不確実性

数学において、微分多様体（/ d ə ˈ f aɪ ə ˌ t iː /）は、現代の偏微分方程式理論において代数方程式に対する代数多様体が果たす役割と同じ役割を果たす幾何学的対象であり、より概念的な方法で解の空間を符号化する。この用語は、1984年にアレクサンドル・ミハイロヴィチ・ヴィノグラードフによって、 differential var ietyから作られた造語である。^[1]

代数幾何学では、主な研究対象 (多様体) は、代数方程式系の解の空間 (つまり、多項式セットのゼロ軌跡) と、そのすべての「代数的帰結」をモデル化します。つまり、このセットに代数演算を適用すると (たとえば、それらの多項式を互いに加算したり、他の多項式と乗算したりすると)、同じゼロ軌跡が生成されます。言い換えると、実際には、最初の多項式セットによって生成された 代数的イデアルのゼロ軌跡を検討することができます。

微分方程式を扱う場合、上記のように代数演算を適用する以外に、開始方程式を微分して新しい微分制約を得るという選択肢もあります。したがって、多様体の微分類似体は、微分方程式系の解の空間と、そのすべての「微分結果」になります。したがって、代数イデアルのゼロ位置を考慮する代わりに、微分イデアルを扱う必要があります。

したがって、基本微分は、微分方程式の無限延長と、特殊 分布によって提供される追加の構造で構成されます。基本微分は、代数方程式の理論におけるアフィン代数多様体と同じ役割を果たします。したがって、多様体またはスキームが既約アフィン多様体またはアフィンスキームで構成されるのと同じように、（非基本）微分は、局所的に基本微分 のように見えるオブジェクトとして定義されます。${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$

微分方程式とその解に対する幾何学的アプローチに依存する微分の正式な定義には、以下で説明する部分多様体のジェット、延長、カルタン分布の概念が必要です。

たとえば、 については 内の点だけが回復され、 については の - 次元部分空間のグラスマン多様体が回復されます。より一般的には、すべての射影はファイバー束 です。 ${\displaystyle k=1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle TE}$${\displaystyle J^{k}(E)\to J^{k-1}E}$

特別なケースとして、 が- 次元多様体上のファイバー多様体の構造を持つ場合、の局所断面のグラフによって与えられるの部分多様体を考えることができます。すると、部分多様体のジェットの概念は、断面のジェットの標準的な概念に要約され、ジェットバンドルはの開いた稠密な部分集合であることがわかります。^[3]${\displaystyle E}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle J^{k}(\pi )}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$

部分多様体のジェット延長は ${\displaystyle k}$${\displaystyle M\subseteq E}$

$${\displaystyle j^{k}(M):M\rightarrow J^{k}(E,m),\quad p\mapsto [M]_{p}^{k}}$$

この写像は滑らかな埋め込みであり、その像は部分多様体の延長と呼ばれ、に微分同相な部分多様体です。 ${\displaystyle j^{k}(M)}$${\displaystyle M^{k}:={\text{im}}(j^{k}(M))}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$${\displaystyle M}$

の形の空間（ここで はの延長線上に点 が含まれる任意の部分多様体）は における-平面（またはジェット平面、カルタン平面）と呼ばれます。ジェット空間上のカルタン分布はによって定義される分布であり、 はにおけるすべての -平面のスパンです。^[4]${\displaystyle T_{\theta }(M^{k})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq T(J^{k}(E,m))}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}:J^{k}(E,m)\rightarrow TJ^{k}(E,m),\qquad \theta \mapsto {\mathcal {C}}_{\theta }\subset T_{\theta }(J^{k}(E,m))}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\theta}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$

多様体 上の階の微分方程式は部分多様体 です。解はとなる- 次元部分多様体として定義されます。が上のファイバー多様体である場合、ジェットバンドルとその解に関する偏微分方程式の概念が回復され、数学的解析の類似の概念を座標フリーで記述する方法が提供されます。ジェットバンドルは幾何学で生じる多くの方程式を扱うのに十分ですが、部分多様体のジェット空間はより一般性が高く、ラグランジュ部分多様体や極小曲面など、特定の多様体の部分多様体に課せられるいくつかの偏微分方程式を扱うために使用されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$${\displaystyle S^{k}\subseteq {\mathcal {E}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

ジェットバンドルの場合と同様に、カルタン分布は微分方程式の代数幾何学的アプローチにおいて重要です。これは、カルタン分布によって解を純粋に幾何学的な用語でエンコードできるためです。実際、部分多様体は、 に対して、つまりすべての に対して、整多様体である場合に限り、解となります。 ${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle T_{\theta }S\subset {\mathcal {C}}_{\theta }}$${\displaystyle \theta \in S}$

PDE のカルタン分布をより本質的に見て、 を定義することもできます。この意味で、ペアは微分方程式 の解に関する情報をエンコードします。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}):=\{{\mathcal {C}}_{\theta }\cap T_{\theta }({\mathcal {E}} )~|~\theta \in {\mathcal {E}}\}}$$${\displaystyle ({\mathcal {E}},{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

次数の微分方程式が与えられたとき、その- 次延長は と定義されます。ここで、と は両方ともの埋め込み部分多様体とみなされるため、それらの交差は明確に定義されます。ただし、このような交差は必ずしも多様体ではないため、次数 の方程式ではない可能性があります。したがって、通常は、少なくともその最初の延長が の部分多様体であるように「十分に良い」ことが求められます。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{l}(E,m)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}:=J^{k}({\mathcal {E}},m)\cap J^{k+l}(E,m)\subseteq J^{k+l}(E,m)}$$${\displaystyle J^{k}({\mathcal {E}},m)}$${\displaystyle J^{k+l}(E,m)}$${\displaystyle J^{k}(J^{l}(E,m),m)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}}$${\displaystyle k+l}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle J^{k+1}(E,m)}$

以下では、偏微分方程式が形式的に積分可能である、つまり、すべての延長が滑らかな多様体であり、すべての射影が滑らかな射影的沈み込みであると仮定します。カルタン-クラニシ延長定理の適切なバージョンは、マイナー正則性の仮定の下で、有限個の延長の滑らかさをチェックするだけで十分であることを保証することに注意してください。次に、シーケンスの逆極限は、延長の定義を が無限大になる場合まで拡張し、空間はprofinite 次元多様体の構造を持ちます。^[5]${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}\to {\mathcal {E}}^{k-1}}$${\displaystyle \{{\mathcal {E}}^{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$

初等微分とは、ある多様体上の-階微分方程式、その無限延長、およびそのカルタン分布のペアです。有限の場合とは異なり、カルタン分布は- 次元で反転していることを示すことができます。ただし、周囲の多様体が無限次元であるため、フロベニウスの定理は成立せず、したがって積分可能ではありません 。${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$

差異とは、以下の三つの要素から構成される。 ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$

• （一般的には無限次元の）多様体${\displaystyle {\mathcal {O}}}$
• 滑らかな関数の代数${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$
• 有限次元分布、${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$

が局所的に の形になるようなもの、ここで は基本微分であり、上の滑らかな関数の代数を表します。ここで局所的とは、代数 に対応するザリスキ位相に関する適切な局所化を意味します。 ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty }),{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$

の次元は微分次元と呼ばれ、大文字の D で表されます(多様体としての の次元と区別するため)。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$${\displaystyle \mathrm {Dim} ({\mathcal {O}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

2 つの不完全性と の間の射は、滑らかな写像から成り、その押し進めによってカルタン分布が保存されます。つまり、任意の点 に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$${\displaystyle ({\mathcal {O}}',{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}'),{\mathcal {C}}({\mathcal {O'}}))}$${\displaystyle \Phi :{\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}'}$${\displaystyle \theta \in {\mathcal {O}}}$${\displaystyle d_{\theta }\Phi ({\mathcal {C}}_{\theta })\subseteq {\mathcal {C}}_{\Phi (\theta )}}$

困難とその射は微分方程式のカテゴリーを定義する。^[3]

ヴィノグラドフスペクトル列（または、略してヴィノグラドフ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$列）は、微分に関連付けられたスペクトル列であり、そのカルタン分布を利用して微分方程式の形式解空間の特定の特性を調べるために使用できます。^[6]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

微分率が与えられたとき、上の微分形式の代数を考える。${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}}):=\sum _{i\geq 0}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$

対応するde Rham複合体:

${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{1}({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{2}({\mathcal {O}})\longrightarrow \cdots }$

そのコホモロジー群は偏微分方程式に関する構造的情報を含んでいるが、 ポアンカレの補題により、それらはすべて局所的に消えてしまう。したがって、より多くの、さらには局所的な情報を抽出するには、カルタン分布を考慮し、より洗練されたシーケンスを導入する必要がある。このために、 ${\displaystyle H^{i}({\mathcal {O}}):={\text{ker}}({\text{d}}_{i})/{\text{im}}({\text{d}}_{i-1})}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})=\sum _{i\geq 0}{\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ({\mathcal {O}})}$

超関数への制限が消える微分形式の部分加群、すなわち ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{p}({\mathcal {O}}):=\{w\in \Omega ^{p}({\mathcal {O}})\mid w(X_{1},\cdots ,X_{p})=0\quad \forall ~X_{1},\ldots ,X_{p}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})\}.}$

は、de Rham 微分、つまり に対して安定なので、実際には微分イデアルであることに注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$${\displaystyle {\text{d}}({\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}}))\subset {\mathcal {C}}\Omega ^{i+1}({\mathcal {O}})}$

ここでを の - 乗、つまりによって生成されるの線形部分空間とします。すると、フィルタリングが得られます。${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega ({\mathcal {O}})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega }$${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k},~w_{i}\in {\mathcal {C}}\Omega }$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{2}\Omega ({\mathcal {O}})\supset \cdots }$

そしてすべてのイデアルは安定しているので、このフィルタリングによって次のスペクトルシーケンスが完全に決定されます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}E({\mathcal {O}})=\{E_{r}^{p,q},{\text{d}}_{r}^{p,q}\}\qquad {\text{where}}\qquad E_{0}^{p,q}:={\frac {{\mathcal {C}}^{p}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}{{\mathcal {C}}^{p+1}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}},\qquad {\text{and}}\qquad E_{r+1}^{p,q}:=H(E_{r}^{p,q},d_{r}^{p,q}).}$

上記の濾過は、各次数において有限であり、すなわち、${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle \Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{k+1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})=0,}$

スペクトル列は微分方程式のド・ラームコホモロジーに収束する。したがって、スペクトル列の各項を順に解析することで、元の偏微分方程式に関する情報を復元することができる。例えば、次のようになる。^[7]${\displaystyle H({\mathcal {O}})}$

• ${\displaystyle E_{1}^{0,n}}$は、偏微分方程式 によって制約される作用汎関数に対応します。特に、 の場合、対応するオイラー-ラグランジュ方程式は です。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\in E_{1}^{0,n}}$${\displaystyle {\text{d}}_{1}^{0,n}{\mathcal {L}}=0}$
• ${\displaystyle E_{1}^{0,n-1}}$の解の保存則に対応します。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$
• ${\displaystyle E_{2}}$は、 の解のボルディズムの特性クラスとして解釈されます。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

多くの高次項にはまだ解釈がありません。

特殊なケースとして、ジェット空間の代わりにファイバー多様体とそのジェット束から始めて、スペクトル列の代わりに、やや一般性の低い変分双複体を得る。より正確には、任意の双複体は2 つのスペクトル列を決定する。変分双複体によって決定される 2 つのスペクトル列のうちの 1 つは、まさにヴィノグラドフ-スペクトル列である。しかし、変分双複体はヴィノグラドフ列とは独立して開発された。^{[8] [9]}${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle J^{k}(\pi )}$${\displaystyle J^{k}(E,m)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

スペクトル列の項と同様に、変分双複体の多くの項は古典場の理論における物理的解釈を与えることができる。例えば、作用汎関数、保存電流、ゲージ電荷などに対応するコホモロジー類が得られる。^[10]

ヴィノグラドフは、与えられた偏微分方程式系の解の空間（すなわち、与えられた微分量の積分多様体の空間）上の微分計算の考え方をコホモロジーの用語で形式化する二次計算として知られる理論を開発した。 ^{[11] [12] [13] [3]}

言い換えれば、二次微積分は、（一般的に）非常に特異な空間上で関数、ベクトル場、微分形式、微分演算子などの代わりとなるものを提供し、これらのオブジェクトは、解の空間上で通常の（滑らかな）方法では定義できません。さらに、これらの新しいオブジェクトの空間は、元のオブジェクトの空間と同じ代数構造を自然に備えています。^[14]

より正確には、微分 の水平 De Rham 複体 について考えます。これは、反転分布の葉ごとのde Rham 複体、または同等に、リー代数 のリー代数複体として見ることができます。すると、複体は、適切な微分 とともに、自然に可換DG 代数になります。次に、おそらく正規バンドル とテンソル化して、そのコホモロジーを使用して、次の「二次オブジェクト」を定義します。 ${\displaystyle {\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}):=\Gamma (\wedge ^{\bullet }{\mathcal {C(O)}}^{*})}$${\displaystyle {\mathcal {C(O)}}}$${\displaystyle {\mathcal {C(O)}}}$${\displaystyle {\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}})}$${\displaystyle {\overline {d}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}:=T{\mathcal {O}}/{\mathcal {C(O)}}\to {\mathcal {O}}}$

• 二次関数はコホモロジー の要素であり、これは当然可換な DG 代数です (実際には上で説明した -スペクトル列の最初のページです)。${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}),{\overline {d}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• 二次ベクトル場はコホモロジー の要素であり、これは当然リー代数である。さらに、 とともに次数付きリー・ライナーハルト代数を形成する。${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},{\mathcal {V}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {V}}),{\overline {d}})}$${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})}$
• 二次微分-形式は${\displaystyle p}$コホモロジー の要素であり、これは当然可換な DG 代数です。${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},\wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes \wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*}),{\overline {d}})}$

二次微積分は共変位相空間、すなわちラグランジュ場理論に関連したオイラー-ラグランジュ方程式の解空間とも関連している。^[15]

• 二次微積分とコホモロジー物理学
• ジェット束上の偏微分方程式
• 微分イデアル
• 可換代数上の微分積分

代数幾何学の考え方を一般化するもう一つの方法は、微分代数幾何学です。

• ディフィエティ研究所（2010年以降凍結）
• レヴィ・チヴィタ研究所（上記サイトの後継）
• 微分方程式の幾何学
• 微分幾何学と偏微分方程式