電気インピーダンス

電気工学において、インピーダンスとは、回路内の抵抗とリアクタンスの複合効果によって生じる交流電流に対する抵抗のことである。^[1]

定量的に言えば、2端子回路素子のインピーダンスは、その端子間の正弦波電圧の複素表現と、その端子を流れる電流の複素表現の比です。 ^[2]一般に、インピーダンスは正弦波電圧の周波数に依存します。

インピーダンスは、抵抗の概念を交流 (AC) 回路に拡張したもので、大きさだけを持つ抵抗とは異なり、 大きさと位相の両方を持ちます。

インピーダンスは、抵抗と同じ単位（SI単位系はオーム（Ω））を持つ複素数として表すことができます。その記号は通常Zで、大きさと位相を極形式| Z | ∠θで表すことができます。ただし、回路解析の目的では、 直交複素数表現の方が強力な場合がよくあります。

インピーダンスの概念は、正弦波の電圧と電流を単純な線形法則で関連付けることができるため、電気ネットワークのAC解析に役立ちます。複数のポートを持つネットワークでは、インピーダンスの2端子定義は不十分ですが、ポートの複素電圧とポートを流れる電流は、インピーダンス行列によって線形に関連付けられます。^[3]

インピーダンスの逆数はアドミタンスであり、そのSI単位はジーメンスで、以前はmhoと呼ばれていました。

電気インピーダンスを測定するために使用される機器は、インピーダンス・アナライザーと呼ばれます。

おそらく回路解析における複素数の使用は、1879年にヨハン・ヴィクトル・ヴィートリスバッハがマクスウェルブリッジを解析した時が最初であろう。ヴィートリスバッハは微分方程式の使用を避け、交流電流と電圧を虚数指数を持つ指数関数として表現した（§複素表現の妥当性を参照）。ヴィートリスバッハは、必要な電圧は電流に複素数（インピーダンス）を掛けることで得られることを発見したが、これをそれ自体の一般的なパラメータとは特定しなかった。^[4]

インピーダンスという用語は、1886年7月にオリバー・ヘヴィサイドによって造られました。^{[5] [6]ヘヴィサイドは、彼の}演算法則 における「抵抗演算子」（インピーダンス）が複素数であることを認識しました。1887年に彼は、オームの法則に相当する交流法則があることを示しました。^[7]

アーサー・ケネリーは1893年にインピーダンスに関する影響力のある論文を発表しました。ケネリーは虚数指数関数を使用するよりもかなり直接的な方法で複素数表現に到達しました。ケネリーは、ジョン・アンブローズ・フレミングが1889年に開発したインピーダンスのグラフィカル表現（抵抗、リアクタンス、インピーダンスを直角三角形の辺の長さとして表示）に従いました。これにより、インピーダンスをベクトルとして追加できます。ケネリーは、インピーダンスのこのグラフィカル表現が複素数のグラフィカル表現（アルガン図）に直接類似していることを認識しました。これにより、インピーダンス計算の問題は複素数表現を使用して代数的にアプローチできるようになりました。^{[8] [9]} 同年後半、ケネリーの研究はチャールズ・プロテウス・シュタインメッツによってすべてのAC回路に一般化されました。シュタインメッツはインピーダンスを複素数で表しただけでなく、電圧と電流も表しました。ケネリーとは異なり、シュタインメッツはオームの法則やキルヒホッフの法則などの直流法則の交流相当を表現することができました。^[10] シュタインメッツの研究は、技術者の間でこの技術を広める上で大きな影響力を持っていました。^[11]

AC 回路のインピーダンスには、DC 回路に見られる抵抗に加えて、磁場による導体の電圧誘導(インダクタンス) と導体間の電圧によって誘導される電荷​​の静電蓄積 (キャパシタンス) の影響が含まれます。これら 2 つの影響によって生じるインピーダンスは総称してリアクタンスと呼ばれ、複素インピーダンスの虚数部を形成し、抵抗は実数部を形成します。

2端子回路素子のインピーダンスは複素量として表される。極座標形式は大きさと位相の両方の特性を次のように表すことができる。 ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \ Z=|Z|e^{j\arg(Z)}}$

ここで、大きさは電圧差振幅と電流振幅の比を表し、引数（一般に記号 で示される）は電圧と電流の位相差を表します。は虚数単位であり、この文脈では電流の記号 との混同を避けるためにの代わりに が使用されます。^{[12] : 21}${\displaystyle |Z|}$${\displaystyle \arg(Z)}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$

デカルト座標形式では、インピーダンスは次のように定義される。

${\displaystyle \ Z=R+jX}$

ここで、インピーダンスの実数部は抵抗Rであり、虚数部はリアクタンス Xです。

インピーダンスを加算または減算する必要がある場合は、直交座標形式の方が便利ですが、量を乗算または除算する場合は、極座標形式を使用すると計算が簡単になります。 2 つのインピーダンスを並列に接続した場合の合計インピーダンスを求めるなどの回路計算では、計算中に形式を複数回変換する必要がある場合があります。 形式間の変換は、複素数の通常の変換規則に従います。

計算を簡略化するために、正弦波の電圧波と電流波は、一般的に、およびで表される時間の複素数値関数として表されます。^{[13] [14]}${\displaystyle V}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=|V|e^{j(\omega t+\phi _{V})},\\I&=|I|e^{j(\omega t+\phi _{I})}.\end{aligned}}}$

バイポーラ回路のインピーダンスは、次の量の比として定義されます。

${\displaystyle Z={\frac {V}{I}}={\frac {|V|}{|I|}}e^{j(\phi _{V}-\phi _{I})}.}$

したがって、 と表すと、 ${\displaystyle \theta =\phi _{V}-\phi _{I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|V|&=|I||Z|,\\\phi _{V}&=\phi _{I}+\theta .\end{aligned}}}$

大きさの方程式は、電圧と電流の振幅に適用されるよく知られたオームの法則であり、2 番目の方程式は位相関係を定義します。

複素指数を使用したこの表現は、次の点に注意することで正当化される（オイラーの公式による）：

${\displaystyle \ \cos(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}{\Big [}e^{j(\omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )}{\Big ]}}$

電圧または電流を表す実数値正弦関数は、2つの複素数値関数に分解できます。重ね合わせの原理により、右側の2つの複素項の挙動を分析することで、左側の正弦関数の挙動を分析できます。対称性を考えると、右側の1つの項の分析を実行するだけで済みます。結果はもう一方の項についても同じです。計算の最後に、次の点に注意することで、実数値正弦関数に戻ることができます。

${\displaystyle \ \cos(\omega t+\phi )=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} {\Big \{}e^{j(\omega t+\phi )}{\Big \}}}$

電気インピーダンスの意味は、オームの法則に代入することで理解できる。^{[15] [16]}インピーダンスを持つ2端子回路素子が上記のように正弦波電圧または電流で駆動されると仮定すると、 ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \ V=IZ=I|Z|e^{j\arg(Z)}}$

インピーダンスの大きさは抵抗と同じように機能し、与えられた電流に対してインピーダンス全体の電圧振幅の低下を与えます。位相係数は、電流が電圧より位相遅れていることを示します（つまり、時間領域では、電流信号は電圧信号に対して遅れてシフトします）。 ${\displaystyle |Z|}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \theta =\arg(Z)}$${\textstyle {\frac {\theta }{2\pi }}T}$

インピーダンスがオームの法則を AC 回路に拡張するのと同様に、電圧分割、電流分割、テブナンの定理、ノートンの定理など、DC 回路解析からのその他の結果も、抵抗をインピーダンスに置き換えることによって AC 回路に拡張できます。

位相器は、通常指数形式で表現される定数複素数で表され、時間の正弦関数の複素振幅（大きさと位相）を表します。位相器は、電気技術者が正弦波を含む計算（AC回路^{[12] ：53}など）を簡素化するために使用され、微分方程式の問題を代数問題に簡略化できることがよくあります。

回路要素のインピーダンスは、電圧と電流の相対的な振幅と位相によって決まる、要素にかかる位相電圧と要素を流れる位相電流の比として定義できます。これは、係数が打ち消されることを前提とした、上記のオームの法則の定義と同じです。 ${\displaystyle e^{j\omega t}}$

理想的な抵抗器のインピーダンスは純粋に実数であり、抵抗インピーダンスと呼ばれます。

${\displaystyle \ Z_{R}=R}$

この場合、電圧と電流の波形は比例し、同位相になります。

理想的なインダクタとコンデンサは、純粋に虚数の リアクタンスインピーダンスを持ちます。

周波数が増加するとインダクタのインピーダンスが増加します。

${\displaystyle Z_{L}=j\omega L}$^[あ]

周波数が高くなるとコンデンサのインピーダンスは低下します。

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}}$

どちらの場合も、印加された正弦波電圧に対して、結果として生じる電流も正弦波ですが、直交しており、電圧と位相が 90 度ずれています。ただし、位相の符号は逆です。インダクタでは電流は遅れ、コンデンサでは電流は進みます。

虚数単位とその逆数については次の恒等式に注意してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}j&\equiv \cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}+j\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}\equiv e^{j{\frac {\pi }{2}}}\\{\frac {1}{j}}\equiv -j&\equiv \cos {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}+j\sin {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\equiv e^{j\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\end{aligned}}}$

したがって、インダクタとコンデンサのインピーダンス方程式は極形式で書き直すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{L}&=\omega Le^{j{\frac {\pi }{2}}}\\Z_{C}&={\frac {1}{\omega C}}e^{j\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\end{aligned}}}$

大きさは、インピーダンスを流れる特定の電流振幅に対する電圧振幅の変化を示し、指数係数は位相関係を示します。

以下は、抵抗器、コンデンサ、インダクタの3 つの基本回路要素のそれぞれに対するインピーダンスの導出です。この考え方は、任意の信号の電圧と電流の関係を定義するために拡張できますが、これらの導出は正弦波信号を前提としています。実際、これは任意の周期信号に適用されます。なぜなら、これらの信号は、フーリエ解析によって正弦波の合計として近似できるからです。

抵抗器の場合、次の関係がある。

${\displaystyle v_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}=i_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}R}$

それはオームの法則です。

電圧信号は

${\displaystyle v_{\text{R}}(t)=V_{p}\sin(\omega t)}$

すると

${\displaystyle {\frac {v_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}}{i_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}}}={\frac {V_{p}\sin(\omega t)}{I_{p}\sin {\mathord {\left(\omega t\right)}}}}=R}$

これは、抵抗器の両端の交流電流(AC) 振幅に対する AC 電圧振幅の比が であり、AC 電圧が抵抗器の両端の電流より 0 度進んでいることを示しています。 ${\displaystyle R}$

この結果は一般的に次のように表現されます。

${\displaystyle Z_{\text{resistor}}=R}$

コンデンサの場合、次の関係があります。

${\displaystyle i_{\text{C}}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}}$

電圧信号は

${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=V_{p}e^{j\omega t}}$

すると

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}=j\omega V_{p}e^{j\omega t}}$

そして、以前と同様に、

${\displaystyle Z_{\text{capacitor}}={\frac {v_{\text{C}}{\mathord {\left(t\right)}}}{i_{\text{C}}{\mathord {\left(t\right)}}}}={\frac {1}{j\omega C}}.}$

逆に、回路を流れる電流が正弦波であると仮定すると、その複素表現は

${\displaystyle i_{\text{C}}(t)=I_{p}e^{j\omega t}}$

次に微分方程式を積分する

${\displaystyle i_{\text{C}}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}}$

つながる

${\displaystyle v_{C}(t)={\frac {1}{j\omega C}}I_{p}e^{j\omega t}+{\text{Const.}}={\frac {1}{j\omega C}}i_{C}(t)+{\text{Const.}}}$

Const項はAC正弦波電位に重畳された固定電位バイアスを表し、AC解析では役割を果たしません。この目的のために、この項は0と仮定することができ、したがってインピーダンスは

${\displaystyle Z_{\text{capacitor}}={\frac {1}{j\omega C}}.}$

インダクタについては、次の関係式が成り立ちます（ファラデーの法則より）。

${\displaystyle v_{\text{L}}(t)=L{\frac {\mathrm {d} i_{\text{L}}(t)}{\mathrm {d} t}}}$

今回は、現在の信号を次のように考えます。

${\displaystyle i_{\text{L}}(t)=I_{p}\sin(\omega t)}$

結果は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} i_{\text{L}}(t)}{\mathrm {d} t}}=\omega I_{p}\cos {\mathord {\left(\omega t\right)}}}$

この結果は、通常、極座標形式で次のように表されます。

${\displaystyle Z_{\text{inductor}}=\omega Le^{j{\frac {\pi }{2}}}}$

あるいはオイラーの公式を用いると、

${\displaystyle Z_{\text{inductor}}=j\omega L}$

コンデンサの場合と同様に、この式は電圧と電流の複素表現から直接導き出すことも、インダクタの 2 つの極の間に正弦波電圧があると仮定して導き出すこともできます。後者の場合、上記の微分方程式を積分すると、電流の定数項が得られ、これはインダクタを流れる固定 DC バイアスを表します。周波数領域インピーダンスを使用した AC 解析では一度に 1 つの周波数が考慮され、このコンテキストでは DC は 0 ヘルツの別の周波数を表すため、この定数項は 0 に設定されます。

jωで定義されるインピーダンスは、定常 AC 信号で駆動される回路にのみ厳密に適用できます。インピーダンスの概念は、jωの代わりに複素周波数を使用することで、任意の信号で通電される回路に拡張できます。複素周波数は記号sで表され、一般に複素数です。信号は、信号の時間領域表現のラプラス変換を行うことで複素周波数で表されます。このより一般的な表記法による基本回路要素のインピーダンスは次のとおりです。

DC回路の場合、これはs = 0と簡略化されます。定常正弦波AC信号の場合、s = jωとなります。

電気部品のインピーダンスは、その部品にかかる電圧とそれを流れる電流の ラプラス変換の比として定義されます。${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}\{v(t)\}}{{\mathcal {L}}\{i(t)\}}}={\frac {V(s)}{I(s)}}\qquad {\text{(general impedance)}}}$

ここで、 は複素ラプラスパラメータです。例えば、コンデンサの IV 法則によれば、となり、 となります。 ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}={\mathcal {L}}\{C\,\mathrm {d} v(t)/\mathrm {d} t\}=sC{\mathcal {L}}\{v(t)\}}$${\displaystyle Z_{C}(s)=1/sC}$

位相器領域（定常 AC、つまりすべての信号が数学的に単純な複素指数 として表され、共通の周波数で振動する）では、インピーダンスは電圧と電流の比として簡単に計算でき、共通の時間依存係数は打ち消されます。 ${\displaystyle v(t)={\hat {V}}\,e^{j\omega t}}$${\displaystyle i(t)={\hat {I}}\,e^{j\omega t}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {v(t)}{i(t)}}={\frac {{\hat {V}}\,e^{j\omega t}}{{\hat {I}}\,e^{j\omega t}}}={\frac {\hat {V}}{\hat {I}}}\qquad {\text{(phasor-regime impedance)}}}$

コンデンサーの場合は、 となり、したがって となります。位相領域は、ラプラスパラメータの次元の1つを欠いていますが、周波数領域と呼ばれることもあります。^[17]定常ACの場合、複素インピーダンスの極形式は、電圧と電流の振幅と位相を関連付けます。特に、 ${\displaystyle i(t)=C\,\mathrm {d} v(t)/\mathrm {d} t=j\omega C\,v(t)}$${\displaystyle Z_{C}(\omega )=1/j\omega C}$

• 複素インピーダンスの大きさは、電圧振幅と電流振幅の比です。
• 複素インピーダンスの位相は、電流が電圧より遅れる位相シフトです。

これら 2 つの関係は、実際の回路で実際に測定される信号の部分である 複素指数の実部 (位相器を参照) を取得した後でも保持されます。

抵抗とリアクタンスは、次の関係を通じてインピーダンスの大きさと位相を決定します。

${\displaystyle {\begin{aligned}|Z|&={\sqrt {ZZ^{*}}}={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}\\\theta &=\arctan {\left({\frac {X}{R}}\right)}\end{aligned}}}$

多くのアプリケーションでは、電圧と電流の相対位相は重要ではないため、インピーダンスの大きさのみが重要になります。

抵抗はインピーダンスの実数部です。純粋な抵抗インピーダンスを持つデバイスでは、電圧と電流の間に位相シフトは見られません。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \ R=|Z|\cos {\theta }\quad }$

リアクタンスはインピーダンスの虚数部です。有限のリアクタンスを持つコンポーネントは、その両端の電圧とそこを流れる電流の間に位相シフトを引き起こします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \ X=|Z|\sin {\theta }\quad }$

純粋にリアクタンスのあるコンポーネントは、コンポーネントにかかる正弦波電圧がコンポーネントを流れる正弦波電流と直交している点が特徴です。これは、コンポーネントが交互に回路からエネルギーを吸収し、次に回路にエネルギーを返すことを意味します。純粋なリアクタンスは電力を消費しません。

コンデンサは、信号周波数に反比例する純粋なリアクタンスインピーダンスを持ちます。コンデンサは、誘電体とも呼ばれる絶縁体によって分離された2 つの導体で構成されています。

${\displaystyle X_{\mathsf {C}}={\frac {-1\ ~}{\ \omega \ C\ }}={\frac {-1\ ~}{\ 2\pi \ f\ C\ }}~.}$

マイナス記号はインピーダンスの虚数部が負であることを示します。

低周波数では、コンデンサは開回路に近づくため、電流は流れません。

コンデンサに直流電圧を印加すると、片側に電荷が蓄積されます。蓄積された電荷による電界が電流に対する抵抗源となります。電荷に関連する電位が印加電圧と正確に釣り合うと、電流はゼロになります。

AC 電源で駆動すると、コンデンサは電位差の符号が変わり電荷が消散するまで限られた電荷のみを蓄積します。周波数が高くなるほど、蓄積される電荷​​は少なくなり、電流に対する抵抗は小さくなります。

誘導性リアクタンスは信号周波数とインダクタンスに比例します。 ${\displaystyle X_{L}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle X_{L}=\omega L=2\pi fL\quad }$

インダクタはコイル状の導体で構成されています。ファラデーの電磁誘導の法則により、電流ループを通る 磁束密度の変化率によって逆起電力(電圧と電流の反対方向) が生じます。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}\quad }$

ループ付きコイルで構成されるインダクタの場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{d\Phi _{B} \over dt}\quad }$

逆起電力は、電流の流れに逆らう原因です。一定の直流電流は変化率がゼロで、インダクタを短絡と見なします(インダクタは通常、抵抗率の低い材料で作られています)。交流電流は、時間平均の変化率が周波数に比例するため、周波数とともに誘導リアクタンスが増加します。

総リアクタンスは次のように表される。

${\displaystyle {X=X_{L}+X_{C}}}$（負）${\displaystyle X_{C}}$

全体のインピーダンスは

${\displaystyle \ Z=R+jX}$

多くの単純なコンポーネント ネットワークの合計インピーダンスは、直列および並列のインピーダンスの組み合わせの規則を使用して計算できます。この規則は、数値が一般に複素数である点を除いて、抵抗の組み合わせの規則と同じです。ただし、一般的なケースでは、直列と並列に加えて、等価インピーダンス変換が必要です。

直列に接続されたコンポーネントの場合、各回路要素を流れる電流は同じです。合計インピーダンスはコンポーネントのインピーダンスの合計です。

${\displaystyle \ Z_{\text{eq}}=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}\quad }$

あるいは、現実と想像の観点から明示的に言うと:

${\displaystyle \ Z_{\text{eq}}=R+jX=(R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n})+j(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})\quad }$

並列に接続されたコンポーネントの場合、各回路要素間の電圧は同じです。任意の 2 つの要素を流れる電流の比は、それらのインピーダンスの逆比になります。

したがって、逆総インピーダンスは、コンポーネントインピーダンスの逆数の合計です。

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{eq}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{Z_{n}}}}$

または、n = 2 の場合:

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{eq}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}={\frac {Z_{1}+Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}}}}$

${\displaystyle \ Z_{\text{eq}}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}}$

等価インピーダンスは等価直列抵抗とリアクタンスで計算できる。^[18]${\displaystyle Z_{\text{eq}}}$${\displaystyle R_{\text{eq}}}$${\displaystyle X_{\text{eq}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\text{eq}}&=R_{\text{eq}}+jX_{\text{eq}}\\R_{\text{eq}}&={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(X_{1}+X_{2})+(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(R_{1}+R_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}\\X_{\text{eq}}&={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(X_{1}+X_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}\end{aligned}}}$

デバイスおよび伝送ラインのインピーダンスの測定は、無線技術およびその他の分野における実際的な問題です。インピーダンスの測定は、1 つの周波数で実行することも、さまざまな周波数にわたるデバイス インピーダンスの変化に注目することもできます。インピーダンスは、直接オームで測定または表示することも、インピーダンスに関連する他の値を表示することもできます。たとえば、無線アンテナでは、定在波比または反射係数の方がインピーダンスのみよりも有用な場合があります。インピーダンスの測定には、電圧と電流の大きさ、およびそれらの位相差の測定が必要です。インピーダンスは、多くの場合、直流ホイートストン ブリッジに似た「ブリッジ」方式で測定されます。校正された基準インピーダンスを調整して、テスト対象のデバイスのインピーダンスの影響を相殺します。パワー エレクトロニクス デバイスのインピーダンス測定では、測定と動作中のデバイスへの電力供給を同時に行う必要がある場合があります。

デバイスのインピーダンスは、電圧と電流の複素除算によって計算できます。デバイスのインピーダンスは、抵抗器と直列に接続されたデバイスに正弦波電圧を印加し、抵抗器とデバイス間の電圧を測定することで計算できます。印加信号の周波数を掃引してこの測定を実行すると、インピーダンスの位相と大きさが得られます。^[19]

インパルス応答は高速フーリエ変換（FFT）と組み合わせて使用​​​​することで、さまざまな電気機器の電気インピーダンスを迅速に測定することができます。^[19]

LCRメーター(インダクタンス (L)、静電容量 (C)、抵抗 (R)) は、コンポーネントのインダクタンス、抵抗、静電容量を測定するためによく使用されるデバイスです。これらの値から、任意の周波数でのインピーダンスを計算できます。

LCタンク回路を考えてみましょう。回路の複素インピーダンスは

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {j\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}.}$

の値が最小値（この場合は実際には0に等しい）となること はすぐに分かる。${\textstyle {1 \over |Z|}}$

${\displaystyle \omega ^{2}LC=1.}$

したがって、基本共振角周波数は

${\displaystyle \omega ={1 \over {\sqrt {LC}}}.}$

一般に、インピーダンスもアドミタンスも時間とともに変化することはできません。これは、それらが−∞ < t < +∞の複素指数に対して定義されているためです。複素指数電圧電流比が時間または振幅とともに変化する場合は、回路要素を周波数領域を使用して記述することはできません。ただし、多くのコンポーネントとシステム (ラジオ チューナーで使用されるバリキャップなど) は、小さな信号と小さな観測ウィンドウでは線形時間不変 (LTI)であるように見える非線形または時間変化する電圧電流比を示す可能性があるため、大まかに、時間変化するインピーダンスがあるかのように記述できます。この説明は近似値です。信号振幅が大きい場合や観測ウィンドウが広い場合は、電圧と電流の関係は LTI ではなく、インピーダンスで記述できません。

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• クライン、ロナルド R.、シュタインメッツ：エンジニアと社会主義者、プランケットレイクプレス、2019年（ジョンズホプキンス大学出版局、1992年ISBN 9780801842986の電子書籍再版）。 

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