ラ番号

数学において、（符号付きおよび符号なし）ラハ数は、上昇階乗を下降階乗で表す係数であり、その逆も同様である。これらは1954年にイヴォ・ラハによって発見された。 ^{[1] [2]} 明示的には、符号なしラハ数は二項係数を含む式で与えられる。${\displaystyle L(n,k)}$

$${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$$

のために。 ${\displaystyle n\geq k\geq 1}$

符号なしLah数は組合せ論において興味深い意味を持つ。つまり、要素の集合を空でない線形順序付き部分集合に分割する方法の数を数える。^{[3] Lah数は}スターリング数と関連している。^[4]${\textstyle n}$${\textstyle k}$

の場合、Lah数は階乗に等しい。上記の解釈では、 を1つの集合に分割する場合のみ、集合を6通りの順序に並べることができる。 は6に等しい。これは、 を2つの順序付き部分に分割する方法が6つあるためである。は常に1である。これは、空でない部分集合に分割する唯一の方法が、サイズ1の部分集合になり、それを1つの方法でしか並べ替えられないためである。最近の文献では、^{[5] [6]} Karamata – Knuthスタイルの表記法が採用されている。Lah数は現在、次のように表記されることが多い。${\textstyle n\geq 1}$${\textstyle L(n,1)}$ ${\textstyle n!}$${\textstyle \{1,2,3\}}$$${\displaystyle \{(1,2,3)\}、\{(1,3,2)\}、\{(2,1,3)\}、\{(2,3,1)\} 、\{(3,1,2)\}、\{(3,2,1)\}}$$${\textstyle L(3,2)}$${\textstyle \{1,2,3\}}$$${\displaystyle \{1,(2,3)\},\{1,(3,2)\},\{2,(1,3)\},\{2,(3,1)\} 、\{3,(1,2)\}、\{3,(2,1)\}}$$${\textstyle L(n,n)}$${\textstyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle L(n,k)=\left\lfloor {n \atop k}\right\rfloor }$$

以下は Lah 番号の値の表です。

行の合計は（OEISのシーケンスA000262）です。 ${\textstyle 1,1,3,13,73,501,4051,37633,\dots }$

は上昇階乗を表し、は下降階乗を表します。Lah数は、これらの多項式族をそれぞれ他の多項式族で表す係数です。具体的には、およびたとえば、および${\textstyle x^{(n)}}$ ${\textstyle x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$${\textstyle (x)_{n}}$ ${\textstyle x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$$${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}}$$$${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{nk}L(n,k)x^{(k)}。}$$$${\displaystyle x(x+1)(x+2)={\color {red}6}x+{\color {red}6}x(x-1)+{\color {red}1}x(x-1)(x-2)}$$$${\displaystyle x(x-1)(x-2)={\color {red}6}x-{\color {red}6}x(x+1)+{\color {red}1}x(x+1)(x+2),}$$

ここで係数6、6、1はまさにLah数、、です。 ${\displaystyle L(3,1)}$${\displaystyle L(3,2)}$${\displaystyle L(3,3)}$

Lah 数はさまざまな恒等式と関係を満たします。

スターリング数のKaramata – Knuth表記では、 は第 1 種の符号なしスターリング数であり、は第 2 種のスターリング数です。 $${\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=k}^{n}\left[{n \atop j}\right]\left\{{j \atop k}\right\}}$$${\textstyle \left[{n \atop j}\right]}$${\textstyle \left\{{j \atop k}\right\}}$

${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \choose k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \choose k}{n-1 \choose k-1}(nk)!}$

${\displaystyle L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(nk)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(nk)!}}}$

${\displaystyle k(k+1)L(n,k+1)=(nk)L(n,k)}$、 のために。${\displaystyle k>0}$

Lah 数は、すべての に対して、 、クロネッカーのデルタ、 となる再帰関係を満たします。 $${\displaystyle {\begin{aligned}L(n+1,k)&=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\\&=k(k+1)L(n,k+1)+2kL(n,k)+L(n,k-1)\end{aligned}}}$$${\displaystyle L(n,0)=\delta _{n}}$${\displaystyle L(n,k)=0}$${\displaystyle k>n}$

${\displaystyle \sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}}$

関数のn次導関数は、次のようにラハ数で表すことができる^[7]例えば、 ${\displaystyle e^{\frac {1}{x}}}$$${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}x^{n}}}e^{\frac {1}{x}}=(-1)^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {L(n,k)}{x^{n+k}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}.}$$

${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}e^{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x^{2}}}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left(-{\frac {1}{x^{2}}}e^{\frac {1}{x}}\right)=-{\frac {-2}{x^{3}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}=\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{3}}{{\textrm {d}}x^{3}}}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}\left(\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}\right)=\left({\frac {-6}{x^{4}}}+{\frac {-4}{x^{5}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}+\left({\frac {2}{x^{3}}}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot e^{\frac {1}{x}}=-\left({\frac {6}{x^{4}}}+{\frac {6}{x^{5}}}+{\frac {1}{x^{6}}}\right)\cdot e^{\frac {1}{x}}}$

一般化ラゲール多項式は 設定時にLah数にリンクされます。この式は、 Umbral計算規則におけるデフォルトのラゲール多項式です。^[8]${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$${\displaystyle \alpha =-1}$$${\displaystyle n!L_{n}^{(-1)}(x)=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-x)^{k}}$$

近年、Lah数は画像にデータを隠すステガノグラフィーに使用されています。DCT 、DFT、DWTなどの代替手段と比較して、整数係数の計算の複雑さが低くなります。 ^{[9] [10] Lah変換とLaguerre変換は、}色分散 の摂動記述で自然に生じます。^{[11] [12]} Lah -Laguerre光学では、このようなアプローチにより最適化問題が大幅に高速化されます。 ${\displaystyle O(n\log n)}$

• スターリング数
• パスカル行列

• 符号付きおよび符号なしLah数はそれぞれ（OEISのシーケンスA008297）および（OEISのシーケンスA105278）です。