ハイパーキューブ

以下の透視投影図において、立方体は3次元立方体であり、テセラクトは4次元立方体である。

幾何学において、超立方体は正方形( n = 2 ) および立方体( n = 3 )のn次元版です。n = 4の特殊なケースはテセラクトとして知られています。これは閉じたコンパクトな凸図形であり、その 1-骨格は、空間の各次元に沿って配置され、互いに垂直で同じ長さの反対方向の平行線分群から構成されます。n次元における単位超立方体の最長対角線は、${\displaystyle {\sqrt {n}}}$。

n次元ハイパーキューブは、一般的にはnキューブ、またはn次元キューブと呼ばれることが多い。^{[ 1 ] [ 2 ]}測度多面体（元々は Elte、1912 年）^{[ 3 ]}という用語も使用されており、特にHSM Coxeterの研究では、ハイパーキューブを γ n多面体とも呼んでいる。^{[ 4 ]}

ハイパーキューブは、ハイパーレクタングル（n-直交多面体とも呼ばれる）の特殊な場合である。

単位超立方体とは、一辺の長さが 1単位である超立方体のことです。多くの場合、頂点 (または角) がR ⁿ内の2 ⁿ個の点で、各座標が 0 または 1 である超立方体を単位超立方体と呼びます。

すべての超立方体は、その境界内に含まれるより低次元の超立方体を面として受け入れる。${\displaystyle n}$認める${\displaystyle 2n}$ファセット、または次元の面${\displaystyle n-1}$: a (${\displaystyle 1}$次元の線分は${\displaystyle 2}$エンドポイント; a (${\displaystyle 2}$（次元）正方形は${\displaystyle 4}$側面または端。${\displaystyle 3}$次元立方体は${\displaystyle 6}$正方形の面。${\displaystyle 4}$次元テセラクトは${\displaystyle 8}$3次元立方体をその面とする。次元の超立方体の頂点の数${\displaystyle n}$は$2n$（いつものように、${\displaystyle 3}$次元立方体は$2^3=8$例えば頂点など）。^{[ 5 ]}

数${\displaystyle m}$次元ハイパーキューブ（単に${\displaystyle m}$（以降は立方体）境界内に含まれる${\displaystyle n}$-キューブは

${\displaystyle E_{m,n}=2^{nm}{n \choose m}}$[ ^{6 ]} ここ^で   ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(nm)!}}}$そして${\displaystyle n!}$階乗を表す${\displaystyle n}$。

例えば、境界${\displaystyle 4}$-キューブ（${\displaystyle n=4}$）を含む${\displaystyle 8}$立方体（${\displaystyle 3}$-キューブ）、${\displaystyle 24}$正方形（${\displaystyle 2}$-キューブ）、${\displaystyle 32}$線分（${\displaystyle 1}$-キューブ）と${\displaystyle 16}$頂点（${\displaystyle 0}$-立方体)。この恒等式は、単純な組み合わせ論的議論によって証明できます。$2n$ハイパーキューブの頂点には、${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$コレクションを選択する方法${\displaystyle m}$その頂点に接続する辺。これらのコレクションはそれぞれ、${\displaystyle m}$考慮対象の頂点に隣接する次元面。これをハイパーキューブのすべての頂点に対して行うと、${\displaystyle m}$超立方体の次元面が数えられます$2m$頂点の数が多いので、分割する必要があります${\displaystyle 2^{n}{\tbinom {n}{m}}}$この数によって。

ハイパーキューブの面の数を使用して計算できます${\displaystyle (n-1)}$その境界の次元体積：その体積は${\displaystyle 2n}$の体積の倍${\displaystyle (n-1)}$次元超立方体、すなわち、$2ns^{n-1}}$どこ${\displaystyle s}$は、超立方体の辺の長さです。

これらの数値は、線形漸化式によっても生成できます。

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$、と  ${\displaystyle E_{0,0}=1}$、 そして${\displaystyle E_{m,n}=0}$いつ${\displaystyle n<m}$、${\displaystyle n<0}$、 または${\displaystyle m<0}$。

例えば、正方形を4つの頂点で拡張すると、頂点ごとに1つの線分（辺）が追加されます。反対側の正方形を追加して立方体を作ると、${\displaystyle E_{1,3}=12}$線分。

n次元立方体の拡張f ベクトルは、展開することによっても計算できます。${\displaystyle (2x+1)^{n}}$（簡潔に言うと、（2,1）ⁿ ）と、結果として得られる多項式の係数を読み取ります。たとえば、テセラクトの要素は（2,1）⁴ =（4,4,1）² =（16,32,24,8,1）です。

ハイパーキューブは、任意の次元で表現できる数少ない正多面体のファミリーの1つです。 ^{[ 8 ]}

ハイパーキューブ族は、コクセターによってγ _nと名付けられた3つの正多面体族の1つです。他の2つは、ハイパーキューブの双対族であるクロス多面体（β _nと名付けられる）と単体（ α _nと名付けられる）です。4番目の族であるハイパーキューブの無限テセレーションは、 δ _nと名付けられます。

半正則で均一な多面体の関連ファミリーとして、デミハイパーキューブがあります。これは、ハイパーキューブから交互に頂点を削除し、その隙間に単体面を追加したもので、 hγ _nと表記されます。

n個の立方体は、その双対（交差多面体）と組み合わせることで複合多面体を形成することができる。

• 2次元では、八芒星図形{8/2}が得られます。
• 3次元では、立方体と正八面体の複合体が得られます。
• 4次元では、テセラクトと16胞体の複合体が得られる。

n次元超立方体の辺のグラフは、( n -1)次元単体の面格子のハッセ図と同型です。これは、 n次元超立方体を、( n -1) 次元単体自体とヌル多面体に対応する 2 つの対向する頂点が垂直になるように配置することで確認できます。すると、一番上の頂点に接続された各頂点は、( n - 1) 次元単体の面 ( n -2 面) のいずれかに一意にマッピングされ、それらの頂点に接続された各頂点は、単体のn- 3 面のいずれかにマッピングされ、以下同様です。また、一番下の頂点に接続された頂点は、単体の頂点にマッピングされます。

この関係は、( n -1)単体の面格子を効率的に生成するために使用できる。なぜなら、一般的な多面体に適用できる面格子列挙アルゴリズムは計算コストが高いからである。

複素ヒルベルト空間では、正則複素多面体は一般化ハイパーキューブと呼ばれるγ ^p _n = _p {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂、または...と定義できます。 p = 2 の場合、実数解が存在します。つまり、 γ ² _n = γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,...,3} です。p > 2 の場合、実数解は存在します。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$面は一般化された ( n − 1) 立方体であり、頂点図形は正単体である。

これらの直交投影図に見られる正多角形の周長は、ペトリー多角形と呼ばれます。一般化された正方形（n = 2）は、赤と青が交互に色分けされたp辺で縁取られて表示され、より高いnの立方体は、黒で縁取られたp辺で描かれています。

p一般化n立方体におけるm面要素の数は次のとおりです。${\displaystyle p^{nm}{n \choose m}}$これはp ⁿ個の頂点とpn個の面を持つ。^{[ 9 ]}

任意の正の整数を別の正の整数で累乗すると、3番目の整数が得られます。この3番目の整数は、指数に対応する次元数を持つn次元立方体に対応する特定の種類の図形数です。たとえば、指数2は平方数、つまり「完全平方数」となり、底辺の長さに対応する辺の長さを持つ正方形の形に配置できます。同様に、指数3は完全立方数となり、底辺の長さを持つ立方体の形に配置できる整数です。そのため、数を2または3で累乗する行為は、それぞれ「平方化」および「立方化」と呼ばれるのが一般的です。ただし、より高次の累乗に対しては、高次の超立方体の名称は一般的に使用されていないようです。

• コンピュータアーキテクチャのハイパーキューブ相互接続ネットワーク
• 超八面体群、超立方体の対称群
• 超球体
• シンプレックス
• 平行多面体
• サルバドール・ダリの絵画「磔刑（超立方体の体）」は、展開された4つの立方体を特徴としている。

• Bowen, JP (1982年4月). "ハイパーキューブ" . Practical Computing . 5 (4): 97–99 . 2008年6月30日のオリジナルからアーカイブ済み。2008年6月30日取得。
• Coxeter, HSM ( 1973). 「§7.2. 図7-2cを参照」。『正多面体』（第3 版）。ドーバー出版。122-123頁。ISBN  0-486-61480-8。p.  296、表 I (iii): 正多面体、n次元 ( n  ≥  5)の 3 つの正多面体
• Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974).スイッチング理論と論理設計入門：第2版. ニューヨーク：John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9。第7.1章「ブール関数の立方体表現」を参照してください。そこでは、「ハイパーキューブ」の概念が導入され、距離1コード（グレイコード）をハイパーキューブの頂点として示す手段として用いられ、その後、そのようにラベル付けされた頂点を持つハイパーキューブが2次元に圧縮されて、ヴェイチ図またはカルノー図が形成されます。

• ワイススタイン、エリック・W. 「ハイパーキューブ」 . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. 「ハイパーキューブグラフ」 . MathWorld .
• エンリケ・ゼレニーによるハイパーキューブの回転、 Wolfram Demonstrations Project。
• ルディ・ラッカーとファリデ・ドルミシアンのハイパーキューブのダウンロード
• A001787 n次元超立方体の辺の数。    （OEIS）