ベズーの正体

数学において、ベズーの恒等式（ベズーの補題とも呼ばれる）は、多項式についてそれを証明したエティエンヌ・ベズーにちなんで名付けられた定理であり、任意の2つの整数とその最大公約数との関係を示すものである。この定理の記述は以下のとおりである。

ベズーの恒等式— $a$ と $b を$ 最大公約数 $d$ を持つ整数とする。このとき、 $ax$ $+$ $by$ $=$ $d$ となる整数 $x$ と $y$ が存在する。さらに、 $az$ $+$ $bt$ の形の整数は $d$ の倍数に等しい。

$（ 0$ と $0$ の最大公約数は $0$ とする。）整数 $x$ と $y$ $は($ $a$ $,$ $b$ $)$ のベズー係数と呼ばれ、一意ではない。拡張ユークリッド互除法を用いて最小ベズー係数のペアを計算することができ、それは以下の条件を満たす。 $|x|\leq |b/d|$ そして $|y|<|a/d|$ $等号が成立するのは、 a$ と $b$ の一方が他方の倍数である場合のみであり、そうでない場合はちょうど2つの最小対が存在する。

例えば、最大公約数は $a=15$ そして $b=69$ は $d=3$ これは線形結合として表すことができる $ax+by=15(-9)+69(2)=3$ ベズー係数付き $(x,y)=(-9,2)$ 最小限であるため $9<69/3=23$ そして $2<15/3=5$ その他の最小ベズー係数は $(x,y)=(-9+23,2-5)=(14,-3)$ 。

初等整数論における他の多くの定理、例えばユークリッドの補題や中国剰余定理などは、ベズーの恒等式から形式的に導き出すことができる。

ベズー領域とは、ベズーの恒等式が成り立つ整域のことである。特に、ベズーの恒等式は主イデアル領域において成り立つ。したがって、ベズーの恒等式から導かれるすべての定理は、すべての主イデアル領域において真である。

溶液の構造

$a$ と $bが$ 両方ともゼロではなく、ベズー係数 $(x, y)$ のペアが1つ計算されている場合（例えば、拡張ユークリッドアルゴリズムを使用した場合）、すべてのペアは次の形式で表すことができます。 $\left(xk{\frac {b}{d}},\ y+k{\frac {a}{d}}\right),$ ここで、 $k$ は任意の整数、 $dは$ $a$ と $b$ の最大公約数であり、分数は整数に簡約されます。

$a$ と $bが$ 両方ともゼロではなく、どちらも他方を割り切らない場合、ベズー係数のペアのうちちょうど2つが次の条件を満たす。 $|x|<\left|{\frac {b}{d}}\right|\quad {\text{かつ}}\quad |y|<\left|{\frac {a}{d}}\right|.$ $a$ と $b$ が両方とも正の場合、 $x>0$ そして $y<0$ これらのペアのうちの1つについては、 $x<0$ そして $y>0$ もう一方の場合。a $> 0が$ $b$ の約数である場合 ( $b=0$ ) の場合、ベズー係数の 1 つのペアは $(1, 0)$ です。

これはユークリッド除法の性質に基づいています。2 つの非ゼロ整数 $c$ と $d$ が与えられたとき、 $d が$ $c を$ 割り切らない場合、 $c$ $=$ $dq$ $+$ $r$ かつ $0 <$ $r$ $<$ $|$ $d$ $|$ となるような $(q, r)$ がちょうど 1 つ存在し、 $c$ $=$ $dq$ $+$ $r$ かつ $-$ $|$ $d$ $|$ $<$ $r$ $< 0$ となるような別のペアが存在します。

$与えられた(x, y)$ から、上記の式で $kに$ $x / b / d$ に最も近い 2 つの整数のいずれかを選択することにより、 $最小$ ベズー係数の 2 つのペアが得られます $。$

拡張ユークリッドアルゴリズムは、常にこれら2つの最小対のうちの1つを生成します。

例

$a = 12$ 、 $b = 42$ とすると、 $gcd (12, 42) = 6 と$ なります。このとき、以下のベズーの恒等式が成り立ちます（ベズー係数は、最小ペアの場合は赤色、その他の場合は青色で示されています）。

${\begin{aligned}\vdots \\12&\times ({\color {blue}{-10}})&+\;\;42&\times \color {blue}{3}&=6\\12&\times ({\color {red}{-3}})&+\;\;42&\times \color {red}{1}&=6\\12&\times \color {red}{4}&+\;\;42&\times ({\color {red}{-1}})&=6\\12&\times \color {blue}{11}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-3}})&=6\\12&\times \color {blue}{18}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-5}})&=6\\\vdots \end{aligned}}$

元のベズー係数のペアが $(x, y) = (18, -5)$ である場合、 $⁠$ $18$ $/$ $42/6$ $⁠$ $\in [2, 3]$ は、それぞれ $k$ $= 2および$ $k$ $= 3$ を介して最小ペアを生成します。つまり、 $(18 - 2 \cdot 7, -5 + 2 \cdot 2) = (4, -1)$ および $(18 - 3 \cdot 7, -5 + 3 \cdot 2) = (-3, 1) です$ 。

存在証明

任意のゼロでない整数 $a$ と $b$ に対して、 $S = {ax + by | x, y \in Z かつ ax + by > 0}$ とする。集合 $S は、$ $a$ または $- a$ ( $x = \pm1$ かつ $y = 0$ )のいずれかを含むため、空集合ではない。S $は正の整数の空でない集合であるため、$ 整列原理により、最小要素 $d = as + bt$ を持つ。d が a と b の最大公約数であることを証明するには $、$ $d$ が $a$ と $b$ $の$ 公約 $数$ であり、他の任意の公約数 $cに対して$ $c$ $\leq$ $d$ であることを証明する必要がある。

$aを$ $d$ で割ったユークリッド除法は次のように表すことができます。 $a=dq+r\quad {\text{with}}\quad 0\leq r<d.$ 残りの $rは$ $S \cup {0}$ に含まれる。なぜなら ${\begin{aligned}r&=a-qd\\&=a-q(as+bt)\\&=a(1-qs)-bqt.\end{aligned}}$ したがって、 $rは$ $ax + by$ の形であり、したがって $r \in S \cup {0}$ です。しかし、 $0 \leq r < d$ であり、 $dは$ $S$ の最小の正の整数です。したがって、余り $rは$ $S$ に含まれず、 $r は$ 必然的に 0 になります。これは、 $dが$ $a$ の約数であることを意味します。同様に、 $dは$ $b$ の約数でもあるため、 $d は$ $a$ と $b$ の共通の約数です。

ここで、 $c を$ $a$ と $b$ の任意の公約数とする。すなわち、 $a$ $=$ $cu$ かつ $b$ $=$ $cv$ となるような $u$ と $v が$ 存在する。したがって、 ${\begin{aligned}d&=as+bt\\&=cus+cvt\\&=c(us+vt).\end{aligned}}$ つまり、 $cは$ $d$ の約数である。d $> 0$ なので、これは $c$ $\leq$ $d$ $を$ 意味する。

系

任意の整数を線形結合として表す

ベズーの恒等式の直接的な帰結として、任意の整数 $n は$ 互いに素な任意の2 つの整数の線形結合として表すことができる。^[¹^]実際、 $a$ と $b が互いに素であれば、ベズーの恒等式により、$ $ax$ $+$ $by$ $= 1$ となる整数 $x$ と $y$ が存在することが保証される。両辺に $n$ を掛けると、 $a(xn)+b(yn)=n$ 。

一般化

3つ以上の整数の場合

ベズーの恒等式は、2つ以上の整数に拡張できます。 $\gcd(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=d$ すると整数が存在する $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ そのため $d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}$ 以下の特性を持つ。

$d$ はこの形式の最小の正の整数です
$この形式のすべての数はd$ の倍数である

多項式の場合

$ベズーの恒等式は、$ 環内の係数を持つ多項式に対して常に成り立つとは限りません。たとえば、整数係数を持つ多項式環を扱う場合、 $2x$ と $x²$ の最大公約数は $x$ ですが、整数係数の多項式は存在しません $。$ $p(x)$ そして $q(x)$ 満足 $2xp(x)+x^{2}q(x)=x$ 。

しかし、ベズーの恒等式は、係数が体である単変数多項式に対しても、元の整数の場合と全く同じように機能します。特に、ベズーの係数と最大公約数は、拡張ユークリッド互除法を用いて計算できます。

2つの多項式の共通根はそれらの最大公約数の根であるため、ベズーの恒等式と代数学の基本定理から次の結果が得られる。

単変数多項式の場合

a(x)

そして

b(x)

体上の係数を持つ多項式が存在する

p(x)

そして

q(x)

そのため

a(x)p(x)+b(x)q(x)=1

かつその場合に限り

a(x)

そして

b(x)

代数的に閉じた体（一般的には複素数体）において共通の根を持たない。

この結果を任意の数の多項式と不定式に一般化したものがヒルベルトの零点定理である。

主理想領域の場合

序論で述べたように、ベズーの恒等式は整数環だけでなく、他の任意の主イデアル整域(PID) でも成り立ちます。つまり、 $R$ が PID であり、 $a$ と $b が$ $R$ の要素で、 $d$ $が a$ と $b$ の最大公約数である場合、 $ax$ $+$ $by$ $=$ $d$ となるような $R$ の要素 $x$ と $y$ が存在します。その理由は、イデアル $Ra$ $+$ $Rbが主イデアルであり、$ $Rd$ と等しいからです。

ベズーの恒等式が成り立つ整域をベズー領域と呼ぶ。

歴史と帰属

フランスの数学者エティエンヌ・ベズー（1730–1783）は、多項式についてこの恒等式を証明した。^{[ 2 ]}整数に関する記述は、それ以前のフランスの数学者クロード・ガスパール・バシェ・ド・メジリアック（1581–1638）の著作にすでに見られる。 ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}アンドリュー・グランヴィルは、ベズーの名前とこの恒等式の関連性をブルバキにまで遡って調べ、この恒等式はユークリッドの『原論』に暗黙のうちに含まれているため、これは誤った帰属であると主張した。^{[ 6 ]}

参考文献

↑ Bressoud, David (2022-02-01). "私の数学の旅：切手問題" .アメリカ数学協会. 2026-01-25 のオリジナルからアーカイブ済み. 2026-03-09に取得.
↑ベズー、É.（1779年）。代数理論の一般論。フランス、パリ: Ph.D.ピエール。
↑ティニョール、ジャン＝ピエール（2001）。ガロアの代数方程式論。シンガポール：ワールドサイエンティフィック。ISBN 981-02-4541-6。
↑クロード・ガスパール・バシェ (メジリアック卿) (1624 年)。Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (第 2版)。フランス、リヨン: Pierre Rigaud & Associates。18～ 33ページ。これらのページで、バシェは（方程式を用いずに）「命題 XVIII. 互いに素な 2 つの数が与えられたとき、それぞれの最小倍数を見つけ、一方の倍数が他方の倍数を 1 だけ上回るようにせよ。」を証明しています。この問題（つまり、 $ax - by = 1$ ）はベズーの方程式の特殊な場合であり、バシェは 199 ページ以降に掲載されている問題を解くためにこれを用いました。
↑参照: Maarten Bullynck (2009 年 2 月) 「CF ガウス以前のモジュラー算術: 18 世紀ドイツにおける剰余問題の体系化と議論」(PDF) . Historia Mathematica . 36 (1): 48– 72. doi : 10.1016/j.hm.2008.08.009 . 2022 年 10 月 9 日にオリジナルからアーカイブ(PDF) 。
↑グランヴィル、アンドリュー (2024)。「それは「ベズーのアイデンティティ」ではない」" .arXiv : 2406.15642 [ math.HO ]。

外部リンク

ベズーの恒等式を計算するオンライン計算機
ワイスタイン、エリック・W. 「ベズーのアイデンティティ」。マスワールド。

[1] Bressoud, David (2022-02-01). "私の数学の旅：切手問題" .アメリカ数学協会. 2026-01-25 のオリジナルからアーカイブ済み. 2026-03-09に取得.

[2] ベズー、É.（1779年）。代数理論の一般論。フランス、パリ: Ph.D.ピエール。

[3] ティニョール、ジャン＝ピエール（2001）。ガロアの代数方程式論。シンガポール：ワールドサイエンティフィック。ISBN 981-02-4541-6。

[4] クロード・ガスパール・バシェ (メジリアック卿) (1624 年)。Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (第 2版)。フランス、リヨン: Pierre Rigaud & Associates。18～ 33ページ。これらのページで、バシェは（方程式を用いずに）「命題 XVIII. 互いに素な 2 つの数が与えられたとき、それぞれの最小倍数を見つけ、一方の倍数が他方の倍数を 1 だけ上回るようにせよ。」を証明しています。この問題（つまり、 $ax - by = 1$ ）はベズーの方程式の特殊な場合であり、バシェは 199 ページ以降に掲載されている問題を解くためにこれを用いました。

[5] 参照: Maarten Bullynck (2009 年 2 月) 「CF ガウス以前のモジュラー算術: 18 世紀ドイツにおける剰余問題の体系化と議論」(PDF) . Historia Mathematica . 36 (1): 48– 72. doi : 10.1016/j.hm.2008.08.009 . 2022 年 10 月 9 日にオリジナルからアーカイブ(PDF) 。

[6] グランヴィル、アンドリュー (2024)。「それは「ベズーのアイデンティティ」ではない」" .arXiv : 2406.15642 [ math.HO ]。

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