相互性（電磁気学）

古典電磁気学において、相互性は、一定の制約の下で時間不変の線形媒体に対するマクスウェル方程式における時間調和電流密度（発生源）と結果として生じる電磁場の交換を含む、さまざまな関連定理を指します。相互性は、電磁気学に適用される 線型代数の対称演算子の概念と密接に関連しています。

おそらく最も一般的で一般的な定理はローレンツの相反性（およびレイリー・カーソンの相反性などのさまざまな特殊なケース）であり、レイリー卿による音とヘルムホルツによる光に関する類似の結果を受けて1896年にヘンドリック・ローレンツが行った研究にちなんで名付けられました（Potton 2004）。大まかに言えば、電流が流される点と電場が測定される点を入れ替えても、振動電流と結果として生じる電場の関係は変わらないと述べています。電気ネットワークの特定のケースでは、ネットワーク内の異なるポイントでの電圧と電流は交換可能であるというステートメントとして表現されることがあります。より技術的には、2番目の回路による1番目の回路の相互インピーダンスは、1番目の回路による2番目の回路の相互インピーダンスと同じになります。

相互性は光学において有用であり、（量子効果とは別に）古典的電磁気学だけでなく放射測定法でも表現できます。

静電気学にも、電位と電荷密度の交換に関するグリーンの相反性として知られる類似の定理があります。

相互性定理の形式は、電気ネットワークやアンテナシステムの解析など、多くの電磁気学の応用で使用されています。^[1] たとえば、相互性は、アンテナが送信機としても受信機としても同様に機能すること、具体的には、アンテナの放射パターンと受信パターンが同一であることを意味します。相互性は、インピーダンス行列と散乱行列の対称性、境界要素および転送行列の計算方法で使用するグリーン関数の対称性、導波路システムにおける高調波モードの直交性特性（これらの特性を固有演算子の対称性から直接証明する代わりに）など、電磁気システムに関する他の定理を証明するために使用される基本的な補題でもあります。

具体的には、電流密度があり、電場と磁場を生成するとします。この 3 つはすべて、角周波数ωを持つ時間の周期関数であり、特に時間依存性があります。同様に、同じ周波数ωで2 番目の電流があり、それ自体で電場と磁場を生成するとします。ローレンツの相反定理は、以下で説明する媒体の材料に関する特定の単純な条件下で、体積V を囲む任意の表面Sについて、次のことを述べています。 ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}\,,}$ ${\displaystyle \exp(-i\omega t)\,.}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\,.}$

${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$

同様に、微分形式では（発散定理により）次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ .}$

この一般形は、多くの特殊なケースでは簡略化されることが多い。特に、通常はと が局所化されている（つまり、コンパクトなサポートを持つ）こと、また無限遠方から入射する波がないことが想定される。この場合、空間全体で積分すると、面積分項が打ち消され（以下を参照）、次式が得られる。 ${\displaystyle \ \mathbf {J} _{1}\ }$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,\mathrm {d} V=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\mathrm {d} V\ .}$

この結果（および以下の簡略化）は、レイリー卿の音波に関する研究とカーソン（1924年、1930年）による無線周波数アンテナへの応用への拡張にちなんで、レイリー-カーソン相反定理と呼ばれることもあります。多くの場合、この関係は点状の双極子源を考慮することでさらに簡略化されます。その場合、積分は消え、単に電界と電流の対応する双極子モーメントの積が得られます。または、無視できるほど薄い電線の場合は、1本の電線に印加された電流と別の電線にかかる電圧を掛け合わせたものが得られ、その逆も同様です。以下も参照してください。

ローレンツの相互定理の別の特殊なケースは、体積V が両方の局所的なソースを完全に含む場合(またはV がどちらのソースとも交差しない場合) に適用されます。この場合、

${\displaystyle \ \oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} =\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$

実際の問題では、ローレンツ関係やその他の相互関係のより一般化された形式があり、電流密度 に加えて磁気電流密度も使用されます。これらのタイプの相互関係は通常、電気工学の文献で議論されています。 ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]}${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {M} \ }$

上記では、ローレンツの相反性は、外部から印加される電流源とその結果生じる場という観点から説明されました。多くの場合、特に電気ネットワークでは、代わりに外部から印加される電圧とその結果生じる電流について考えることが好まれます。ローレンツの相反性定理は、このケースも説明しており、対称であることが求められる3×3導電率マトリックスσを持つオーム性材料(つまり、印加された場に対して線形に反応する電流)を想定しています。これは、以下の他の条件によって暗示されています。この状況を適切に説明するには、外部から印加される場 (駆動電圧から) と、結果として生じる全場とを注意深く区別する必要があります( King 、 1963)。

より具体的には、上記はマクスウェル方程式に導入された外部「ソース」項のみで構成されていました。これを、外部ソースと材料内の結果として生じる電界の両方によって生成される合計電流と区別するために、 と表記します。この外部電流が導電率σの材料内にある場合、それは外部から印加される電界に対応し、σの定義により次のようになります。 ${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {J} ^{(e)}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(e)}\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {J} ^{(e)}=\sigma \mathbf {E} ^{(e)}\ .}$

さらに、上記の電場はこの電流に対する応答のみで構成されており、「外部」の場は含まれていません。したがって、前の場を次のように表します。ここで、全体の場は次のように表されます。${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(e)}\ .}$${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {E} =\mathbf {E} ^{(e)}+\mathbf {E} ^{(r)}\ .}$

さて、ローレンツの相互定理の左側の式は、σを外部電流項から応答場項に移動し、項を加算および減算することで書き直すことができ、外部場と全電流の積が得られる。${\displaystyle \mathbf {J} ^{(e)}}$${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,}$${\displaystyle \ \sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\mathbf {E} _{2}^{(e)}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} \ :}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(r)}-\mathbf {E} _{1}^{(r)}\cdot \mathbf {J} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \left(\mathbf {E} _{2}^{(r)}+\mathbf {E} _{2}^{(e)}\right)-\left(\mathbf {E} _{1}^{(r)}+\mathbf {E} _{1}^{(e)}\right)\cdot \sigma \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {J} _{2}-\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\ .\end{aligned}}}$

細いワイヤの極限では、これは外部から印加された電圧 (1) と結果として生じる全電流 (2) の積となり、その逆も同様である。特に、レイリー・カーソンの相反定理は単純な合計となる。

${\displaystyle \ \sum _{n}{\mathcal {V}}_{1}^{(n)}I_{2}^{(n)}=\sum _{n}{\mathcal {V}}_{2}^{(n)}I_{1}^{(n)}}$

ここで、およびIは、 2つの可能な電圧セットと電圧セットに対する回路要素のセット（nでインデックス付け）におけるAC印加電圧と結果として生じる電流の複素振幅をそれぞれ表します。${\displaystyle \ {\mathcal {V}}\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{1}\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}\ .}$

最も一般的には、これは各システムが単一の電圧源を持つ場合にさらに簡略化され、その場合定理は単純に ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{\text{s}}\ ,}$${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{1}^{(1)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}^{(2)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ .}$

${\displaystyle I_{1}^{(2)}=I_{2}^{(1)}}$

または言葉で言うと:

（2）の電圧からの位置（1）の電流は、（1）の同じ電圧からの位置（2）の電流と同一である。

ローレンツの相反定理は、固定周波数（線型媒体） でと を関連付ける線型演算子が次の式を満たすという事実を反映しているだけです。 ここで は 、 通常、ベクトル場と^[8]の「内積」の下で対称演算子です （技術的には、この非共役形式は、複素数値場に対しては実数値ではないため、真の内積ではありませんが、ここでは問題になりません。この意味で、演算子は真のエルミート型ではなく、複素対称型です）。これは、与えられたωにおける誘電率εと透磁率μが対称3×3 行列（対称階数 2 テンソル）である場合に常に当てはまります。もちろん、これらがスカラーである一般的なケース（等方性媒体の場合）も含まれます。これらは実数である必要はありません。複素数値は、有限の導電率σを持つ導体（ を介してεに含まれる）などの損失のある材料に対応しており、このため、相互定理は時間反転不変性を必要としません。対称ε行列とμ行列の条件は、ほぼ常に満たされます。例外については以下を参照してください。 ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} }$$$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \equiv {\frac {1}{i\omega }}\left[{\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-\;\omega ^{2}\varepsilon \right]\mathbf {E} }$$${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {G} \ .}$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon +i\sigma /\omega \ }$

内積 の下での任意のエルミート演算子に対して、定義により が成り立ち、レイリー・カーソンの相互定理は、この特定の演算子に対するこのステートメントのベクトル版に過ぎず、 となります。ここでの演算子のエルミート特性は、部分積分によって導くことができます。有限積分体積に対して、この部分積分からの表面項は、上記のより一般的な表面積分定理をもたらします。特に、重要な事実は、ベクトル場 と、表面S で囲まれた体積V上の部分積分 (または発散定理) に対して、次の恒等式を与えることです。 ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$${\displaystyle (f,g)\!}$${\displaystyle (f,\operatorname {\hat {O}} g)=(\operatorname {\hat {O}} f,g)}$${\displaystyle \mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \ :}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})=(\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})\ .}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {G} \ ,}$$${\displaystyle \int _{V}\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )\,\mathrm {d} V\equiv \int _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V-\oint _{S}(\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \ .}$$

この恒等式を 2 回適用すると、プラス面項 が得られ、ローレンツの相互関係が得られます。${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})}$${\displaystyle (\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})}$

マクスウェル方程式とベクトル演算を用いたローレンツの相互性の条件と証明^[9]

ローレンツの電磁相互作用定理の一般形を証明します。これは、2つの異なる正弦波電流密度によってそれぞれ生成される同じ周波数の 場と場が、次の条件を満たすというものです。${\displaystyle \mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$$${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} .}$$

誘電率と透磁率が位置の関数ではあるが時間の関数ではない領域を考えてみましょう。領域の全フィールド、電流、電荷で記述されるマクスウェル方程式は、領域の電磁気的挙動を記述します。2 つの回転方程式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \ .\end{array}}}$$

安定した一定周波数条件下では、2 つの回転方程式から時間周期の場合の Maxwell 方程式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-j\omega \mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +j\omega \mathbf {D} \ .\end{array}}}$$

この記事の方程式の記号は の複素乗数を表し、選択された基準に対する同相部分と逆相部分を表すことを認識する必要があります。 の複素ベクトル乗数は、一般に位相器と呼ばれる複素スカラー量と同様に、ベクトル位相器と呼ばれることがあります。 ${\displaystyle e^{j\omega t}}$${\displaystyle e^{j\omega t}}$

ベクトル演算の同値性は、 すべてのベクトルと$${\displaystyle \mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )}$$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {H} \ .}$

この等価性を に適用すると次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\cdot (\nabla \times \mathbf {E} _{1})-\mathbf {E} _{1}\cdot (\nabla \times \mathbf {H} _{2})=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .}$$

時間周期方程式の積をこの最後の同値で示されるように取って足すと、 $${\displaystyle -\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}-\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .}$$

これは現在、懸念される量にわたって統合される可能性がある。 $${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\int _{V}\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\mathrm {d} V\ .}$$

発散定理から、 の体積積分は境界上の の表面積積分に等しくなります。${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}}$$${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

この形式は一般的な媒体では有効ですが、線形、等方性、時間不変の物質の一般的なケースでは、εは時間に依存しないスカラーです。したがって、一般に物理的な大きさと${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} \ .}$

最後の方程式は $${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

まったく同様の方法で、ベクトルについては次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$$${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{1}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1}\right)\operatorname {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

最後の2つの方程式を要素で減算すると 、微分形式 QEDで同等になります。$${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\operatorname {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$$$${\displaystyle \ \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ }$$

全空間にわたる積分に対するローレンツの相互定理の右辺の表面積項の打ち消しは、完全に自明ではないが、いくつかの方法で導くことができる。表面積分の厳密な取り扱いは、相互作用する波場状態の因果関係を考慮に入れる：無限遠における表面積分の寄与は、2つの因果波場の時間畳み込み相互作用に対してのみゼロになる（時間相関相互作用は非ゼロの寄与につながる）。^[10]

もう 1 つの単純な議論は、局所的なソースの場合、フィールドは無限遠でゼロになるというものですが、この議論は損失のない媒体の場合には当てはまりません。吸収がない場合、放射フィールドは距離に反比例して減衰しますが、積分の表面積は距離の 2 乗で増加するため、積分では 2 つの率が互いにバランスします。

代わりに、媒体は十分に離れたところから均質かつ等方性であると仮定するのが一般的です (例: King、1963)。この場合、放射場は、 および とともに、放射状に外側 ( 方向) に伝播する平面波の形を漸近的に取ります。ここで、 Zは周囲の媒体のスカラーインピーダンスです。次に、単純なベクトル恒等式により となり、同様に、2つの項は互いに打ち消し合います。 ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }}$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }\cdot \mathbf {E} =0}$${\displaystyle \mathbf {H} ={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /Z}$ ${\textstyle {\sqrt {\mu /\epsilon }}}$${\displaystyle \ \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}={\frac {\mathbf {E} _{1}\times {\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ ,}$${\displaystyle {\frac {\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}\ .}$${\displaystyle \mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}={\frac {\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {E} _{1}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}}$

上記の議論は、表面項が打ち消される理由を明示的に示していますが、一般性に欠けています。あるいは、極限吸収原理(LAP) によって課せられた放射境界条件で、損失のない周囲媒体の場合を扱うことができます。損失 ( εの虚数部) がゼロになる極限を取ります。ゼロ以外の損失については、媒体が均質であるかどうかに関係なく、フィールドは距離とともに指数関数的に減衰し、表面積分はゼロになります。ローレンツの相反定理の左辺は、ゼロ以外の損失を持つすべての空間での積分に対してゼロになるため、損失がゼロになる極限でもゼロにならなければなりません。(LAP は、無限遠からの入射波がゼロであるというゾンマーフェルトの放射条件を暗黙的に課していることに注意してください。そうでないと、任意の小さな損失でも入射波が除去され、極限では損失のない解が得られないためです。)

演算子 の逆、すなわち（これは、損失のないシステムでの無限遠での境界条件の指定を必要とする）は、 と同じ対称性を持ち、本質的にグリーン関数の畳み込みである。したがって、ローレンツの相互性に関する別の観点は、電磁グリーン関数との畳み込みがεおよびμの適切な条件下で複素対称（または以下では反エルミート）線形演算であるという事実を反映しているというものである。より具体的には、グリーン関数は、におけるm番目の方向の点双極子電流から​​におけるのn番目の成分を与えると書くことができ（本質的に、の行列要素を与える）、レイリー・カーソンの相互性は、 というステートメントと同等である。とは異なり、グリーン関数の明示的な式を与えることは一般には不可能であるが（均質媒体などの特殊な場合を除く）、数値的方法によって日常的に計算される。 ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$${\displaystyle \mathbf {E} =\operatorname {\hat {O}} ^{-1}\mathbf {J} }$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {x} '}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} ^{-1}}$${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )=G_{mn}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\ .}$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$

ε が対称行列ではない場合の 1 つは、磁気光学材料の場合です。この場合は、通常のローレンツの相反性は成り立ちません (ただし、一般化については以下を参照)。磁気光学材料を許容し、材料の吸収が無視できる状況に限定すると、εとμは一般に 3×3 複素エルミート行列です。この場合、演算子は共役内積の下でエルミートであり、相反定理の変形^[要出典]が依然として成立します。 ここで、符号が変化する理由は、上の式の によるもので、これにより演算子は反エルミートになります(表面項を無視した場合)。の特殊なケースでは、エネルギー保存則またはポインティングの定理が再述されます(ここでは上記とは異なり、損失のない材料を想定しているため)。電流による仕事の時間平均率 (の実数部で与えられる) は、電力の時間平均外向きフラックス (ポインティング ベクトルの積分) に等しくなります。ただし、同様に、この相互性バリアントについて空間全体で積分すると、表面項は一般には消えないため、追加の仮定なしではレイリー カーソン形式は成立しません。 ${\textstyle \ {\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon }$${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} ^{*}\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V\ ,}$$${\displaystyle -\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{*}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}^{*}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}^{*}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}^{*}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} A} }$$${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}}$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{2}\ ,}$${\displaystyle -\mathbf {J} ^{*}\cdot \mathbf {E} }$

磁気光学材料がレイリー・カーソンの相反性を破壊するという事実は、ファラデーアイソレータやサーキュレータなどのデバイスにとって重要です。ファラデーアイソレータの片側の電流は反対側に磁場を生成しますが、その逆は 起こりません。

損失性材料と磁気光学材料の組み合わせの場合、一般に ε テンソルと μ テンソルが対称行列でもエルミート行列でもない場合でも、異なるシステムに と が存在すると見なすことで、ローレンツの相互関係の一般化バージョンを取得できます。 ${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$

特に、 がω におけるマクスウェル方程式を物質を持つシステムに対して満たし、が転置を表す物質を持つシステムに対してωにおけるマクスウェル方程式を満たす場合、ローレンツの相互法則の式が成り立ちます。これは、 6×6の完全な磁化率テンソルを転置することで、双異方性物質にさらに一般化できます。 ^[11]${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$${\displaystyle (\varepsilon _{1},\mu _{1})\ ,}$${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$${\displaystyle \left(\varepsilon _{1}^{\mathsf {T}},\mu _{1}^{\mathsf {T}}\right)\ ,}$${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

非線形媒体の場合、一般的に相互性定理は成立しません。また、相互性は、時間によって変化する（「アクティブ」）媒体にも一般的には適用されません。たとえば、ε が何らかの外部プロセスによって時間的に変調される場合などです。（どちらの場合も、周波数ωは一般的に保存量ではありません。）

1992年に、密接に関連した相互性定理がYA Feld ^[12]とCT Tai ^{[13]によって独立に表現され、} Feld-Tai相互性またはFeld-Tai補題 として知られています。これは、2つの時間調和局所電流源とその結果生じる磁場を関連付けます。

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2}\,\operatorname {d} V=\int \mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\operatorname {d} V\ .}$

しかし、フェルド・タイの補題は、ローレンツの相反性よりもはるかに制限された条件下でのみ有効です。一般的に、この補題では、完全導電性材料の領域を除いて、等方性均質インピーダンス、つまり一定のスカラー μ / ε比を持つ時間不変の線形媒体が必要です。

より正確には、フェルド-タイの相互性は、上記のように電磁演算子のエルミート対称性（またはむしろ複素対称性）を必要とするが、 および に関連する演算子がおよびに関連する演算子の定数スカラー倍であるという仮定にも依存しており、これはε がμの定数スカラー倍であるときに真である（2 つの演算子は一般にεとμの入れ替えによって異なる）。 上記のように、有限体積上の積分のより一般的な定式化を構築することもできます。 ${\displaystyle \ \mathbf {E} \ }$${\displaystyle \ i\omega \mathbf {J} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {H} \ }$${\displaystyle \ \nabla \times (\mathbf {J} /\varepsilon )\ ,}$

量子効果とは別に、古典理論は、任意の時間経過を伴う近距離場、中距離場、遠距離場の電気および磁気現象をカバーします。光学は、遠距離場のほぼ正弦波振動電磁気効果を指します。電気変数と磁気変数のペアの代わりに、光学的相互性を含む光学は、従来比強度と呼ばれていたスペクトル放射輝度などの偏光ペア放射変数で表現できます。

1856年、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツは次のように書いています。

「点Aから発せられた光線は、屈折、反射などを経て点Bに到達します。点Aにおいて、光線の方向に2 つの垂直な平面a ₁、a ₂をとり、光線の振動をこれらの平面のそれぞれで 1 つずつ 2 つの部分に分割します。点Bの光線に同様の平面b ₁、b _{2 を}とります。すると、次の命題が証明されます。平面a ₁で偏光された光量J がAから与えられた光線の方向に発せられるとき、そのb ₁で偏光された光の部分KがBに到達します。逆に、 b ₁で偏光された光量J がBから発せられると、同じ量のa ₁で偏光された光量K がAに到達します。」^[14]

これはヘルムホルツの相反性（または反転）原理と呼ばれることもあります。 ^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]}波が磁場の作用を受けた物質を伝わる場合、相反性は破れる可能性があり、この原理は適用されません。^[14]同様に、光線の進路上に移動する物体がある場合、この原理はまったく適用できない場合があります。歴史的には、1849年にジョージ・ストークス卿が偏光を考慮せずに光学反転原理を述べま​​した。^{[21] [22] [23]}

熱力学の原理と同様に、この原理は、実験が提案された法則のテストであるという通常の状況とは対照的に、実験が正しく実行されているかどうかをチェックするのに十分信頼できる。^{[24] [25]}

この原理を最も簡単に述べると、「私があなたを見ることができれば、あなたも私を見ることができる」となります。この原理は、グスタフ・キルヒホッフが熱放射の法則を導出する際に使用され、マックス・プランクが熱放射の法則を分析する際にも使用されました。

レイトレーシンググローバルイルミネーションアルゴリズムでは、入射光と出射光は、双方向反射分布関数（BRDF）の結果に影響を与えることなく、互いに反転したものとして考えることができます。^[25]

上記の相互定理は振動場に対するものでしたが、グリーンの相互定理は電荷の分布が固定された静電気に対する類似の定理です(Panofsky および Phillips、1962)。

特に、全電荷密度 から生じる電位を とします。電位はポアソン方程式 を満たし、は真空の誘電率です。同様に、全電荷密度 から生じる電位を とします。 を満たします。どちらの場合も、電荷分布は局所的であると仮定し、電位は無限遠でゼロになるように選択できます。すると、グリーンの相反定理は、全空間の積分について次のようになります。 ${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{1}=\rho _{1}/\varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{2}=\rho _{2}/\varepsilon _{0}}$

${\displaystyle \int \rho _{1}\phi _{2}dV=\int \rho _{2}\phi _{1}\operatorname {d} V~.}$

この定理はグリーンの第二恒等式から簡単に証明できる。つまり、

${\displaystyle \int \phi _{2}(\nabla ^{2}\phi _{1})\operatorname {d} V=\int \phi _{1}(\nabla ^{2}\phi _{2})\operatorname {d} V\ ,}$

つまり、それはエルミート演算子です（次のように部分を 2 回積分するとわかります）。 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

• 表面等価原理