対数スケール

対数スケール(またはlog スケール) は、特に関係する数値の大きさに大きな差がある場合に、広範囲の値にわたる数値データを表示するために使用される方法です。

距離の各単位が同じ増分に対応する線形スケールとは異なり、対数スケールでは長さの各単位は、ある基本値の累乗であり、スケール内の前の値と基本値の乗算に対応します。一般的に、対数スケールは 10 を底とします (特に指定がない限り)。

対数スケールは非線形であり、したがって 1、2、3、4、5 のように等間隔の数字は等間隔ではありません。対数スケールで等間隔の値は、指数が均一に増加します。等間隔の値の例としては、10、100、1000、10000、100000 (つまり、10 ¹、10 ²、10 ³、10 ⁴、10 ⁵ ) や、2、4、8、16、32 (つまり、2 ¹、2 ²、2 ³、2 ⁴、2 ⁵ ) などがあります。

指数関数的成長曲線は、対数目盛りのグラフで表すことが多いです。

計算尺の目盛りは対数目盛りに配置されており、目盛り上の長さを加算または減算することで数値を乗算または除算します。

以下は、量が大きいほど値が大きくなる、一般的に使用される対数スケールの例です。

• 地震の強さと地球の動きを表すリヒターマグニチュードスケールとモーメントマグニチュードスケール（MMS）

• 音量レベル（単位はデシベル）
• 振幅、場、電力量のネパー
• 音楽における音符の相対的なピッチを表す単位として、セント、短2度、長2度、オクターブを使用する周波数レベル。
• 統計におけるオッズのロジット
• パレルモ技術的影響危険度スケール
• 対数タイムライン
• 写真の露出比のF値を計算する
• 低い確率を評価するために使用される9のルール
• 熱力学におけるエントロピー
• 情報理論における情報
• 土壌の粒度分布曲線

以下は、一般的に使用される対数スケールの例です。量が大きいほど、値は低くなります (または負の値になります)。

• 酸性度のpH
• 恒星の明るさを表す等級
• 地質学における粒子サイズのクルンバインスケール
• 透明サンプルによる光の吸収

私たちの感覚の中には対数的に働くもの（ウェーバー・フェヒナーの法則）があり、これらの入力量には対数スケールが特に適しています。特に、私たちの聴覚は、周波数の等しい比率をピッチの等しい差として認識します。さらに、孤立した部族の幼児を対象とした研究では、いくつかの文化では対数スケールが最も自然な数字の表示であることが示されています。^[1]

左上のグラフは、X 軸と Y 軸が直線で、Y 軸の範囲は 0 から 10 です。左下のグラフの Y 軸には 10 を底とする対数スケールが使用され、Y 軸の範囲は 0.1 から 1000 です。

右上のグラフでは、X 軸のみに log-10 スケールが使用され、右下のグラフでは、X 軸と Y 軸の両方に log-10 スケールが使用されています。

対数スケールでデータを表示すると、次のような場合に役立ちます。

• 実際の値ではなく値の対数を使用すると、広い範囲がより扱いやすいサイズに縮小されるため、広い範囲の値をカバーします。
• 指数法則やべき乗法則が含まれる場合があります。これらは直線として表示されます。

計算尺には対数目盛りがあり、ノモグラムでも対数目盛りがよく使用されます。2つの数値の幾何平均は、数値の中間になります。コンピュータ グラフィックスが登場する前は、対数グラフ用紙が科学的なツールとしてよく使用されていました。

プロットの垂直軸と水平軸の両方が対数的にスケールされている場合、そのプロットはlog-log プロットと呼ばれます。

縦軸または横軸のみが対数的にスケーリングされている場合、そのプロットは片対数プロットと呼ばれます。

負の入力（ y < 0）に対して修正対数変換を定義することで、ゼロ入力（ y = 0）の特異点を回避し、対称的な対数プロットを生成することができる：^{[2] [3]}

${\displaystyle Y=\operatorname {sgn}(y)\cdot \log _{10}(1+|y/C|)}$

定数C =1/ln(10)である。

対数単位は、対数スケールで量（物理的または数学的）を表現するために使用できる単位です。つまり、量と、同じタイプの基準量との比率に適用された対数関数の値に比例するものとして表現できます。単位の選択は、通常、量のタイプと対数の底を示します。

対数単位の例には、情報と情報エントロピーの単位( nat、shannon、ban ) や信号レベル(デシベル、ベル、ネーパー) の単位があります。 周波数レベルまたは対数周波数量にはさまざまな単位があり、電子工学 ( 1​​0 進、オクターブ) や音楽の音程間隔(オクターブ、半音、セントなど)で使用されます。その他の対数スケール単位には、リヒター振幅スケールポイントがあります。

さらに、抵抗器の標準値、アメリカのワイヤゲージ、ワイヤと針に使用されるバーミンガムゲージなど、いくつかの工業用測定単位は対数です。

• ビット、バイト
• ハートリー
• ナット
• シャノン

• ベル、デシベル
• ネパー

• 10 年、決定する10 年、サバール
• オクターブ、音、半音、セント

デシベルの2つの定義は同等である。なぜなら、電力量の比は、対応するルート電力量の比の2乗に等しいからである。^{[要出典] [4]}

• アレクサンダー・グラハム・ベル
• ボード線図
• 幾何平均（対数スケールの算術平均）
• ジョン・ネイピア
• レベル（対数量）
• 対数対数プロット
• 対数
• 対数平均
• ログセミリング
• 希望番号
• 片対数プロット

• 桁数

• エントロピ
• エントロピー（情報理論）
• pH
• リヒターマグニチュードスケール

• Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth ; Pica, Pierre (2008). 「対数か線形か? 西洋とアマゾンの先住民文化における数のスケールの明確な直観」. Science . 320 (5880): 1217–20. Bibcode :2008Sci...320.1217D. doi : 10.1126/science.11​​56540. PMC  2610411. PMID  18511690.
• タフントザマー、カール。シューマッハ、P. (1953)。 「Normzahlen – die einstellige Logarithmentafel des Ingenieurs」[推奨される数値 - エンジニアの一桁の対数表]。Werkstattechnik und Maschinenbau (ドイツ語)。43 (4)：156．
• タフントザマー、カール (1956)。 「Das Dezilog, eine Brücke zwischen Logarithmen, Dezibel, Neper und Normzahlen」 [デシログ、対数、デシベル、ネーパー、優先数字の間の橋]。VDI-Zeitschrift (ドイツ語)。98 : 267–274。
• リース、クレメンス (1962)。Normung nach Normzahlen [優先番号による標準化] (ドイツ語) (第 1 版)。ドイツ、ベルリン: ダンカー & フンブロット フェルラーク。ISBN 978-3-42801242-8。（135ページ）
• ポーリン、オイゲン (2007-09-01)。 Logarithmen、Normzahlen、Dezibel、Neper、Phon - natürlich verwandt! [対数、優先数値、デシベル、ネーパー、フォン - 当然関連しています! ] (PDF) (ドイツ語)。2016 年 12 月 18 日にオリジナルからアーカイブ(PDF)されました。2016 年 12 月 18 日に取得。

ウィキメディア・コモンズには、対数スケールに関連するメディアがあります。

• 「GNU Emacs Calc マニュアル: 対数単位」。Gnu.org。2016年11 月 23 日閲覧。
• 非ニュートン微積分学のウェブサイト