吸収制限原理

数学において、限界吸収原理 (LAP) は、作用素理論と散乱理論の概念であり、本質スペクトル付近でのリゾルベントの挙動に基づいて、本質スペクトルでの線形作用素の「正しい」リゾルベントを選択することから成る。この用語は、リゾルベントを元の空間 (通常は空間) ではなく、特定の重み付き空間 (通常は、以下を参照) で考慮する場合、スペクトルパラメータが本質スペクトルに近づくにつれて限界があることを示すためによく使用される。この概念は、特定の解を選択するためにヘルムホルツ方程式に複素パラメータを導入するというアイデアから発展した。このアイデアは、ワイヤ内の電磁波の伝播と吸収を検討していたウラジミール・イグナトフスキー によるものである。[ 1 ]^これは、ゾンマーフェルトの放射条件と限界振幅原理(1948) と密接に関連している。限界吸収原理と限界振幅原理の両方の用語は、アレクセイ・スヴェシュニコフによって導入された。^[2]${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L_{s}^{2}}$ ${\displaystyle (\Delta +k^{2})u(x)=-F(x)}$

ヘルムホルツ方程式の右辺がゼロでない解を求めるには

${\displaystyle \Delta v(x)+k^{2}v(x)=-F(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}$

ある固定された は出力波に対応し、限界^{[2] [3]を考える。}${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle v(x)=-\lim _{\epsilon \to +0}(\Delta +k^{2}-i\epsilon )^{-1}F(x).}$

吸収との関係は、 イグナトフスキーが使用した電場の式に遡ることができる。吸収は の非ゼロ虚数部に対応し、 が満たす方程式はヘルムホルツ方程式（または簡約波動方程式）で与えられ、 ${\displaystyle E(t,x)=Ae^{i(\omega t+\varkappa x)}}$${\displaystyle \varkappa}$${\displaystyle E(t,x)}$${\displaystyle (\Delta +\varkappa ^{2}/\omega ^{2})E(t,x)=0}$

${\displaystyle \varkappa ^{2}={\frac {\mu \varepsilon \omega ^{2}}{c^{2}}}-i4\pi \sigma \mu \omega }$

は負の虚数部を持ちます（したがって のスペクトルには属さなくなります）。上記で、は透磁率、は電気伝導率、は誘電率、 は真空中の光速です。^[1]${\displaystyle \varkappa ^{2}/\omega ^{2}}$${\displaystyle -\Delta }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle c}$

1次元のラプラス作用素を考えることができる。これは、ソボレフ空間という領域で定義され、作用する非有界作用素 である。その分解子 を記述しよう。次の式が与えられたと する。${\displaystyle A=-\partial _{x}^{2},}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle D(A)=H^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle R(z)=(A-zI)^{-1}}$

${\displaystyle (-\partial _{x}^{2}-z)u(x)=F(x),\quad x\in \mathbb {R} ,\quad F\in L^{2}(\mathbb {R} )}$、

すると、レゾルベントセットからのスペクトルパラメータに対して、解は次のように与えられます 。 ここで、はFと基本解Gの畳み込みです。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus [0,+\infty )}$${\displaystyle u\in L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle u(x)=(R(z)F)(x)=(G(\cdot ,z)*F)(x),}$${\displaystyle G(\cdot ,z)*F}$

${\displaystyle (G(\cdot ,z)*F)(x)=\int _{\mathbb {R} }G(x-y;z)F(y)\,dy,}$

ここで基本解は次のように与えられる。

${\displaystyle G(x;z)={\frac {1}{2{\sqrt {-z}}}}e^{-|x|{\sqrt {-z}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus [0,+\infty ).}$

で有界な演算子を得るには、正の実部を持つ平方根の枝（xの絶対値が大きい場合に減少する）を使用する必要があり、これによりGとの畳み込みが意味をなすようになります。 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

が のスペクトルに近づくときの基本解の極限は、 で与えられると 考えることもできる。 が に近づくと仮定し、ある がある。 が複素平面上で実軸の上方 ( )から近づくか下方 ( ) から近づくかによって、2 つの異なる極限表現が存在する。 が上から 近づく ときと下から近づく ときである。を畳み込む ( )解析関数は、非同次ヘルムホルツ方程式の出射波に対応し、 は入射波に対応する。 これは、極限振幅原理 に直接関係している。出射波に対応する解を見つけるには、非同次波動方程式を考慮する。${\displaystyle G(x;z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle -\partial _{x}^{2}}$${\displaystyle \sigma (-\partial _{x}^{2})=[0,+\infty )}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle \Im (z)>0}$${\displaystyle \Im (z)<0}$${\displaystyle G_{+}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}+i\varepsilon )=-{\frac {1}{2ik}}e^{i|x|k}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle k^{2}\in (0,+\infty )}$${\displaystyle G_{-}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}-i\varepsilon )={\frac {1}{2ik}}e^{-i|x|k}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k^{2}\in (0,+\infty )}$${\displaystyle R_{+}(k^{2})}$${\displaystyle G_{+}(x;k^{2})}$ ${\displaystyle (-\partial _{x}^{2}-k^{2})u(x)=F(x)}$${\displaystyle R_{-}(k^{2})}$

${\displaystyle (\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2})\psi (t,x)=F(x)e^{-ikt},\quad t\geq 0,\quad x\in \mathbb {R} ,}$

初期データがゼロの場合、出力波に対応する不均質ヘルムホルツ方程式の特定の解は、大きな時間に対するの極限として得られる。^[3]${\displaystyle \psi (0,x)=0,\,\partial _{t}\psi (t,x)|_{t=0}=0}$${\displaystyle \psi (t,x)e^{ikt}}$

を、定義域 上で定義されたバナッハ空間内の線型作用素とします。作用素 のレゾルベント集合 からのスペクトルパラメータの値に対して、レゾルベントは、 からそれ自身に作用する線型作用素として考えた場合、有界ですが、その有界はスペクトルパラメータに依存し、作用素 のスペクトル に近づくにつれて無限大に近づきます。より正確には、次の関係があります。 ${\displaystyle A:\,X\to X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle D(A)\subset X}$${\displaystyle z\in \rho (A)\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle R(z)=(A-zI)^{-1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R(z):\,X\to X}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A)}$

${\displaystyle \Vert R(z)\Vert \geq {\frac {1}{\operatorname {dist} (z,\sigma (A))}},\qquad z\in \rho (A).}$

多くの科学者は、特定の演算子 のレゾルベントが、特定の重み付き空間で作用すると見なされる場合、スペクトルパラメータが本質的なスペクトル、に近づくにつれて限界を持つ（および/または一様有界のままである）ことを言いたいときに、「極限吸収原理」を参照します。たとえば、 に対して領域 で定義された1 次元のラプラス演算子 の上記の例では、積分核を持つ両方の演算子はで有界ではありません（つまり、 から自体への演算子として）が、 の演算子として見なすと両方とも一様有界になります。 ${\displaystyle R(z)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(A)}$${\displaystyle A=-\partial _{x}^{2}:\,L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle D(A)=H^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle z>0}$${\displaystyle R_{\pm }(z)}$${\displaystyle G_{\pm }(x-y;z)}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle R_{\pm }(z):\;L_{s}^{2}(\mathbb {R} )\to L_{-s}^{2}(\mathbb {R} ),\quad s>1/2,\quad z\in \mathbb {C} \setminus [0,+\infty ),\quad |z|\geq \delta ,}$

を固定した。空間は局所積分可能な関数の空間として定義され、その-ノルム、 ${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle L_{s}^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L_{s}^{2}}$

${\displaystyle \Vert u\Vert _{L_{s}^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }(1+x^{2})^{s}|u(x)|^{2}\,dx,}$

有限である。^{[4] [5]}

• ゾンマーフェルトの放射線状態
• 振幅制限原理