歪エルミート行列

線型代数学では、複素要素を持つ正方行列は、その共役転置が元の行列の負になる場合、歪エルミートまたは反エルミートであると言われる。 ^[1]つまり、行列が歪エルミートであるのは、次の関係を満たす場合である 。${\displaystyle A}$

ここで、は行列の共役転置を表す。成分形式では、これは次のことを意味する。 ${\displaystyle A^{\textsf {H}}}$${\displaystyle A}$

すべての添え字およびに対して、 はの- 行- 列の要素であり、上線は複素共役 を表します。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$

歪エルミート行列は、実歪対称行列の複素バージョン、または純虚数の行列アナログとして理解することができます。 ^[2] すべての歪エルミート行列の集合はリー代数を形成し、これはリー群U( n )に対応します。この概念は、セスクイリニアノルムを持つ任意の複素ベクトル空間の線型変換を含むように一般化できます。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle u(n)}$

演算子の随伴は、次元複素数または実数空間上で考慮されるスカラー積に依存することに注意してください。 が上のスカラー積を表す場合、 が歪随伴であると言うことは、すべての に対してが成り立つことを意味します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle (\cdot \mid \cdot )}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}}$${\displaystyle (A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )}$

虚数は（行列のようなので）歪随伴として考えることができますが、実数は自己随伴演算子に対応します。 ${\displaystyle 1\times 1}$

例えば、次の行列は歪エルミート行列である 。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-i&+2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}}$$

• 歪エルミート行列の固有値はすべて純虚数（ゼロの場合もある）である。さらに、歪エルミート行列は正規行列である。したがって、それらは対角化可能であり、異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する必要がある。^[3]
• 歪エルミート行列の主対角線上のすべての要素は純虚数、つまり虚軸上にある必要があります（ゼロも純虚数とみなされます）。^[4]
• およびが歪エルミートである場合、すべての実スカラーおよびに対して、 ⁠ ⁠ は歪エルミートです。^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle aA+bB}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle A}$が歪エルミートである場合、かつその場合のみ、 （または同値として）がエルミートである。^[5]${\displaystyle iA}$${\displaystyle -iA}$
• ${\displaystyle A}$は、実部が歪対称で虚部が対称である場合に限り、歪エルミートです。${\displaystyle \Re {(A)}}$${\displaystyle \Im {(A)}}$
• が歪エルミートである場合、が偶数の整数であれば はエルミートであり、が奇数の整数であれば は歪エルミートです。${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle A}$は、すべてのベクトルに対してである場合に限り、歪エルミートです。${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-{\overline {\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }}}$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$
• が歪エルミートである場合、指数行列はユニタリです。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{A}}$
• 歪エルミート行列の空間はリー群のリー代数 を形成します。${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$

• 正方行列とその共役転置行列の和はエルミート行列です。${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$
• 正方行列とその共役転置行列の差は歪エルミートです。これは、 2 つのエルミート行列の交換子が歪エルミートであることを意味します。${\displaystyle \left(AA^{\mathsf {H}}\right)}$
• 任意の正方行列は、エルミート行列と歪エルミート行列の和として表すことができます。${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(CC^{\mathsf {H}}\right)}$$

• バイベクトル（複素数）
• エルミート行列
• 正規行列
• 歪対称行列
• ユニタリ行列

• ホーン、ロジャー A.; ジョンソン、チャールズ R. (1985)、マトリックス分析、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6。
• マイヤー、カール D. (2000)、行列解析と応用線形代数、SIAM、ISBN 978-0-89871-454-8。