがって、21 (7 の倍数が認識できる数) から始めて、最初の数字 (2) を取り、上記のシーケンスで次のように変換します。2 は 6 になります。次に、これを 2 番目の数字に追加します。6 + 1 =  7。
• 最初の数字が 8 または 9 の場合、それぞれ 1 または 2 になります。ただし、最初の数字が 7 の場合は、他に数字が続かない場合のみ 0 になります。そうでない場合は、単に削除する必要があります。これは、その 7 が 0 になるからです。小数点の前に少なくとも 2 桁の数字がある場合、0 で始まると役に立ちません。これによると、7 は 0になります。

この手順で0または 7 の倍数が得られた場合、元の数は 7 の倍数です。1から6までの任意の数が得られた場合、元の数からどれだけ減算すれば 7 の倍数になるかが示されます。 つまり、数を 7 で割った余りがわかります。 たとえば、数 186を取ります。

• まず、8を1: 116に変更します。
• ここで、1 を数列 (3) の次の数字に変更し、それを 2 番目の数字に加えて、両方の代わりに結果を書きます: 3 + 1 =  4。したがって、11 6 は4 6になります。
• 数値が 7 より大きいので、この手順を繰り返します。今度は 4 が 5 になり、これを 6 に加える必要があります。つまり 11です。
• この手順をもう一度繰り返します。1 は 3 になり、それが 2 番目の数字 (1) に加算されます。3 + 1 =  4。

ここで 7 より小さい数字があります。この数字 (4) は 186/7 を割った余りです。したがって、186 から 4 を引くと 182 となり、これは 7 の倍数になります。

注: これが機能する理由は、a+b=cであり、bが任意の数nの倍数である場合、aとc をnで割ったときの余りが必ず同じになるからです。つまり、 2 + 7 = 9 では、 7 は 7 で割り切れます。したがって、 2 と 9 を 7 で割ったときの余りは同じである必要があります。余りは 2 です。

したがって、数値nが 7 の倍数である場合 (つまり、n /7 の余りが 0 である場合)、7 の倍数を加算 (または減算) してもその特性は変化しません。

この手順では、ほとんどの割り切れる規則について上で説明したように、元の数から 7 の倍数を少しずつ減算して、7 の倍数かどうかを思い出せるほど小さい数に達するだけです。1 が次の小数点位置で 3 になった場合、それは 10×10 ^{n を}3×10 ^{nに変換するのと同じです。そして、それは実際には 7×10 n} (明らかに 7 の倍数) を 10×10 ⁿから減算するのと同じです。

同様に、次の小数点位置で 3 を 2 に変換すると、 30×10 ⁿを 2×10 ^{nに変換することになります。これは、 30×10 n} −28×10 ⁿを減算することと同じであり、これも 7 の倍数を減算することになります。残りのすべての変換にも同じ理由が適用されます。

• 20×10 ⁿ  − 6×10 ⁿ = 14 ×10 ⁿ
• 60×10 ⁿ  − 4×10 ⁿ = 56 ×10 ⁿ
• 40×10 ⁿ  − 5×10 ⁿ = 35 ×10 ⁿ
• 50×10 ⁿ  − 1×10 ⁿ = 49 ×10 ⁿ

最初の方法の例
1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0。答え: 1050 は 7 で割り切れます。

2 番目の方法の例
1050 → 0501 (逆) → 0× 1 + 5× 3 + 0× 2 + 1× 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (掛け算して足し算)。答え: 1050 は 7 で割り切れます。

ヴェーダの、接吻による割り切れるかどうかの検定法7 で割り切れるかどうかは、エカーディカ
による乗算で検定できる。7 を 9 の族に変換するには、7 を掛ける。7×7=49。1 を足し、一の位の数字を落として、エカーディカの5を乗数とする。右から始める。5 を掛け、その積を左隣の数字に加える。その結果をその数字の下の行に記す。一の位の数字に 5 を掛け、その積を十の位の数に加えるという同じ方法を繰り返し、その結果を左隣の数字に加える。その結果をその数字の下に記す。最後まで続ける。結果が 0 または 7 の倍数であれば、その数は 7 で割り切れる。そうでなければ割り切れない。これはヴェーダの理想である 1 行表記法に従っている。^{[11] [信頼できない情報源? ]}

ヴェーダの方法の例:

438,722,025 は 7 で割り切れますか? 乗数 = 5。
 4 3 8 7 2 2 0 2 5
42 37 46 37 6 40 37 27
はい

7 で割り切れるかどうかの Pohlman-Mass 法
Pohlman-Mass 法は、ほとんどの整数が 7 で割り切れるかどうかを 3 ステップ以内で簡単に判断できるソリューションを提供します。この方法は、スプリント ラウンドで計算機を使わずにソリューションを判断するために時間が重要となる、MATHCOUNTS などの数学コンテストで役立ちます。

ステップ A: 整数が 1000 以下の場合は、残りの桁で形成される数値から最後の桁の 2 倍を引きます。結果が 7 の倍数の場合は、元の数値も 7 の倍数になります (逆の場合も同様)。例:

112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 はい
98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 はい
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 いいえ

1001 は 7 で割り切れるので、6 桁の数字 (先頭のゼロは許可されます) を形成する 1、2、または 3 桁の数字の繰り返しセットについて、すべての数字が 7 で割り切れるという興味深いパターンが形成されます。例:

001 001 = 1,001 / 7 = 143
010 010 = 10,010 / 7 = 1,430
011 011 = 11,011 / 7 = 1,573
100 100 = 100,100 / 7 = 14,300
101 101 = 101,101 / 7 = 14,443
110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443
10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873
222,222 / 7 = 31,746
999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

上記のすべての例において、最初の 3 桁を最後の 3 桁から減算すると、7 の倍数になります。先頭のゼロを使用して 6 桁のパターンを形成できることに注意してください。

この現象がステップ B と C の基礎となります。

ステップ B: 整数が 1001 から 100 万の間である場合、その整数に近い 6 桁の数字を形成する 1、2、または 3 桁の繰り返しパターンを見つけます (先頭のゼロは許可されており、パターンを視覚化するのに役立ちます)。正の差が 1000 未満の場合は、ステップ A を適用します。これは、最初の 3 桁を最後の 3 桁から減算することで実行できます。例:

341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 はい
 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 はい

999,999 が 7 の倍数であるという事実は、整数をステップ B を使用して決定できる 6 桁の数字に減らすことによって、100 万を超える整数の割り切れるかどうかを判定するために使用できます。これは、最初の 6 桁の残りの数字を最後の 6 桁に追加し、ステップ A に従うことで簡単に実行できます。

ステップ C: 整数が 100 万より大きい場合は、999,999 の最も近い倍数を減算してからステップ B を適用します。さらに大きな数値の場合は、12 桁 (999,999,999,999) などの大きなセットを使用します。次に、ステップ B を使用して解ける小さな数値に整数を分割します。例:

22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442
   862,442 -> 862 − 442 (ステップB) = 420 -> 42 − (0×2) (ステップA) = 42 はい

これにより、3 桁の数字を交互に加算および減算して、7 で割り切れるかどうかを判断できます。これらのパターンを理解すると、次の例に示すように、7 で割り切れるかどうかをすばやく計算できます。

7 で割り切れるかどうかの Pohlman-Mass 法、例:

98は7で割り切れますか？
98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 はい (ステップA)

634は7で割り切れますか？
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 いいえ (ステップA)

355,341 は 7 で割り切れますか?
355,341 − 341,341 = 14,000 (ステップ B) -> 014 − 000 (ステップ B) -> 14 = 1 − (4×2) (ステップ A) = 1 − 8 = −7 はい

42,341,530 は 7 で割り切れますか?
42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (ステップ C)
341,572 − 341,341 = 231 (ステップB)
231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 はい（ステップA）

素早く交互に加算と減算を行う:
 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 はい

3 の掛け算、7 で割り切れる方法、例:

98は7で割り切れますか？
98 -> 9 余り 2 -> 2×3 + 8 = 14 はい

634は7で割り切れますか？
634 -> 6×3 + 3 = 21 -> 余り 0 -> 0×3 + 4 = 4 いいえ

355,341 は 7 で割り切れますか?
3 × 3 + 5 = 14 -> 余り 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> 余り 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> 余り 2 -> 2×3 + 1 = 7 はい

1036125837を7で割った余りを求めます
1×3 + 0 = 3
3×3 + 3 = 12 余り 5
5×3 + 6 = 21 余り 0
0×3 + 1 = 1
1×3 + 2 = 5
5×3 + 5 = 20 余り 6
6×3 + 8 = 26 余り 5
5×3 + 3 = 18 余り 4
4×3 + 7 = 19 余り 5
答えは5です

数を 7 で割った余りを求める

7 − (1、3、2、−1、−3、−2、次の 6 桁のサイクル繰り返し) 周期: 6 桁。繰り返し数字: 1、3、2、−1、−3、−2
最小絶対値シーケンス
(1、3、2、6、4、5、次の 6 桁のサイクル繰り返し) 周期: 6 桁。繰り返し数字: 1、3、2、6、4、5 正
のシーケンス

数列の右端の数字と左端の数字を掛け合わせ、さらに右から 2 番目の数字と左から 2 番目の数字を掛け合わせ、これを繰り返します。次に、すべての値の合計を計算し、7 を法とします。
例: 1036125837 を 7 で割ったときの余りはいくらでしょうか。

右端の桁の乗算 = 1 × 7 = 7

右端から 2 番目の桁の乗算 = 3 × 3 = 9 右端から 3 番目の

桁 = 8 × 2 = 16

右端から 4 番目の桁 = 5 × −1 = −5

右端から 5 番目の桁 = 2 × −3 = −6

右端から 6 番目の桁 = 1 × −2 = −2

右端から 7 番目の桁 = 6 × 1 = 6

右端から 8 番目の桁 = 3 × 3 = 9

右端から 9 番目の桁 = 0 右端から10

番目の桁 = 1 × −1 = −1

合計 = 33

33 モジュラス 7 = 5

余り = 5

7 で割り切れる数の対数法

この方法では、数字のペアに1、-3、2 のパターンを使用します。つまり、最初に数字を数字のペアに分割し、次に 3 桁のペア (6 桁) にアルゴリズムを適用することで、任意の数が 7 で割り切れるかどうかをテストできます。数字が 6 桁より小さい場合は、6 桁になるまで右側にゼロを埋めます。数字が 6 桁より大きい場合は、次の 6 桁のグループでサイクルを繰り返し、結果を加算します。結果が小さい数になるまでアルゴリズムを繰り返します。元の数が 7 で割り切れるのは、このアルゴリズムを使用して取得された数が 7 で割り切れる場合のみです。この方法は、特に大きな数に適しています。

例 1:
テストする数字は 157514 です。まず、数字を 15、75、14 の 3 つの数字のペアに分けます。
次に、アルゴリズムを適用します: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
結果の 182 は 6 桁未満なので、6 桁になるまで右側にゼロを追加します。
次に、アルゴリズムを再度適用します: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42
結果の −42 は 7 で割り切れるので、元の数字 157514 は 7 で割り切れます。

例 2:
テストする数値は 15751537186​​ です。
( 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + ( 1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77
結果の −77 は 7 で割り切れるので、元の数値 15751537186​​ は 7 で割り切れます。

7で割り切れる別の数字ペア法

方法

これは、ある数を 7 で割ったときの余りを計算する非再帰的な方法です。

1. 数字を 1 の位から始まる数字のペアに分けます。必要に応じて、数字の前に 0 を付けて最後のペアを完成させます。
2. 各桁の数字を 7 で割った余りを計算します。
3. 余りに、1、2、4、1、2、4、... という順序で適切な乗数を掛けます。つまり、一の位と十の位からなる数字のペアの余りには 1 を掛け、百と千には 2 を掛け、一万と十万には 4 を掛け、百万と千には再び 1 を掛け、というように掛けていきます。
4. 各積を 7 で割ったときの余りを計算します。
5. これらの残りを加算します。
6. 合計を 7 で割った余りは、与えられた数を 7 で割った余りです。

例えば：

194,536 を 7 で割ると 6 余ります。

510,517,813 を 7 で割ると余りは 1 になります。

方法の正しさの証明

この方法は、100 を 7 で割ると 2 余りが残るという観察に基づいています。また、数字を数字のペアに分割しているので、基本的には 100 の累乗になります。

1 法 7 = 1

100 剰余 7 = 2

10,000 を 7 で割ると 2^2 = 4 になります

1,000,000 mod 7 = 2^3 = 8; 8 モジュラ 7 = 1

100,000,000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 モジュラ 7 = 2

10,000,000,000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4

等々。

この方法の正しさは、次の等式の連鎖によって確立されます。

N を与えられた数とします。 ${\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}}$

${\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7}$

${\displaystyle [\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1})\times 10^{2k-2}]{\bmod {7}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7} })}$

方法

11 で割り切れるかどうかを確認するには、各桁の交互の和を考えます。たとえば、907,071 の場合:

${\displaystyle 9-0+7-0+7-1=22=2\times 11,}$

つまり、907,071 は 11 で割り切れます。

全体を で乗算しても何も変わらない ので、 または のどちらから始めてもかまいません。${\displaystyle -}$${\displaystyle +}$${\displaystyle -1}$

方法の正しさの証明

を考慮すると、任意の整数に対して次のように書くことができます。 ${\displaystyle 10\equiv -1{\bmod {1}}1}$

${\displaystyle {\overline {a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0}}}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\equiv \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{i}{\bmod {1}}1.}$

余りテスト 13 (1、-3、-4、-1、3、4、サイクルが続きます。) 負の数に慣れていない場合は、このシーケンスを使用してください。 (1、10、9、12、3、4)

上記の数列の一番右の桁を一番左の桁に掛け、右から 2 番目の桁を数列の一番左から 2 番目の桁に掛けます。このサイクルが続きます。

例: 321 を 13 で割ったときの余りはいくらですか?
最初の数列を使用すると、
答え: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17
余り = −17 mod 13 = 9

例: 1234567 を 13 で割ったときの余りはいくらですか?
2 番目の数列を使用すると、
答え: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9
余り = 9

再帰法は、およびという事実を使用して導くことができます。これは、最初の桁を削除し、新しい最初の桁からその桁の 3 倍を引くと 13 で割り切れる数になる場合にのみ、数が 13 で割り切れることを意味します。また、10 x + y が割り切れる場合と、x + 4 y が 13 で割り切れる場合の規則もあります。たとえば、1761 が 13 で割り切れるかどうかをテストするには、最初の規則を使用して、これを 461 が割り切れるかどうかに簡略化できます。2 番目の規則を使用すると、これは 50 が割り切れるかどうかに簡略化され、これをもう一度実行すると 5 になります。したがって、1761 は 13 で割り切れません。 ${\displaystyle 10=-3{\bmod {1}}3}$${\displaystyle 10^{-1}=4{\bmod {1}}3}$

このように 871 をテストすると、2 番目の規則を使用して 91 で割り切れるようになり、さらにその規則を再度使用して 13 で割り切れるので、871 は 13 で割り切れることがわかります。

数値の割り切れる性質は、除数の種類に応じて 2 つの方法で決定できます。

ある数が与えられた除数で割り切れるとは、その数がその素因数の最大の累乗で割り切れる場合です。たとえば、36 で割り切れるかどうかを調べるには、4 と 9 で割り切れるかどうかを調べます。^[6] 3 と 12、または 2 と 18 を調べるだけでは十分ではないことに注意してください。素因数表が役に立つ場合があります。

合成約数にも、以下に示す素約数と同じ手順で形成される規則がある場合がありますが、関係する操作によって、約数に存在する因数がもたらされない可能性があるという注意点があります。たとえば、14 に対して、方程式に 7 を掛ける規則を作成することはできません。これは、素約数にはより小さい因数がないため、問題にはなりません。

目標は、検討中の素数を法として10 の逆数を見つけ(2 や 5 では機能しない)、それを乗数として使用して、元の数をその素数で割り切れるかどうかが、新しい (通常はより小さい) 数を同じ素数で割り切れるかどうかに依存するようにすることです。31 を例にとると、10 × (−3) = −30 = 1 mod 31 であるため、下の表のy  − 3 xを使用する規則が得られます。同様に、10 × (28) = 280 = 1 mod 31 であるため、同じ種類の補足規則y  + 28 xが得られます。加算または減算の選択は、小さい方の値の算術的な都合によって決まります。実際、2 と 5 以外の素数の約数に関するこの規則は、実際には10 と互いに素な任意の整数 (33 と 39 を含む。下の表を参照) で割り切れるかどうかに関する規則です。このため、10 と互いに素な任意の数に対する上記および下記の表の最後の割り切れる条件は、同じ種類の形式 (最後の桁の倍数を残りの数に加算または減算する) になります。

Dが1、3、7、または 9 で終わる場合にDで割り切れるかどうかをテストするには、次の方法を使用できます。 ^{[12] 9 で終わる}Dの倍数を探します。 ( D がそれぞれ 1、3、7、または 9 で終わる場合は、9、3、7、または 1 を掛けます) 次に 1 を足して 10 で割り、結果をmとします。すると、数N = 10 t + qがDで割り切れるのは、 mq + tがDで割り切れる場合のみです。数が大きすぎる場合は、 10 ^e = 1 または 10 ^e = −1 (mod D )のいずれかを満たす、それぞれe桁の複数の文字列に分割することもできます。数値の合計 (または交互和) は、元の数値と同じ割り切れ方になります。

たとえば、913 = 10×91 + 3 が 11 で割り切れるかどうかを判断するには、m = (11×9+1)÷10 = 10 であることを確認します。すると、mq+t = 10×3+91 = 121 となり、これは 11 で割り切れます (商は 11)。したがって、913 も 11 で割り切れます。別の例として、689 = 10×68 + 9 が 53 で割り切れるかどうかを判断するには、m = (53×3+1)÷10 = 16 であることを確認します。すると、mq+t = 16×9 + 68 = 212 となり、これは 53 で割り切れます (商は 4)。したがって、689 も 53 で割り切れます。

あるいは、任意の数 Q = 10c + d は n = 10a + b で割り切れ、ある整数 A に対して c + D(n)d = An であれば gcd(n, 2, 5) = 1 となります。ただし、 ${\displaystyle D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\ }$

D(n)によって生成されるシーケンスの最初のいくつかの項は、1、1、5、1、10、4、12、2、...（OEISのシーケンスA333448 ）です。

D(n)の区分形式とそれによって生成される数列は、2020年3月にブルガリアの数学者イヴァン・ストイコフによって初めて発表されました。^[13]

より単純なルールの多くは、代数操作、つまり二項式の作成と並べ替えのみを使用して生成できます。各桁の合計に 10 の累乗を掛けて数値を書くことで、各桁の累乗を個別に操作できます。

すべての桁を合計する場合

この方法は、10 − 1 = 9 の因数である約数に対して有効です。

3 を例に挙げると、3 は 9 を = 10 − 1 で割り切れます。つまり(剰余演算を参照)。10 のより高い累乗についても同じで、 すべて 3 を法として 1 と合同です。3 を法として合同な 2 つのものは、どちらも 3 で割り切れるか、どちらも 3 で割り切れないかのどちらかであるため、3 を法として合同な値は交換できます。したがって、次のような数値では、10 の累乗をすべて 1 に置き換えることができます。 ${\displaystyle 10\equiv 1{\pmod {3}}}$${\displaystyle 10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}}$

${\displaystyle 100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c\equiv (1)a+(1)b+(1)c{\pmod {3}}}$

これはまさに数字の合計です。

桁の交互加算が使用される場合

この方法は、10 + 1 = 11 の因数である約数に対して有効です。

11 を例に挙げると、11 は 11 = 10 + 1 を割り切ります。つまり、 となります。10 のより大きな累乗については、偶数累乗では 1 に、奇数累乗では -1 に一致します。 ${\displaystyle 10\equiv -1{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 10^{n}\equiv (-1)^{n}\equiv {\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\-1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}{\pmod {11}}.}$

前の場合と同様に、10 の累乗を一致する値に置き換えることができます。

${\displaystyle 1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+1\cdot d\equiv (-1)a+(1)b+(-1)c+(1)d{\pmod {11}}}$

これは、奇数桁の数字の合計と偶数桁の数字の合計の差でもあります。

最後の桁のみが重要な場合

これは、10 の累乗の因数である除数に適用されます。これは、十分に高い底の累乗が除数の倍数であり、消去できるためです。

たとえば、10 進数では、10 ¹の約数には 2、5、10 が含まれます。したがって、2、5、10 で割り切れるかどうかは、最後の 1 桁がそれらの約数で割り切れるかどうかによってのみ決まります。10 ²の約数には4 と 25 が含まれ、それらで割り切れるかどうかは、最後の 2 桁によってのみ決まります。

最後の桁のみ削除する場合

ほとんどの数は 9 または 10 を割り切れませんが、10 ⁿまたは 10 ⁿ  − 1 のより高い累乗は割り切れます。この場合、数は 10 の累乗で表されますが、完全に展開されるわけではありません。

例えば、7は9や10を割り切れませんが、100に近い98は割り切れます。したがって、

${\displaystyle 100\cdot a+b}$

この場合、aは任意の整数で、bは0から99の範囲です。次に、

${\displaystyle (98+2)\cdot a+b}$

そして再び拡大

${\displaystyle 98\cdot a+2\cdot a+b,}$

そして、7の倍数を消去すると、結果は

${\displaystyle 2\cdot a+b,}$

これは、「最後の 2 桁を除くすべての数字を 2 倍にして、最後の 2 桁を加算する」という規則です。

最後の桁に係数を掛ける場合

数の表現は、その割り切れる数を変えずに、その数と互いに素な任意の数で乗算することもできます。7 は 21 を割り切れることに気づいたら、次の操作を実行できます。

${\displaystyle 10\cdot a+b,}$

これを2倍すると、

${\displaystyle 20\cdot a+2\cdot b,}$

その後

${\displaystyle (21-1)\cdot a+2\cdot b.}$

21をなくすと

${\displaystyle -1\cdot a+2\cdot b,}$

そして−1を掛けると

${\displaystyle a-2\cdot b.}$

最後の 2 つのルールは、どちらが実行しやすいかによって、どちらかを使用できます。これらは、「最後の桁の数字を残りの数字から 2 倍減算する」というルールに対応します。

このセクションでは、基本的な方法を説明します。すべての規則は同じ手順に従って導き出すことができます。以下では、モジュラー算術の基本的な知識が必要です。2 と 5 以外で割り切れる場合の証明は、10 とmが互いに素である場合に 10 mod mが逆算可能であるという基本的な事実に基づいています。

2 ⁿまたは 5 ⁿの場合:

最後のn桁のみをチェックする必要があります。

${\displaystyle 10^{n}=2^{n}\cdot 5^{n}\equiv 0{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}}$

xを次のように表すと${\displaystyle 10^{n}\cdot y+z,}$

${\displaystyle x=10^{n}\cdot y+z\equiv z{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}}$

xの割り切れる数はzの割り切れる数と同じです。

7の場合:

10 × 5 ≡ 10 × (−2) ≡ 1 (mod 7) なので、次のようになります。

xを次のように表すと${\displaystyle 10\cdot y+z,}$

${\displaystyle -2x\equiv y-2z{\pmod {7}},}$

したがって、 y − 2 zが 7で割り切れる場合のみ、x は7で割り切れます。

• ゼロ除算
• パリティ（数学）

• アポストル、トム・M. (1976)。解析的数論入門。数学の学部テキスト。第1巻。Springer- Verlag。ISBN 978-0-387-90163-3。
• キサチャニン、ブラニスラフ（1998）。数学の問題と証明：組合せ論、数論、幾何学。プレナム・プレス。ISBN 978-0-306-45967-2。
• リッチモンド、ベティナ、リッチモンド、トーマス (2009)。「高度な数学への離散的移行」純粋および応用学部テキスト第 3 巻。アメリカ数学会ISBN 978-0-8218-4789-3。

• 結び目を切る際の分割基準
• 愚かな割り算のトリック 2～100 までの割り算のルール。