統計物理学の定理
ゆらぎ散逸定理 ( FDT ) または ゆらぎ散逸関係 ( FDR ) は、 統計物理学において、 詳細バランス に従うシステムの挙動を予測する強力なツールです 。システムが詳細バランスに従うと仮定すると、この定理は、 物理変数の 熱力学的ゆらぎが、同じ物理変数 (電圧、温度差など) の アドミタンス または インピーダンス (電磁気用語だけでなく、一般的な意味で) によって定量化された応答を予測すること、およびその逆が成り立つことを証明しています。ゆらぎ散逸定理は、 古典システム と 量子力学 システムの両方に適用されます。
揺らぎ散逸定理は 1951年に ハーバート・カレン および セオドア・ウェルトンによって証明され [1]
、 久保良吾によって拡張されました。この一般定理には、 アインシュタインの 奇跡の年
における ブラウン運動 の説明 [2] や、 ハリー・ナイキスト による1928年の電気抵抗器における ジョンソンノイズ の説明 など、先行例があります。 [3]
定性的な概要と例 揺らぎ散逸定理は、エネルギーを散逸させて熱に変換するプロセス（摩擦など）がある場合、 熱揺らぎ に関連する逆のプロセスが存在するというものです。これは、いくつかの例を検討するとよく理解できます。
抗力 と ブラウン運動 物体が流体中を移動すると、 抗力 （空気抵抗または流体抵抗）が発生します。抗力により運動エネルギーが消散し、熱に変換されます。これに対応する変動が ブラウン運動 です。流体中の物体は静止しているのではなく、流体中の分子が物体にぶつかるため、小さく急速に変化する速度で動き回ります。ブラウン運動は熱エネルギーを運動エネルギーに変換します。これは抗力の逆です。 抵抗 と ジョンソンノイズ 抵抗器が 内蔵されたワイヤ ループに電流が流れている場合 、電流は抵抗のため急速にゼロになります。抵抗は電気エネルギーを消散させ、熱に変換します ( ジュール熱 )。これに対応する変動が ジョンソン ノイズ です。抵抗器が内蔵されたワイヤ ループには実際には電流がゼロではなく、抵抗器内の電子と原子の熱変動によって生じる小さく急速に変動する電流が流れます。ジョンソン ノイズは熱エネルギーを電気エネルギーに変換します。つまり、抵抗の逆です。 光吸収 と 熱放射 光が物体に当たると、光の一部が吸収され、物体は熱くなります。このように、光吸収によって光エネルギーが熱に変換されます。これに対応する変動が 熱放射 です(例: 「赤熱した」物体の輝き)。熱放射は熱エネルギーを光エネルギーに変換します。これは光吸収の逆です。実際、 キルヒホッフの熱放射の法則は、 物体が光を効果的に吸収するほど、より多くの熱放射を放出することを裏付けています。
詳細な例 変動散逸定理は、 詳細なバランス に従うシステム内の変動と、適用された摂動に対するシステムの応答
との関係を定量化する 統計熱力学の一般的な結果です。
ブラウン運動 たとえば、 アルバート アインシュタインは1905 年の ブラウン運動 に関する論文で、 ブラウン運動中の粒子の不規則な動きを引き起こす同じランダムな力が、粒子が流体に引っ張られる場合にも抗力を引き起こすと指摘しました。言い換えると、静止している粒子の変動は、システムを特定の方向に乱そうとする場合に対抗しなければならない散逸摩擦力と同じ原因によるものです。
この観察から、アインシュタインは統計力学を用いて アインシュタイン-スモルホフスキーの関係式 を導き出すこと ができた。
だ =
μ
け
B
T
{\displaystyle D={\mu \,k_{\rm {B}}T}}
これは 拡散定数 D と粒子移動度 μ （粒子の 終端 ドリフト速度と 加え られた力の比）を結び付けます。k B は ボルツマン定数 、 T は 絶対温度 です 。
抵抗器の熱雑音 1928年に ジョン・B・ジョンソンが ジョンソン・ナイキスト雑音 を発見し、 ハリー・ナイキストが それを説明した 。電流が流れていない場合、平均二乗電圧は抵抗 、および 電圧が測定される 帯域幅に依存する。 [4]
R
{\displaystyle R}
け
B
T
{\displaystyle k_{\rm {B}}T}
Δ ν
{\displaystyle \Delta \nu }
⟨
五
2
⟩ ≈ 4 R
け
B
T Δ ν 。
{\displaystyle \langle V^{2}\rangle \about 4Rk_{\rm {B}}T\,\Delta \nu .}
抵抗器のジョンソン・ナイキスト熱雑音を説明するための簡単な回路。 この観察は、変動散逸定理の観点から理解することができます。例えば、 抵抗値を持つ抵抗器 と 小さな 容量を持つ コンデンサー からなる単純な回路を考えてみましょう。 キルヒホッフの 電圧法則は、
R
{\displaystyle R}
Ｃ
{\displaystyle C}
五 = − R
d 質問
d t
+
質問 Ｃ
{\displaystyle V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}}
そして この回路の
応答関数は
χ （ ω ） ≡
質問 （ ω ）
五 （ ω ）
=
1
1 Ｃ
− 私 ω R
{\displaystyle \chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\omega R}}}
低周波極限では 、その虚数部は単純に
ω ≪ （ R Ｃ
）
− 1
{\displaystyle \omega \ll (RC)^{-1}}
私は
[
χ （ ω ）
]
≈ ω R
Ｃ
2
{\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2}}
これは、 変動散逸定理を介して電圧の
パワースペクトル密度関数にリンクすることができます。
S
五
（ ω ）
{\displaystyle S_{V}(\omega )}
S
五
（ ω ） =
S
質問
（ ω ）
Ｃ
2
≈
2
け
B
T
Ｃ
2
ω
私は
[
χ （ ω ）
]
= 2 R
け
B
T
{\displaystyle S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\rm {B}}T}{C^{2}\omega }}{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\rm {B}}T}
ジョンソン・ナイキスト電圧ノイズは、 を中心とした 狭い周波数 帯域 内で観測された。したがって、
⟨
五
2
⟩
{\displaystyle \langle V^{2}\rangle }
Δ ν = Δ ω
/
（ 2 π ）
{\displaystyle \Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )}
ω = ±
ω
0
{\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}}
⟨
五
2
⟩ ≈
S
五
（ ω ） × 2 Δ ν ≈ 4 R
け
B
T Δ ν
{\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\rm {B}}T\Delta \nu }
変動散逸定理はさまざまな方法で定式化できますが、特に有用な形式は次のとおりです。 [ 要出典 ] 。
を熱変動を受けるハミルトニアン を持つ 動的システム の 観測量 と します 。観測量は 平均値の周りで変動し
、その変動は パワースペクトル で特徴付けられます。時間とともに変化する空間的に一定のフィールドをオンにして 、ハミルトニアンを に変更できるとします。 時間依存フィールドに対する 観測量の応答は、 システムの
感受性 または 線形応答関数 によって一次的に特徴付けられます。
x （ t ）
{\displaystyle x(t)}
H
0
（ x ）
{\displaystyle H_{0}(x)}
x （ t ）
{\displaystyle x(t)}
⟨ x
⟩
0
{\displaystyle \langle x\rangle _{0}}
S
x
（ ω ） = ⟨
x ^
（ ω ）
x ^
∗
（ ω ） ⟩
{\displaystyle S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle }
ふ （ t ）
{\displaystyle f(t)}
H （ x ） =
H
0
（ x ） − ふ （ t ） x
{\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-f(t)x}
x （ t ）
{\displaystyle x(t)}
ふ （ t ）
{\displaystyle f(t)}
χ （ t ）
{\displaystyle \chi (t)}
⟨ x （ t ） ⟩ = ⟨ x
⟩
0
+
∫
− ∞
t
ふ （ τ ） χ （ t − τ ） d τ 、
{\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\int _{-\infty }^{t}\!f(\tau )\chi (t-\tau )\ 、d\タウ、}
ここで摂動は断熱的に（非常にゆっくり）オンになります 。
τ = − ∞
{\displaystyle \tau =-\infty }
揺らぎ散逸定理は、 の両側パワースペクトル（つまり、正と負の両方の周波数）を磁化 率の フーリエ変換 の虚数部に関連付けます 。
x
{\displaystyle x}
χ ^
（ ω ）
{\displaystyle {\hat {\chi }}(\omega )}
χ （ t ）
{\displaystyle \chi (t)}
S
x
（ ω ） = −
2
け
B
T
ω
私は
χ ^
（ ω ） 。
{\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\mathrm {B} }T}{\omega }}\operatorname {Im} {\hat {\chi }}(\omega ).}
これはフーリエ変換の慣例の下では成り立ちます 。 左辺はの 変動 を表し、右辺は 振動場 によって励起されたときにシステムによって 消散される エネルギーに密接に関係しています。変動のスペクトルは線形応答を明らかにします。これは、過去の変動が、それ自体の線形応答を介して将来の変動を引き起こすためです。
ふ （ ω ） =
∫
− ∞
∞
ふ （ t ）
e
− 私 ω t
d t
{\displaystyle f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}
x
{\displaystyle x}
ふ （ t ） = ふ 罪 （ ω t + ϕ ）
{\displaystyle f(t)=F\sin(\omega t+\phi )}
これは定理の古典的な形です。量子ゆらぎは を（ に対する極限は ） に 置き換えることで考慮されます 。証明は 量子場理論からの恒等式である LSZ 還元によって得られます。 [ 引用が必要 ]
2
け
B
T
/
ω
{\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }
ℏ コス （ ℏ ω
/
2
け
B
T ）
{\displaystyle \hbar \,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)}
ℏ → 0
{\displaystyle \hbar \to 0}
2
け
B
T
/
ω
{\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }
揺らぎ散逸定理は、空間依存場の場合、複数の変数の場合、あるいは量子力学の設定に簡単に一般化することができる。 [1]
導出
クラシックバージョン 同じ表記法を用いて、上で示した形式の揺らぎ散逸定理を導出する。次のテストケースを考える：フィールド fは 無限時間オンであり、 t =0
でオフになる。
ふ （ t ） =
ふ
0
θ （ − t ） 、
{\displaystyle f(t)=f_{0}\theta (-t),}
ここで は ヘヴィサイド関数 である 。 の期待値は 確率分布 W ( x ,0) と遷移確率で表すことができる。
θ （ t ）
{\displaystyle \theta (t)}
x
{\displaystyle x}
ポ （
x ′
、 t
|
x 、 0 ）
{\displaystyle P(x',t|x,0)}
⟨ x （ t ） ⟩ = ∫ d
x ′
∫ d x
x ′
ポ （
x ′
、 t
|
x 、 0 ） わ （ x 、 0 ） 。
{\displaystyle \langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).}
確率分布関数 W ( x ,0)は平衡分布であり、したがって ハミルトニアンに対する ボルツマン分布によって与えられる。
H （ x ） =
H
0
（ x ） − x
ふ
0
{\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}}
わ （ x 、 0 ） =
経験 （ − β H （ x ） ）
∫ d
x ′
経験 （ − β H （
x ′
） ）
、
{\displaystyle W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\,,}
ここで 、弱い場の場合 、右辺を展開すると、
β
− 1
=
け
B
T
{\displaystyle \beta^{-1}=k_{\rm {B}}T}
β x
ふ
0
≪ 1
{\displaystyle \beta xf_{0}\ll 1}
わ （ x 、 0 ） ≈
わ
0
（ x ） [ 1 + β
ふ
0
（ x − ⟨ x
⟩
0
） ] 、
{\displaystyle W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x-\langle x\rangle _{0})],}
これは 場がない場合の平衡分布である。この近似値を 収量
式に代入すると
W
0
(
x
)
{\displaystyle W_{0}(x)}
⟨
x
(
t
)
⟩
{\displaystyle \langle x(t)\rangle }
ここで、 A ( t ) は、フィールドがない場合の
x の自己相関関数です。
A
(
t
)
=
⟨
[
x
(
t
)
−
⟨
x
⟩
0
]
[
x
(
0
)
−
⟨
x
⟩
0
]
⟩
0
.
{\displaystyle A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.}
場がない場合、システムは時間シフトに対して不変であることに注意する。 システムの磁化率を使用して書き直すと、上記の式 (*)で次の式が得られる。
⟨
x
(
t
)
⟩
−
⟨
x
⟩
0
{\displaystyle \langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}}
f
0
∫
0
∞
d
τ
χ
(
τ
)
θ
(
τ
−
t
)
=
β
f
0
A
(
t
)
{\displaystyle f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)}
その結果、
周波数依存性について述べるには、式 (**) のフーリエ変換を行う必要がある。部分積分すると、次のようになる。
−
χ
^
(
ω
)
=
i
ω
β
∫
0
∞
e
−
i
ω
t
A
(
t
)
d
t
−
β
A
(
0
)
.
{\displaystyle -{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int _{0}^{\infty }e^{-i\omega t}A(t)\,dt-\beta A(0).}
は実数かつ対称な
ので、
A
(
t
)
{\displaystyle A(t)}
2
Im
[
χ
^
(
ω
)
]
=
−
ω
β
A
^
(
ω
)
.
{\displaystyle 2\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=-\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).}
最後に、 定常過程 の場合、 ウィーナー・ヒンチンの定理 によれば、両側 スペクトル密度 は自己相関関数の
フーリエ変換 に等しい。
S
x
(
ω
)
=
A
^
(
ω
)
.
{\displaystyle S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).}
したがって、
S
x
(
ω
)
=
−
2
k
B
T
ω
Im
[
χ
^
(
ω
)
]
.
{\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].}
量子バージョン 変動散逸定理は、 観測対象の 相関関数（変動の尺度）と周波数領域における 応答関数 の虚数部（散逸の尺度）を関連付ける。これらの量の間のつながりは、いわゆる 久保の公式 [5] を通じて見出すことができる。
⟨
x
^
(
t
)
x
^
(
0
)
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }
Im
[
χ
(
ω
)
]
=
[
χ
(
ω
)
−
χ
∗
(
ω
)
]
/
2
i
{\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i}
χ
(
t
−
t
′
)
=
i
ℏ
θ
(
t
−
t
′
)
⟨
[
x
^
(
t
)
,
x
^
(
t
′
)
]
⟩
{\displaystyle \chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle }
これは、線形応答 理論の仮定のもとで、摂動源の存在下での 観測量の 集団平均 の時間発展から 導かれる。フーリエ変換すると、久保の公式により、応答関数の虚数部は次のように表される。
⟨
x
^
(
t
)
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle }
Im
[
χ
(
ω
)
]
=
1
2
ℏ
∫
−
∞
+
∞
⟨
x
^
(
t
)
x
^
(
0
)
−
x
^
(
0
)
x
^
(
t
)
⟩
e
i
ω
t
d
t
.
{\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.}
正準集団 では 、第2項は次のように再表現できる。
⟨
x
^
(
0
)
x
^
(
t
)
⟩
=
Tr
e
−
β
H
^
x
^
(
0
)
x
^
(
t
)
=
Tr
x
^
(
t
)
e
−
β
H
^
x
^
(
0
)
=
Tr
e
−
β
H
^
e
β
H
^
x
^
(
t
)
e
−
β
H
^
⏟
x
^
(
t
−
i
ℏ
β
)
x
^
(
0
)
=
⟨
x
^
(
t
−
i
ℏ
β
)
x
^
(
0
)
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle ={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)={\text{Tr }}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0)={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(t-i\hbar \beta )}{\hat {x}}(0)=\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle }
ここで、2番目の等式では、トレースの巡回特性を使用して 再配置しました。次に、3番目の等式では、 トレースの隣にを挿入し、 虚数時間 間隔 を持つ 時間発展演算子として解釈しました 。虚数時間シフトは、 フーリエ変換後に因子
になります。
x
^
(
t
)
{\displaystyle {\hat {x}}(t)}
e
−
β
H
^
e
β
H
^
{\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}}
e
−
β
H
^
{\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}}
e
−
i
ℏ
H
^
Δ
t
{\displaystyle e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}}
Δ
t
=
−
i
ℏ
β
{\displaystyle \Delta t=-i\hbar \beta }
e
−
β
ℏ
ω
{\displaystyle e^{-\beta \hbar \omega }}
∫
−
∞
+
∞
⟨
x
^
(
t
−
i
ℏ
β
)
x
^
(
0
)
⟩
e
i
ω
t
d
t
=
e
−
β
ℏ
ω
∫
−
∞
+
∞
⟨
x
^
(
t
)
x
^
(
0
)
⟩
e
i
ω
t
d
t
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt}
そして、の式は 量子ゆらぎ散逸関係式 [6]として簡単に書き直すことができる。
Im
[
χ
(
ω
)
]
{\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}
S
x
(
ω
)
=
2
ℏ
[
n
B
E
(
ω
)
+
1
]
Im
[
χ
(
ω
)
]
{\displaystyle S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}
ここで、パワースペクトル密度は 自己相関のフーリエ変換であり 、 ボーズ・アインシュタイン 分布関数である 。同じ計算から、
S
x
(
ω
)
{\displaystyle S_{x}(\omega )}
⟨
x
^
(
t
)
x
^
(
0
)
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }
n
B
E
(
ω
)
=
(
e
β
ℏ
ω
−
1
)
−
1
{\displaystyle n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}}
S
x
(
−
ω
)
=
e
−
β
ℏ
ω
S
x
(
ω
)
=
2
ℏ
[
n
B
E
(
ω
)
]
Im
[
χ
(
ω
)
]
≠
S
x
(
+
ω
)
{\displaystyle S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )}
したがって、古典的ケースで得られるものとは異なり、パワースペクトル密度は量子極限では厳密には周波数対称ではない。一貫して、は 演算子の交換規則に由来する虚数部を持つ。 [7] の式 における正の周波数での 追加の「 」項は、 自然放出 に関連するものと考えることもできる 。よく引用される結果は、対称化されたパワースペクトル密度である。
⟨
x
^
(
t
)
x
^
(
0
)
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }
+
1
{\displaystyle +1}
S
x
(
ω
)
{\displaystyle S_{x}(\omega )}
S
x
(
ω
)
+
S
x
(
−
ω
)
2
=
2
ℏ
[
n
B
E
(
ω
)
+
1
2
]
Im
[
χ
(
ω
)
]
=
ℏ
coth
(
ℏ
ω
2
k
B
T
)
Im
[
χ
(
ω
)
]
.
{\displaystyle {\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].}
「 」は 量子ゆらぎ 、または 観測可能な の ゼロ点運動 に関係していると考えることができます 。十分に高い温度では、 つまり量子寄与は無視でき、古典的なバージョンに戻ります。
+
1
/
2
{\displaystyle +1/2}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
n
B
E
≈
(
β
ℏ
ω
)
−
1
≫
1
{\displaystyle n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1}
ガラス質システムにおける違反 変動-散逸定理は、詳細バランス に従うシステムの応答と 詳細バランスが崩れた場合の変動と散逸の比較はより複雑になります。いわゆる ガラス温度 以下では、 ガラス質システムは 平衡にならず、ゆっくりと平衡状態に近づきます。このゆっくりとした平衡への接近は、詳細バランスの崩れと同義です。したがって、これらのシステムは、ゆっくりと平衡に向かって移動する間、長い時間スケールで研究する必要があります。
T
g
{\displaystyle T_{\rm {g}}}
ガラス系、特にスピンガラス における揺らぎ散逸関係の破れを研究するために、研究者らは スーパーコンピュータを用いて、 三次元 エドワーズ・アンダーソン模型で記述されるマクロ系（すなわち相関長に比べて大きい系）の数値シミュレーションを行った。 [8] 彼らのシミュレーションでは、系は最初に高温で準備され、ガラス温度 未満の温度まで急速に冷却され、 磁場 の下で 非常に長い時間平衡状態に置かれる 。その後、後の時間 で、 応答関数
とスピン時間 相関関数 という 2 つの動的観測量が調べられる。
ここで、 は 体積 の立方格子の ノードに存在するスピンであり 、 は 磁化密度である。この系の揺らぎ散逸関係は、これらの観測量を用いて次のように表すことができる。
T
=
0.64
T
g
{\displaystyle T=0.64T_{\rm {g}}}
T
g
{\displaystyle T_{\rm {g}}}
t
w
{\displaystyle t_{\rm {w}}}
H
{\displaystyle H}
t
+
t
w
{\displaystyle t+t_{\rm {w}}}
χ
(
t
+
t
w
,
t
w
)
≡
∂
m
(
t
+
t
w
)
∂
H
|
H
=
0
{\displaystyle \chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv \left.{\frac {\partial m(t+t_{\rm {w}})}{\partial H}}\right|_{H=0}}
C
(
t
+
t
w
,
t
w
)
≡
1
V
∑
x
⟨
S
x
(
t
w
)
S
x
(
t
+
t
w
)
⟩
|
H
=
0
{\displaystyle C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv {\frac {1}{V}}\left.\sum _{x}\langle S_{x}(t_{\rm {w}})S_{x}(t+t_{\rm {w}})\rangle \right|_{H=0}}
S
x
=
±
1
{\displaystyle S_{x}=\pm 1}
x
{\displaystyle x}
V
{\displaystyle V}
m
(
t
)
≡
1
V
∑
x
⟨
S
x
(
t
)
⟩
{\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }
T
χ
(
t
+
t
w
,
t
w
)
=
1
−
C
(
t
+
t
w
,
t
w
)
{\displaystyle T\chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})=1-C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})}
彼らの結果は、システムがより長い時間平衡状態に放置されるにつれて、変動散逸関係がより満たされるようになるという予想を裏付けています。
1990年代半ば、スピングラスモデルのダイナミクスの研究において、漸近非定常状態にも当てはまるゆらぎ散逸定理の一般化が発見されました。この定理では、平衡関係に現れる温度が、時間スケールに大きく依存する有効温度に置き換えられます。 [9] この関係は、当初発見されたモデルを超えて、ガラス系でも成立すると提案されています。
参照
注記
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さらに読む パーデュー大学 のEWカールソン教授による講義の音声録音 久保の有名なテキスト：ゆらぎ散逸定理 Weber J (1956). 「ゆらぎ消散定理」. Physical Review . 101 (6): 1620–1626. arXiv : 0710.4394 . Bibcode :1956PhRv..101.1620W. doi :10.1103/PhysRev.101.1620. Felderhof BU (1978)。「変動散逸定理の導出について」。Journal of Physics A。11 ( 5 ): 921–927。Bibcode : 1978JPhA ...11..921F。doi : 10.1088/0305-4470/11/5/021。 Cristani A, Ritort F (2003). 「ガラス系における変動散逸定理の違反: 基本概念と数値的証拠」 Journal of Physics A . 36 (21): R181–R290. arXiv : cond-mat/0212490 . Bibcode :2003JPhA...36R.181C. doi :10.1088/0305-4470/36/21/201. S2CID 14144683. チャンドラー・D（1987年）。現代統計力学入門。オックスフォード大学出版局 。pp.231-265。ISBN 978-0-19-504277-1 。 Reichl LE (1980)。 統計物理学の現代コース 。テキサス州オースティン：テキサス大学出版局。pp. 545–595。ISBN 0-292-75080-3 。 Plischke M, Bergersen B (1989). 平衡統計物理学 . イングルウッドクリフス、ニュージャージー: プレンティスホール. pp. 251–296. ISBN 0-13-283276-3 。 Pathria RK (1972). 統計力学 . オックスフォード: ペルガモン プレス. pp. 443, 474–477. ISBN 0-08-018994-6 。 Huang K (1987). 統計力学 . ニューヨーク: John Wiley and Sons. pp. 153, 394–396. ISBN 0-471-81518-7 。 Callen HB (1985)。 『熱力学と熱統計学入門 』ニューヨーク：John Wiley and Sons。pp. 307–325。ISBN 0-471-86256-8 。 マゾンカ、オレグ (2016)。「円周率と同じくらい簡単: 変動と散逸の関係」 (PDF) 。Journal of Reference。16 。 
![{\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fce862afb316211839f7a2cbd355c0c2a41d829)
![{\displaystyle S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\rm {B}}T}{C^{2}\omega }}{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\rm {B}}T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3f377f69e39ab2aa2fb8f613f08108fa85e6c2)
![{\displaystyle W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x-\langle x\rangle _{0})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd59b669515db603b06c95eba8f6c4f78744370)
![{\displaystyle A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913c75c2e5a37a2075517ed4ff40cd1816e33bc1)
![{\displaystyle 2\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=-\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05b3d1813a43caf7149b07a507c44b539bd4ffb)
![{\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094c97688c54843814e0c0ca9eaeef9c25b7b2bb)
![{\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eaf55d2fb63653084a3b998a32df4babc46dde8)
![{\displaystyle \chi (tt')={\frac {i}{\hbar }}\theta (tt')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3a34e831096e733a939f1ea85fdbf299b69b7f)
![{\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f95e52c8e5458f3c576922e6f83900edc847be)
![{\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a75f11f1bec19a16465a8a5d0430999811e235)
![{\displaystyle S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cef442d781f3ea8b751e801842047450a379f2)
![{\displaystyle S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34557d510e51aea2cedfcf4340948aa81cffc68a)
![{\displaystyle {\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5ec506be92fd59c93f3ca8a661aeea33f64e87)
