双方向反射率分布関数

双方向反射率分布関数( BRDF ) (シンボル) は、光源からの光が不透明な表面でどのように反射されるかを定義する 4 つの実変数の関数です。これは、現実世界の光の光学、コンピュータ グラフィックスアルゴリズム、コンピュータ ビジョンアルゴリズムで使用されます。この関数は、光の入射方向と出射方向(表面法線がz軸に沿う座標系で取得) を取り、方向 から表面に入射する放射照度に対する、反射放射照度の比率を返します。各方向は方位角と天頂角によってパラメーター化されるため、BRDF は全体として 4 つの変数の関数です。BRDF の単位は sr ⁻¹で、ステラジアン(sr) は立体角の単位です。 ${\displaystyle f_{\text{r}}(\omega _{\text{i}},\,\omega _{\text{r}})}$${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$${\displaystyle \omega _{\text{r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \omega _{\text{r}}}$${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$${\displaystyle \omega}$ ${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle \theta}$

BRDFは1965年頃にフレッド・ニコデムスによって初めて定義されました。^[1]定義は次のとおりです。

$${\displaystyle f_{\text{r}}(\omega _{\text{i}},\,\omega _{\text{r}})\,=\,{\frac {\mathrm {d} L_{\text{r}}(\omega _{\text{r}})}{\mathrm {d} E_{\text{i}}(\omega _{\text{i}})}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} L_{\text{r}}(\omega _{\text{r}})}{L_{\ text{i}}(\omega _{\text{i}})\cos \theta _{\text{i}}\mathrm {d} \omega _{\text{i}}}}$$

ここで、は放射輝度、つまり光線の方向の単位立体角あたり、光線に垂直な単位投影面積あたりのパワー、は放射照度、つまり単位表面積あたりのパワー、 は表面法線との間の角度です。指数は入射光を示し、 指数は反射光を示します。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \theta _{\text{i}}}$${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle {\text{i}}}$${\displaystyle {\text{r}}}$

関数が 2 つの微分の商として定義され、直接微分化されていない量の間の商として定義されない理由は、 以外の照射光（ にとっては重要ではない）が表面を照らし、それが に意図せず影響を与える可能性がある一方で、は によってのみ影響を受けるためです。 ${\displaystyle \mathrm {d} E_{\text{i}}(\omega _{\text{i}})}$${\displaystyle f_{\text{r}}(\omega _{\text{i}},\,\omega _{\text{r}})}$${\displaystyle L_{\text{r}}(\omega _{\text{r}})}$${\displaystyle \mathrm {d} L_{\text{r}}(\omega _{\text{r}})}$${\displaystyle \mathrm {d} E_{\text{i}}(\omega _{\text{i}})}$

空間的に変化する双方向反射率分布関数( SVBRDF) は 6 次元関数で、オブジェクトの表面上の 2D 位置を表します。 ${\displaystyle f_{\text{r}}(\omega _{\text{i}},\,\omega _{\text{r}},\,\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

双方向テクスチャ関数( BTF )は、非平坦な表面をモデリングするのに適しており、SVBRDF と同じパラメータ化を備えています。ただし、対照的に、BTF には、シャドウイング、マスキング、相互反射、表面下散乱などの非局所散乱効果が含まれます。したがって、表面上の各ポイントで BTF によって定義される関数は、見かけの BRDFと呼ばれます。

双方向表面散乱反射率分布関数( BSSRDF ) は、表面に入る光が内部で散乱し、別の場所から出ていく可能性がある、 さらに一般化された 8 次元関数です。${\displaystyle S(\mathbf {x} _{\text{i}},\,\omega _{\text{i}},\,\mathbf {x} _{\text{r}},\,\omega _{\text{r}})}$

これらすべてのケースでは、光の波長への依存性は無視されています。実際には、BRDF は波長に依存しており、虹彩や発光などの効果を考慮するには、波長への依存性を明示的にする必要があります。すべての光学要素が線形である一般的なケースでは、の場合を除き、関数は に従うことに注意してください。つまり、入射光と等しい波長の光のみを放射します。この場合、1 つの波長パラメータのみを使用して としてパラメータ化できます。 ${\displaystyle f_{\text{r}}(\lambda _{\text{i}},\,\omega _{\text{i}},\,\lambda _{\text{r}},\,\omega _{\text{r}})}$${\displaystyle f_{\text{r}}(\lambda _{\text{i}},\,\omega _{\text{i}},\,\lambda _{\text{r}},\,\omega _{\text{r}})=0}$${\displaystyle \lambda_{\text{i}}=\lambda_{\text{r}}}$${\displaystyle f_{\text{r}}(\lambda ,\,\omega _{\text{i}},\,\omega _{\text{r}})}$

物理的に現実的な逆線形光学BRDFには、次のような追加の特性がある^[2]。

• 陽性：${\displaystyle f_{\text{r}}(\omega _{\text{i}},\,\omega _{\text{r}})\geq 0}$
• ヘルムホルツの相反性に従う：${\displaystyle f_{\text{r}}(\omega _{\text{i}},\,\omega _{\text{r}})=f_{\text{r}}(\omega _{\text{r}},\,\omega _{\text{i}})}$
• エネルギーを節約する:${\displaystyle \forall \omega _{\text{i}},\,\int _{\Omega }f_{\text{r}}(\omega _{\text{i}},\,\omega _{\text{r}})\,\cos {\theta _{\text{r}}}d\omega _{\text{r}}\leq 1}$

BRDFは基本的な放射測定概念であり、コンピュータグラフィックスにおける合成シーンのフォトリアリスティックレンダリング（レンダリング方程式を参照）や、物体認識などの多くの逆問題に対するコンピュータビジョンで使用されています。BRDFは、太陽電池（例えばOPTOS形式を使用）や低濃度太陽光発電システムにおける光トラッピングのモデル化にも使用されています。 ^{[3] [4]}

衛星リモートセンシングの分野では、NASAはBRDFモデルを使用して表面反射率の異方性を特徴付けています。特定の陸地領域について、BRDFは選択された表面反射率の多角度観測に基づいて確立されます。単一の観測はビュージオメトリと太陽の角度に依存しますが、MODIS BRDF /アルベド製品は、500メートルの解像度で、いくつかのスペクトルバンドの固有の表面特性を説明します。^[5] BRDF /アルベド製品は、大気の散乱に応じて 表面アルベドをモデル化するために使用できます。

BRDFは、校正されたカメラと光源を使用して実際の物体から直接測定できます。^[6]しかし、コンピュータグラフィックスで頻繁に想定されるランバート反射率モデルを含む多くの現象論的および解析的モデルが提案されています。最近のモデルのいくつかの有用な機能は次のとおりです。

• 異方性反射の調整
• 少数の直感的なパラメータを使用して編集可能
• グレージング角でのフレネル効果を考慮する
• モンテカルロ法に適している。

W. Matusikらは、測定サンプル間の補間により現実的な結果が得られ、理解しやすいことを発見した。^[7]

• ランバート モデル。一定の BRDF によって完全に拡散する (マットな) 表面を表します。
• ロンメル・ゼーリガー、月と火星の反射。
• ハプケ散乱モデルは、多孔質、不規則、粒子状の表面に対する放射伝達解の物理的に動機付けられた近似です。天文学では惑星や小天体の表面反射シミュレーションによく使用されます。複数のバージョンと修正版が存在します。^{[9] [10]}
• フォン反射モデル、プラスチックのような鏡面反射に似た現象論的モデル。^[11]
• Blinn-PhongモデルはPhongモデルに似ていますが、特定の量を補間できるため、計算オーバーヘッドが削減されます。^[12]
• トーランス・スパローモデルは、表面を完全な鏡面反射面の分布として表現する一般的なモデルである。^[13]
• クック・トーランスモデル、波長と色の変化を考慮した鏡面マイクロファセットモデル（トーランス・スパロー）。^[14]
• ウォードモデルは、表面の接線方向（表面法線に加えて）に依存する楕円ガウス分布関数を持つ鏡面マイクロファセットモデルである。^[15]
• オーレン・ネイヤーモデルは、完全に拡散する（鏡面反射ではない）マイクロファセットを持つ「指向拡散」マイクロファセットモデルである。^[16]
• アシクミン・シャーリーモデルは、異方性反射と鏡面下の拡散基板を考慮している。^[17]
• HTSG（He、Torrance、Sillion、Greenberg）、包括的な物理ベースモデル。^[18]
• フィッティングされたラフォーチュンモデルは、複数の鏡面ローブを持つフォンの一般化であり、測定データのパラメトリックフィッティングを目的としています。^[19]
• 解析グリッドBRDF近似のためのレベデフモデル。^[20]
• 光沢のある表面を正確かつ効率的にレンダリングするためのABCのようなモデル。^[21]
• ABgモデル^{[22] [23]}
• K相関（ABC）モデル^[24]

従来、ゴニオリフレクトメーターと呼ばれるBRDF測定装置は、1つまたは複数のゴニオメトリックアームを使用して、測定対象となる材料の平らなサンプルからさまざまな方向に光源と検出器を配置します。完全なBRDFを測定するには、このプロセスを何度も繰り返し、そのたびに光源を移動して異なる入射角を測定する必要があります。^[25] 残念ながら、このような装置を使用してBRDFを高密度に測定すると、非常に時間がかかります。これらの技術の最初の改良の1つは、半銀鏡とデジタルカメラを使用して、平面ターゲットのBRDFサンプルを一度に多数取得しました。この研究以来、多くの研究者が現実世界のサンプルからBRDFを効率的に取得するための他の装置を開発しており、現在でも活発な研究分野となっています。

HDR画像に基づいてBRDFを測定する別の方法があります。標準的なアルゴリズムは、画像からBRDF点群を測定し、それをBRDFモデルの1つで最適化することです。^[26]

BRDF または BTDF を迅速に測定する方法は、コノスコープ散乱計^[27]です。この測定機器の利点は、約 0.1° の分解能で、ほぼ半球状の測定をほんの一瞬で取得できることです。この機器には 2 つの欠点があります。1 つ目は、ダイナミック レンジが使用するカメラによって制限されることです。これは、古いイメージ センサーでは 8 ビットまで低く、新しい自動車用イメージ センサーでは 32 ビットまで高くなります。もう 1 つの欠点は、BRDF 測定では、ビームが外部光源から通過し、ペリクルで反射し、サンプルによって散乱される前にコノスコープの最初のいくつかの要素を逆に通過する必要があることです。これらの各要素には反射防止コーティングが施されていますが、空気とガラスの各境界面で光の約 0.3% が反射されます。これらの反射は、画像にスプリアス信号として表示されます。大きな信号を伴う散乱面ではこれは問題になりませんが、ランバート面では問題になります。

BRDF 製造とは、対象 BRDF の測定または合成された情報に基づいて表面を実装するプロセスを指します。このようなタスクを実行するには 3 つの方法がありますが、一般的には次の手順にまとめることができます。

• ターゲット BRDF 分布を測定または合成します。
• この分布をサンプリングして離散化し、製造を可能にします。
• この分布を生成するジオメトリを設計します (マイクロファセット、ハーフトーンを使用)。
• 製造手順に応じて表面の連続性と滑らかさを最適化します。

ターゲットのBRDFを製造するための多くのアプローチが提案されています。

• BRDFのミリング： この手順は、BRDF分布をサンプリングし、マイクロファセットジオメトリで生成することから始まり、次に表面は、ミリングマシンの制限を満たすように滑らかさと連続性の観点から最適化されます。最終的なBRDF分布は、基板とミリングされた表面のジオメトリの畳み込みです。 ^[28]

  

• BRDF の印刷:空間的に変化する BRDF (svBRDF) を生成するために、目標の BRDF を達成するために色域マッピングとハーフトーン処理を使用することが提案されています。既知の BRDF を持つ金属インクのセットが与えられた場合、それらを線形に組み合わせて目標の分布を生成するアルゴリズムが提案されています。これまでのところ、印刷はグレースケールまたはカラー印刷のみを意味しますが、現実世界の表面は最終的な外観に影響を与えるさまざまな量の鏡面反射を示す可能性があるため、この新しい方法は画像をさらにリアルに印刷するのに役立ちます。   ^[29]
• インクとジオメトリの組み合わせ:色と鏡面反射に加えて、現実世界の物体にはテクスチャも含まれています。3Dプリンターを使用してジオメトリを製造し、適切なインクで表面を覆うことができます。ファセットを最適に作成し、インクの組み合わせを選択することにより、この方法は設計の自由度を高め、より正確なBRDF製造を可能にします。^[30]

• アルベド
• BSDF
• ゴニオリフレクトメーター
• 反対派の急増
• 測光（天文学）
• 放射測定
• 反射率
• シュリックの近似
• 鏡面ハイライト

• ルビン、ダン、ロバート・マッソム (2006-02-10)。極地リモートセンシング。第 1 巻:大気と海洋(第 1 版)。シュプリンガー。p. 756。ISBN 978-3-540-43097-1。
• Matt, Pharr、Greg Humphreys (2004)。物理ベースレンダリング(第 1 版)。Morgan Kaufmann。p . 1019。ISBN 978-0-12-553180-1。
• Schaepman-Strub, G.; ME Schaepman; TH Painter; S. Dangel; JV Martonchik (2006-07-15). 「光学リモートセンシングにおける反射量: 定義とケーススタディ」.環境のリモートセンシング. 103 (1): 27–42. Bibcode :2006RSEnv.103...27S. doi :10.1016/j.rse.2006.03.002.

• 反射モデルと BRDF の概念を直感的に紹介します。