ロドリゲスの公式

数学において、ロドリゲスの公式（以前はアイボリー・ヤコビの公式と呼ばれていた）は、ルジャンドル多項式を生成する。この公式は、オリンデ・ロドリゲス （1816年）、サー・ジェームズ・アイボリー （1824年）、カール・グスタフ・ヤコビ （1827年）の3人が独立に提唱した。 1865年にエルミートがロドリゲスが最初に発見したと指摘した後、1878年にハイネが「ロドリゲスの公式」という名前を導入した。この用語は、他の直交多項式の同様の公式を説明するためにも使用される。Askey（2005年）は、ロドリゲスの公式の歴史を詳細に説明している。

を、直交条件 を満たす 区間 上で定義された直交多項式列とします。 ここで は適切な重み関数、は に依存する定数、 はクロネッカーのデルタです。重み関数が次の微分方程式（ピアソンの微分方程式と呼ばれる）を満たす場合、 は次数が最大で 1の多項式、は次数が最大で 2 の多項式であり、さらに、極限 です。すると、 が、 いくつかの定数 に対して、形式の関係を満たす ことが示されます。この関係は、ロドリゲス型公式、または単にロドリゲスの公式と呼ばれます。^[1]${\displaystyle (P_{n}(x))_{n=0}^{\infty}}$${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n},}$$${\displaystyle w(x)}$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \delta_{m,n}}$${\displaystyle w(x)}$$${\displaystyle {\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},}$$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}w(x)B(x)=0.}$$${\displaystyle P_{n}(x)}$$${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right],}$$${\displaystyle c_{n}}$

ロドリゲス型の公式の最もよく知られた応用は、ルジャンドル多項式、ラゲール多項式、エルミート多項式の公式です。

ロドリゲスはルジャンドル多項式の公式を次のように述べました。 ${\displaystyle P_{n}}$$${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[(x^{2}-1)^{n}\right]\!.}$$

ラゲール多項式は通常L ₀、  L ₁、…と表記され、ロドリゲスの公式は次のように表される。 $${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[e^{-x}x^{n}\right]={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$$

エルミート多項式のロドリゲス公式は次のように書ける。 $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\!\left[e^{-x^{2}}\right]=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

同様の公式は、シュトゥルム・リウヴィル方程式から生じる他の多くの直交関数の列にも当てはまり、特に結果の列が多項式である場合、これらはロドリゲスの公式（またはロドリゲス型公式）とも呼ばれます。

• Askey, Richard (2005)、「1839 年の順列に関する論文: ロドリゲスの公式との関係とその後の展開」、Altmann, Simón L.、Ortiz, Eduardo L. (編)、『フランスにおける数学と社会的ユートピア: オリンデ・ロドリゲスとその時代』、数学史、第 28 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、pp. 105–118、ISBN 978-0-8218-3860-0
• アイヴォリー、ジェームズ（1824）「軸を中心に回転する均質流体の平衡を保つために必要な図形について」、ロンドン王立協会哲学論文集、114、王立協会：85–150、doi：10.1098/rstl.1824.0008、JSTOR  107707
• Jacobi、CGJ (1827)、「Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2xz + z2)1/2 entstehen.」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、2 : 223 –226、土井:10.1515/crll.1827.2.223、ISSN  0075-4102、S2CID  120291793
• オコナー、ジョン・J.ロバートソン、エドマンド F.、「Olinde Rodrigues」、MacTutor 数学史アーカイブ、セント アンドリュース大学
• ロドリゲス、オリンド(1816)、「球状の魅力」、フランス帝国工科大学通信、(パリ大学理学部の論文)、3 (3): 361–385