片対数プロット

科学と工学において、片対数プロット/グラフまたは片対数 プロット/グラフは、一方の軸が対数スケールで、もう一方の軸が線形スケールです。これは、1つの変数が広い範囲の値をカバーする、指数関係のデータに役立ちます。^[1]

の形のすべての方程式は、両辺の対数をとると直線になるので、片対数でプロットすると直線になる。 ${\displaystyle y=\lambda a^{\gamma x}}$

${\displaystyle \log _{a}y=\gamma x+\log _{a}\lambda .}$

これは傾きと垂直切片を持つ線です。対数スケールは通常 10 進数で表記されますが、2 進数で表記されることもあります。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \log_{a}\lambda}$

${\displaystyle \log(y)=(\gamma \log(a))x+\log(\lambda ).}$

対数線形（場合によっては log-lin）プロットでは、 y軸に対数スケール、x軸に線形スケールがあります。線形対数（場合によっては lin-log）プロットではその逆です。名前は出力-入力( y - x ) で、 ( x , y )とは逆の順序です。

片対数プロットでは、y軸 (またはx軸) のスケールの間隔は、数値自体ではなく、数値の対数に比例します。これは、y値 (またはx値) をその対数に変換し、データを線形スケールでプロットすることと同じです。対数対数プロットは、両方の軸に対数スケールを使用するため、片対数プロットではありません。

横軸が対数的にスケールされている（対数の底がnである）線形対数プロット上の直線の方程式は次のようになる。

${\displaystyle F(x)=m\log_{n}(x)+b.\,}$

縦軸が対数的にスケールされた（対数の底がnである）対数線形プロット上の線の方程式は次のようになります。

${\displaystyle \log_{n}(F(x))=mx+b}$

${\displaystyle F(x)=n^{mx+b}=(n^{mx})(n^{b}).}$

線形対数プロットでは、上のグラフの直線上のどこかに固定点( x ₀ , F ₀ ) ( F _{0 は}F ( x ₀ )の略)を選び、さらに同じグラフ上の任意の点( x ₁ , F ₁ ) を選びます。プロットの傾きの式は次のようになります。

${\displaystyle m={\frac {F_{1}-F_{0}}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}}$

それは

${\displaystyle F_{1}-F_{0}=m\log_{n}(x_{1}/x_{0})}$

または

${\displaystyle F_{1}=m\log_{n}(x_{1}/x_{0})+F_{0}=m\log_{n}(x_{1})-m\log_{n}(x_{0})+F_{0}}$

つまり $${\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+\mathrm {定数} }$$

言い換えると、F は、その線形対数グラフの直線の傾きのxの対数に定数を加えたものに比例します。具体的には、点 ( F ₀、  x ₀ ) と点 ( F ₁、  x ₁ ) を含む線形対数プロット上の直線は、次の関数を持ちます。

${\displaystyle F(x)=(F_{1}-F_{0}){\left[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}\right]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}+F_{0}}$

対数線形プロット（y軸が対数スケール）で、上のグラフの直線上のどこかに固定点（x ₀、F ₀） （ F _0はF（x ₀ ）の略）を選び、さらに同じグラフ上の任意の点（x ₁、F ₁）を選びます。プロットの傾きの式は次のようになります。

${\displaystyle m={\frac {\log _{n}(F_{1}/F_{0})}{x_{1}-x_{0}}}}$

それは

${\displaystyle \log _{n}(F_{1}/F_{0})=m(x_{1}-x_{0})}$

n ^{log _n ( F ₁ )} = F ₁であることに注目してください。したがって、対数を逆にすると次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=n^{m(x_{1}-x_{0})}}$

または

${\displaystyle F_{1}=F_{0}n^{m(x_{1}-x_{0})}}$

これは、 F ₁だけではなく、任意の点に対して一般化できます。

${\displaystyle F(x)={F_{0}}n^{\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\log _{n}(F_{1}/F_{0})}}$

物理学や化学では、圧力と温度の対数のグラフを使用して、物質のさまざまな相を説明することができます。次に、水の例を示します。

10 は最も一般的な基数ですが、次の例のように他の基数の方が適切な場合もあります。^{[さらなる説明が必要]}

水平軸（時間）は直線で日付が等間隔に並んでいるのに対し、垂直軸（感染者数）は対数で等間隔の区切りが連続する 2 の累乗でラベル付けされていることに注目してください。片対数プロットにより、感染が最大速度で拡大するのを止めた時点、つまりこの指数プロット上の直線が曲線になり、速度が遅くなっていることを示す時点がわかりやすくなります。これは、ソーシャル ディスタンシングなどの何らかの緩和措置が機能していることを示している可能性があります。

生物学および生物工学では、無性生殖や栄養素の枯渇による微生物の数の変化は、一般に片対数プロットで示されます。通常、時間は独立軸であり、細菌または他の微生物の数または質量の対数が従属変数となります。これにより、以下に示すように、4 つの異なるフェーズを持つプロットが形成されます。

• ノモグラフ、より複雑なグラフ
• 非線形回帰#変換、非線形形式を非反復計算に適した片対数形式に変換します
• 対数対数プロット