クロスターマン合計

数学において、クロスターマン和は特別な種類の指数和である。これはオランダの数学者ヘンドリック・クロスターマンにちなんで名付けられたもので、彼は1926年^[1]にこれを導入した。このときクロスターマンはハーディ・リトルウッド円法を4変数の正定値対角二次形式の問題に取り組むために応用し、5変数以上の1924年の博士論文研究を強化した。^[2]

a、b、mを自然数とする。すると

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{\stackrel {0\leq x\leq m-1}{\gcd(x,m)=1}}e^{{\frac {2\pi i}{m}}(ax+bx^{*})}.}$

ここでx* はx を法として m を割った値 の逆数です。

クロスターマン和はベッセル関数の有限環版である。これらは、例えばモジュラー形式のフーリエ展開で現れる。

リーマンゼータ関数、短い区間内の素数、等差数列内の素数、保型関数のスペクトル理論、および関連するトピック を含む平均値への応用があります。

• a = 0またはb = 0の場合、クロスターマン和はラマヌジャン和に減少します。
• K ( a , b ; m )は、 aとb を法としてm を剰余類とするものにのみ依存します。さらに、 gcd( c , m ) = 1の場合、 K ( a , b ; m ) = K ( b , a ; m )かつK ( ac , b ; m ) = K ( a , bc ; m ) です。
• m = m ₁ m ₂とし、m 1_とm 2_は互いに素である。n ₁ m ₁ ≡ 1 mod m ₂かつn ₂ m ₂ ≡ 1 mod m ₁となるようにn ₁とn _{2 を}選ぶ。すると

${\displaystyle K(a,b;m)=K\left(n_{2}a,n_{2}b;m_{1}\right)K\left(n_{1}a,n_{1}b;m_{2}\right).}$

これにより、素数pと整数k ≥ 1に対して、 Kloosterman 和の評価がm = p ^{k の}場合に簡略化されます。

• K ( a , b ; m )の値は常に代数的実数である。実際、K ( a , b ; m ) は、体の合成体である部分体の要素である。${\displaystyle K\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p^{\alpha }}+\zeta _{p^{\alpha }}^{-1}\right)}$

ここでpはすべての奇数の素数の範囲にあり、p ^α || mであり、

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{2^{\alpha -1}}+\zeta _{2^{\alpha -1}}^{-1}\right)}$

2 ^α || mかつα > 3の場合。

• セルバーグのアイデンティティ:

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{d\mid \gcd(a,b,m)}d\cdot K\left({\tfrac {ab}{d^{2}}},1;{\tfrac {m}{d}}\right).}$

はアトレ・セルバーグによって提唱され、モジュラー形式のスペクトル理論を用いてクズネツォフによって初めて証明された。今日ではこの恒等式の基本的な証明が知られている。^[3]

• p が奇数の素数である場合、 K ( a , b ; p )の簡単な公式は知られておらず、佐藤-テイト予想はそのような公式が存在しないことを示唆しています。ただし、以下の持ち上げ公式は明示的な評価と同じくらい優れていることがよくあります。gcd ( a , p ) = 1の場合、重要な変換も存在します。

${\displaystyle K(a,a;p)=\sum _{m=0}^{p-1}\left({\frac {m^{2}-4a^{2}}{p}}\right)e^{\frac {2\pi im}{p}},}$

ここで はヤコビ記号を表します。${\displaystyle \left({\tfrac {\ell }{m}}\right)}$

• m = p ^k（k > 1）とし、p は素数であり、gcd( p , 2 ab ) = 1と仮定します。すると、次のようになります。

${\displaystyle K(a,b;m)={\begin{cases}2\left({\frac {\ell }{m}}\right){\sqrt {m}}{\text{ Re}}\left(\varepsilon _{m}e^{\frac {4\pi i\ell }{m}}\right)&\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {b}{p}}\right)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ここで、ℓはℓ ² ≡ ab mod mとなるように選択され、 ε _{m は}次のように定義されます ( mは奇数であることに注意)。

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&m\equiv 1{\bmod {4}}\\i&m\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

^{この公式はハンス・サリー[4]}によって初めて発見され、文献には多くの簡単な証明が記載されています。^[5]

クロスターマン和はモジュラー形式のフーリエ展開で発生するため、クロスターマン和の推定値はモジュラー形式のフーリエ係数の推定値も生成します。最も有名な推定値はアンドレ・ヴェイユによるもので、次のように述べています。

${\displaystyle |K(a,b;m)|\leq \tau (m){\sqrt {\gcd(a,b,m)}}{\sqrt {m}}.}$

ここで、mの正の約数の個数である。クロスターマン和の乗法特性により、これらの推定値はmが素数pの場合に縮小される。ヴェイユの基本的な手法により、推定値は次のように縮小される。 ${\displaystyle \tau (m)}$

${\displaystyle |K(a,b;p)|\leq 2{\sqrt {p}},}$

ab ≠ 0のとき、局所ゼータ関数に関する彼の結果に一致している。幾何学的には、和は「双曲線」 XY = abに沿って取られ、これはp個の元を持つ有限体上の代数曲線を定義するものと考えられる。この曲線は分岐したアルティン・シュライアー被覆Cを持ち、ヴェイユはCの局所ゼータ関数が因数分解を持つことを示した。これは、関数体である大域体の場合のアルティンの L 関数理論であり、これについてヴェイユは J. ヴァイシンガーの 1938 年の論文を参考文献として挙げている (翌年、彼はこのアイデアの以前の参考文献としてハッセの 1935 年の論文を挙げている。ヴェイユが、 Collected Papersで、解析的数論学者がこの例を自分で解く能力についてかなり軽蔑的な発言をしていることから、これらのアイデアはおそらくかなり長年の「言い伝え」であったと思われる)。非極性因子は1 − Kt型であり、ここでKは Kloosterman 和です。推定値は 1940 年の Weil の基礎研究から得られます。

この手法は、実際には、代数多様体に沿った完全な指数和が、次元 > 1 におけるWeil 予想に依存して、良好な推定値を持つことを、より一般的に示しています。この手法は、 Pierre Deligne、Gérard Laumon、Nicholas Katzによってさらに推し進められました。

短縮クロスターマン和は、次の形式の三角関数の和として定義される。

${\displaystyle \sum _{n\in A}\exp \left(2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right),}$

ここで、n はmと互いに素な数の集合Aを通過し、その要素の数は本質的にmより小さく、記号はnを法としてm の逆数となる合同類を表します。${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle n^{*}}$${\displaystyle nn^{*}\equiv 1{\bmod {m}}.}$

1990 年代初頭まで、このタイプの和の推定値は、加数の数が√ mより大きい場合に主に知られていました。このような推定値は、 HD Kloosterman、IM Vinogradov、 H. Salie、 L. Carlitz、 S. Uchiyama 、A. Weilによるものです。唯一の例外は、形式m = p ^αの特殊加群で、pは固定された素数で、指数α は無限大に増加します (このケースは、 Ivan Matveyevich Vinogradovの方法を使用してAG Postnikovによって研究されました)。

1990年代にアナトリー・アレクセーヴィッチ・カラツバは短いクロスターマン和を推定する新しい方法を開発しました^{[6] [7] [8]} 。カラツバの方法では、被加数の数が を超えないクロスターマン和を推定することが可能で、場合によっては（ は任意の小さな固定数）も推定できます。この主題に関するAAカラツバの最後の論文^[9]は彼の死後に出版されました。 ${\displaystyle m^{\varepsilon }}$${\displaystyle \exp\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}}$${\displaystyle \epsilon >0}$

カラツバ法のさまざまな側面は​​、解析的数論の以下の問題を解決する際に応用されました。

• 次の形式の小数部の合計の漸近線を求める:

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},{\sum _{p\leq x}}'\left\{{\frac {ap^{*}+bp}{m}}\right\},}$

ここで、n は条件を満たす整数を順に通過し、p はモジュールm (AAKaRatsuba)を割り切れない素数を通過します。${\displaystyle (n,m)=1}$

• 次の形式の不等式の解の数の下限を見つける:

${\displaystyle \alpha <\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\}\leq \beta }$

整数n、 1 ≤ n ≤ x 、 mと互いに素、(AA カラツバ);${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$

• 任意の実数を区間[0, 1]で小数部で近似した精度:

${\displaystyle \left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},}$

（AA カラツバ）${\displaystyle 1\leq n\leq x,(n,m)=1,x<{\sqrt {m}}}$

• ブルン・ティッチマーシュの定理におけるより正確な定数c  :

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$

ここで、p はx を超えず等差数列に属する素数の数です( J. Friedlander、H. Iwaniec )。${\displaystyle \pi (x;q,l)}$${\displaystyle p\equiv l{\bmod {q}}}$

• 形式の数の積の最大素因数の下限: n ³ + 2, N < n ≤ 2 N .( DR Heath-Brown );
• a ² + b ⁴の形の素数は無限に存在することを証明する。( J. Friedlander、H. Iwaniec )
• 数の集合の組み合わせ的性質 (AAGlibichuk):

${\displaystyle n^{*}{\bmod {m}},1\leq n\leq m^{\varepsilon }.}$

クロスターマン和は一般には計算できないが、代数体へと「持ち上げる」ことができ、より便利な公式が得られることが多い。を平方根のない整数とし、 mの任意 の素因数pに対して、${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \gcd(\tau,m)=1.}$

${\displaystyle \left({\frac {\tau }{p}}\right)=-1.}$

すると、 mと互いに素 なすべての整数a、bに対して、

${\displaystyle K(a,b;m)=(-1)^{\オメガ (m)}\sum _{\stackrel {v,w{\bmod {m}}}{v^{2}-\タウ w^{2}\equiv ab{\bmod {m}}}}e^{\frac {4\pi iv}{m}}.}$

ここでΩ( m ) は重複度を数えたmの素因数の数である。右辺の和は、体 の代数的整数の和として再解釈することができる。この公式は、ドン・ザギエに触発され、エルヴェ・ジャケとイエによるGL(2)の相対トレース公式の研究を拡張したヤンボ・イエによるものである。^[10]実際、より一般的な指数和も持ち上げることができる。^[11]${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\tau }}).}$

クズネツォフまたは相対トレース公式は、クロスターマン和を保型形式のスペクトル理論と深いレベルで結び付けます。 元々、これは次のように述べることができました。 が十分に「行儀の良い」関数であるとします。 このとき、次のタイプの恒等式をクズネツォフトレース公式と呼びます。 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{c\equiv 0{\bmod {N}}}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{ Integral transform }}\ +\ {\text{ Spectral terms}}.}$

積分変換部分はgの何らかの積分変換であり、スペクトル部分は、 gの何らかの積分変換でねじられた正則および非正則モジュラー形式の空間にわたるフーリエ係数の和である。クズネツォフのトレースの公式は、重みゼロの保型関数の成長を研究しているときにクズネツォフによって発見された。^{[12]クロスターマン和の推定値を使用して、彼は}ピエール・ドリーニュのヴェイユ予想の証明が適用できない場合にモジュラー形式のフーリエ係数の推定値を導き出すことができた。

これは後にジャケによって表現論的枠組みに翻訳された。Gを数体F上の簡約群とし、を部分群とする。通常のトレース公式はG上の調和解析を研究するが、相対トレース公式は対称空間G / H上の調和解析を研究するためのツールである。概要と多数の応用については参考文献を参照のこと。^[13] ${\displaystyle H\subset G}$

ヴェイユの推定値は現在、WM Schmidt 著『有限体上の方程式: 初等的アプローチ』第 2 版 (Kendrick Press、2004 年)で研究できます。ここでの基本的なアイデアは S. Stepanov によるもので、 Axel ThueのDiophantine 近似の研究からインスピレーションを得ています。

クロスターマン和とモジュラー形式の間には多くの関連がある。実際、和は（名前を除いて）1912年のアンリ・ポアンカレのモジュラー形式に関する論文で初めて登場した。ハンス・サリエは、ディリクレ指標によってひねられたクロスターマン和の形式を導入した：^[14]このようなサリエ和には基本的な評価がある。^[4]

1979 年にクズネツォフが、平方根推定よりも「平均的に節約」できる、クロスターマン和と非正則モジュラー形式を結び付ける重要な公式を発見した後、イワニエツとデシュイエールがInventiones Mathematicae (1982)に発表した独創的な論文でさらに発展させました。その後の解析的数論への応用は、多くの著者、特にボンビエリ、フーヴリー、フリードランダー、イワニエツ によって研究されました。

この分野は、まだあまり理解しにくい分野です。クズネツォフの公式を理解するために必要なスペクトル理論の詳細な入門書は、 RC Baker 著「Kloosterman Sums and Maass Forms」第 1 巻 (Kendrick press、2003 年) に記載されています。また、この分野に関心のある学生や研究者にとって、Iwaniec & Kowalski (2004 年) も参考になります。

Yitang Zhangは素数間の境界ギャップの証明にKloosterman和を使用した。^[15]

• ハッセの縛り

• アルヒポフ、GI;チュバリコフ、バーモント州。カラツバ、AA (2004)。数論と解析における三角関数の和。 de Gruyter の数学における解説。 Vol. 39. ベルリン〜ニューヨーク：ウォルター・デ・グルイテル。ISBN 3-11-016266-0.ZBL1074.11043  。​
• イワニエツ、ヘンリク、コワルスキー、エマニュエル (2004)。解析的数論。コロキウム出版。第 53 巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-3633-1.ZBL1059.11001  。​
• リドル、ルドルフ、ニーダーライター、ハラルド(1997)。有限体。数学とその応用百科事典。第 20 巻 (第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-39231-4.ZBL0866.11069  .​
• ヴェイユ、アンドレ(1948)。「いくつかの指数和について」。Proc . Natl. Acad. Sci . 34 : 204–207. Zbl  0032.26102。

• ワイスタイン、エリック・W.「クルースターマンの和」。マスワールド。
• 「クロスターマン和」。PlanetMath。
• 「ボンビエリ-ヴェイユ境界 - 数学百科事典」。encyclopediaofmath.org。