静水圧平衡

ニュートンの運動法則によれば、静止している、あるいは一定速度で運動している流体には、正味の力が全く作用しない。これは、ある方向の力の総和が、反対方向の力の総和と等しくなければならないことを意味する。この力の釣り合いを静水圧平衡と呼ぶ。

流体は多数の直方体体積要素に分割することができ、単一の要素を考慮することで、流体の挙動を導き出すことができる。

3つの力があります。直方体の上部にかかる下向きの力は、その上にある流体の圧力Pによるもので、圧力の定義から、 $${\displaystyle F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}A}$$同様に、下から上向きに押す流体の圧力による 体積要素 への力は$${\displaystyle F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}A}$$

最後に、体積要素の重さによって下向きの力が働く。密度をρ、体積をV、標準重力をgとすると、次のようになる。 $${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gV}$$ この直方体の体積は、上面または底面の面積に高さを掛けたものに等しい。これは 立方体の体積を求める公式である。 $${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gAh}$$

これらの力を釣り合わせると、流体にかかる合計力は $${\displaystyle \sum F=F_{\text{bottom}}+F_{\text{top}}+F_{\text{weight}}=P_{\text{bottom}}A-P_{\text{top}}A-\rho gAh}$$ 流体の速度が一定の場合、この合計はゼロになります。Aで割ると、 $${\displaystyle 0=P_{\text{bottom}}-P_{\text{top}}-\rho gh}$$ または、 $${\displaystyle P_{\text{top}}-P_{\text{bottom}}=-\rho gh}$$P _top − P _{bottom は}圧力の変化を表し、hは体積要素の高さ、つまり地面からの距離の変化を表します。これらの変化が無限小であると仮定すると、この方程式は微分形式で表すことができます。 $${\displaystyle dP=-\rho g\,dh}$$ 密度は圧力によって変化し、重力は高さによって変化するので、方程式は次のようになります。 $${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

最後に、この最後の式は、平衡状態における 3次元ナビエ・ストークス方程式を解くことによって導出できることに注意する。$${\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0}$$ すると、唯一の非自明な方程式は${\displaystyle z}$式は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}$$ したがって、静水圧平衡は、ナビエ・ストークス方程式の特に単純な平衡解とみなすことができる。

完全流体のエネルギー・運動量テンソルを代入することで$${\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho c^{2}+P\right)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }}$$アインシュタイン場の方程式 に$${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)}$$ そして保存条件を用いる $${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$$等方座標系において、静的で球対称な相対論的星の構造に関する トルマン・オッペンハイマー・ボルコフ方程式 を導出することができる。$${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$$ 実際には、Ρとρはf ( Ρ , ρ )  =  0の形の状態方程式で関係付けられ、 fは星の構成に固有の値である。M ( r )は質量密度ρ ( r )で重み付けされた球の葉層であり、最大の球の半径はrである。 $${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'\,r'^{2}\rho (r').}$$ 非相対論的極限を取る標準的な手順に従い、c → ∞とすると、係数は $${\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1}$$ したがって、非相対論的極限においては、トルマン・オッペンハイマー・ボルコフ方程式はニュートンの静水圧平衡に帰着する。 $${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh}$$（ここでは、 h  = r という些細な表記変更を行い、ρ をPで表すためにf ( Ρ , ρ ) = 0 を使用しました。）^{[ 4 ]}回転する軸対称星についても同様の式を計算でき、そのゲージ不変の形式は次のようになります。    $${\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0}$$ TOV平衡方程式とは異なり、これらは2つの方程式です（たとえば、恒星を扱うときに通常どおり球面座標を基底座標として選択する場合）。${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$インデックスiは座標rと${\displaystyle \theta }$)

静水圧平衡は、静水力学および流体の平衡原理に関するものです。静水圧天秤は、水中で物質の重量を測定するための特殊な天秤です。静水圧天秤を用いることで、物質の比重を求めることができます。この平衡は、理想流体が定常水平層流状態にある場合、および流体が静止状態にあるか、または一定速度で垂直方向に運動している場合に厳密に適用されます。また、流速が十分に低く、加速度が無視できる場合にも、十分な近似値として使用できます。

アイザック・ニュートンの時代から、流体が宇宙空間で回転する際に達成される平衡状態に関する研究が数多く行われてきた。これは恒星だけでなく、惑星のような天体にも応用できる。これらの天体は過去には流体であった可能性があり、また、非常に高い応力が加わると固体物質が流体のように変形する可能性がある。

恒星のどの層においても、外向きの圧力勾配と、その上にある物質の重さによる内向きの圧力との間に静水圧平衡が成立している。惑星についても、静水圧平衡を仮定して研究することができる。静水圧平衡状態にある回転する恒星や惑星は、通常、扁平回転楕円体、すなわち2つの主軸の長さが等しく、かつ3つ目の主軸よりも長い楕円体である。

この現象の一例として、自転周期が12.5時間の恒星ベガが挙げられる。そのため、ベガは赤道付近では極から極までの直径よりも約20%大きくなっている。

ニュートンは1687年の著書『自然哲学の数学的原理』の中で、重力の影響下にある均一密度の回転流体は球状になり、重力（遠心力の影響を含む）は赤道では極よりも弱く、その弱さは（少なくとも漸近的には）赤道における遠心力の4分の5に相当すると正しく述べている。^{[ 5 ]} 1742年、コリン・マクローリンは流率に関する論文を発表し、その中で球状が厳密解であることを示した。赤道半径をで表すと${\displaystyle r_{e},}$極半径${\displaystyle r_{p},}$そして、​${\displaystyle \epsilon ,}$と

${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {1-r_{p}^{2}/r_{e}^{2}}},}$

彼は極地での重力が^{[ 6 ]であることを発見した。}

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}&=4\pi {\frac {r_{p}}{r_{e}}}{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}}}G\rho \\&=3{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle G}$は重力定数です。${\displaystyle \rho }$は（均一な）密度であり、${\displaystyle M}$は総質量です。これと${\displaystyle g_{0},}$流体が回転していない場合の重力は漸近的に次のようになる。

${\displaystyle g_{p}/g_{0}\sim 1+{\frac {1}{15}}\epsilon ^{2}\sim 1+{\frac {2}{15}}f}$

として${\displaystyle \epsilon }$ゼロに近づく、${\displaystyle f}$平坦化とは：

${\displaystyle f={\frac {r_{e}-r_{p}}{r_{e}}}.}$

赤道上の重力（遠心力を除く）は

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{e}&={\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{r_{e}r_{p}}}-{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{2}r_{p}}}\right)GM\\&={\frac {3}{2}}{\frac {r_{e}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})-\epsilon r_{p}}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

漸近的に、次のようになる。

${\displaystyle g_{e}/g_{0}\sim 1-{\frac {1}{30}}\epsilon ^{2}\sim 1-{\frac {1}{15}}f}$

マクローリンは（密度が均一な場合において）回転軸に向かう重力の成分は軸からの距離のみに依存し、その距離に比例し、赤道面に向かう成分はその面からの距離のみに依存し、その距離に比例することを示した。ニュートンはすでに、赤道上で感じる重力（遠心力による落雷を含む）は${\displaystyle {\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}}$極から、あるいは赤道から中心に向かって水路の底で同じ圧力を得るためには、赤道での遠心力は

${\displaystyle g_{e}-{\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}\sim {\frac {2}{5}}\epsilon ^{2}g_{e}\sim {\frac {4}{5}}fg_{e}.}$

緯度を子午線と回転軸の接線との間の角度と定義すると、緯度で感じる全重力は${\displaystyle \phi }$（遠心力の影響を含む）

${\displaystyle g(\phi )={\frac {g_{p}(1-f)}{\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi }}}.}$

この球状解は、ある一定の（臨界）角運動量（正規化）まで安定である。${\displaystyle M{\sqrt {G\rho r_{e}}}}$）しかし、1834年にカール・ヤコビは、離心率が0.81267（または）に達すると不安定になることを示した。${\displaystyle f}$0.3302 に達する。臨界値を超えると、解はヤコビ楕円体、または不等辺楕円体(3 つの軸がすべて異なるもの) になる。1885年にアンリ・ポアンカレは、さらに高い角運動量では、もはや楕円体ではなく卵形または梨形になることを発見した。対称性は 8 回対称の D _2h点群から4 回対称の C _2vに低下し、その軸は回転軸に垂直になる。^{[ 7 ]}それ以上の方程式を満たす他の形状もあるが、少なくとも分岐点の近くでは安定していない。^{[ 7 ] [ 8 ]}ポアンカレは、より高い角運動量で何が起こるか確信が持てなかったが、最終的には塊が 2 つに分裂すると結論付けた。

均一密度の仮定は、溶融惑星や岩石惑星には多かれ少なかれ当てはまるかもしれないが、恒星や地球のように密度の高い金属核を持つ惑星には当てはまらない。1737年、アレクシス・クレローは、深さによって密度が変化するケースを研究した。^{[ 9 ]}クレローの定理は、重力（遠心力を含む）の変化は緯度の正弦の2乗に比例し、その比例関係は扁平率（${\displaystyle f}$）と、赤道における遠心力と重力の比。（均一密度の場合の上記の正確な関係と比較してください。）クレローの定理は、後にピエール＝シモン・ラプラスによって形状と重力の変化の間に発見された関係の扁平回転楕円体の特殊な場合です。^{[ 10 ]}

恒星の近くに巨大な伴星があったり、衛星が潮汐固定されている場合、潮汐力も作用し、自転だけでは球状になるはずの恒星や衛星を不等辺三角形に歪ませます。ベータ・リラエやミマスなどがその例です。

静水圧平衡は銀河団内部の媒体においても重要であり、銀河団の中心部に存在できる流体の量を制限する。

静水圧平衡の原理を用いて、銀河団におけるダークマターの速度分散を推定することもできます。バリオン物質（あるいは、むしろその衝突）のみがX線放射を放出します。単位体積あたりの絶対X線光度は次のようになります。${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}}$どこ${\displaystyle T_{B}}$そして${\displaystyle \rho _{B}}$はバリオン物質の温度と密度であり、${\displaystyle \Lambda (T)}$は温度と基本定数の関数である。バリオン密度は上記の式を満たす。${\displaystyle dP=-\rho g\,dr}$:$${\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$ この積分はクラスターの総質量の尺度であり、${\displaystyle r}$クラスターの中心までの適切な距離である。理想気体の法則を用いる。${\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}}$（${\displaystyle k}$はボルツマン定数であり、${\displaystyle m_{B}}$（はバリオンガス粒子の特性質量）を整理すると、次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$ を掛ける${\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)}$そして、${\displaystyle r}$収量 $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$ 冷たい暗黒物質粒子が等方的な速度分布を持つと仮定すると、同じ導出がこれらの粒子にも適用され、その密度も${\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}}$非線形微分方程式を満たす $${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$ 完璧なX線データと距離データがあれば、銀河団内の各点におけるバリオン密度、ひいてはダークマター密度を計算できる。そして速度分散を計算できる。${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$暗黒物質の $${\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.}$$ 中心密度比${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)}$赤方偏移に依存する${\displaystyle z}$クラスターのものであり、次式で与えられる。 $${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}}$$ どこ${\displaystyle \theta }$はクラスターの角度幅であり、${\displaystyle s}$クラスターまでの適切な距離。比率の値は、さまざまな調査で0.11から0.14の範囲です。^{[ 11 ]}

静水圧平衡の概念は、天体が惑星、準惑星、または太陽系の小天体であるかを判断する上でも重要になってきています。2006年に国際天文学連合が採択した惑星の定義によれば、惑星と準惑星の決定的な特徴の1つは、自身の剛性を克服して静水圧平衡をとるのに十分な重力を持つ天体であることです。このような天体は、多くの場合、世界（プラネモ）の分化した内部と地質を持っていますが、原始惑星4ベスタのようなほぼ静水圧の天体またはかつて静水圧であった天体も分化している場合があり、一部の静水圧天体（特にカリスト）は形成以来完全に分化していません。多くの場合、平衡形状は地球の場合のように扁平回転楕円体です。しかし、同期軌道にある衛星の場合、ほぼ一方向の潮汐力によって不等辺楕円体が形成されます。また、準惑星とされるハウメアは、高速回転のため不等辺三角形であると考えられているが、現在は平衡状態にあるとは限らない。

氷の天体は、岩石の天体よりも静水圧平衡に達するのに必要な質量が少ないと以前は考えられていました。平衡形状をしていると思われる最小の天体は、氷の衛星ミマスで直径は396  kmですが、明らかに非平衡形状であることが知られている最大の氷の天体は、氷の衛星プロテウスで直径は420  km、明らかに非平衡形状の最大の岩石天体は、小惑星パラスとベスタで直径は約520  kmです。しかし、ミマスは現在の自転では実際には静水圧平衡にありません。静水圧平衡にあることが確認されている最小の天体は、氷でできた準惑星ケレス で直径は945 km、静水圧平衡から著しく逸脱していることが知られている最大の天体は、ほとんどが透水性の氷でできており、岩石がほとんどないイアペトゥスです。 ^{[ 12 ]}直径1,469  kmのイアペトゥスは、球形でも楕円形でもありません。むしろ、独特の赤道隆起のために奇妙なクルミのような形をしている。^{[ 13 ]}氷の天体の中には、少なくとも部分的には地下の海によって平衡状態にあるものもあるが、これはIAUが用いる平衡の定義（重力が内部の剛体力に打ち勝つ）とは異なる。楕円体であるにもかかわらず、さらに大きな天体でも静水圧平衡から逸脱している。例としては、地球の月（ 3,474  km、ほとんどが岩石）^{[ 14 ]}や水星（ 4,880  km、ほとんどが金属）^{[ 15 ]などがある。}

2024年、Kissらは、クワオアーが現在の自転に対して静水圧平衡と相容れない楕円形であることを発見した。彼らは、クワオアーは元々高速回転しており静水圧平衡状態にあったが、衛星ウェイウォットの潮汐力によって自転速度が低下しても形状が「固定」されて変化しなかったと仮説を立てた。^{[ 16 ]}もしそうであれば、これは現在の自転に対して扁平すぎるイアペトゥスの状況に似ているだろう。^{[ 17 ] [ 18 ]}それでもイアペトゥスは一般的に惑星質量の衛星と考えられているが、常にそうとは限らない。^{[ 19 ] [ 20 ]}

固体は表面が不規則ですが、局所的な不規則性は全体的な平衡状態と矛盾しない場合があります。例えば、地球上で最も高い山であるマウナケアの巨大な基底部は、周囲の地殻を変形させて沈下させており、その結果、質量の全体的な分布は平衡状態に近づいています。

大気中では、高度が上がるにつれて気圧が低下します。この気圧差によって、気圧勾配力と呼ばれる上向きの力が働きます。重力による下向きの力がこれを相殺し、大気を地球に束縛し、高度による気圧差を維持します。これらの力は広範囲にわたってバランスが保たれているため、高度から気圧を合理的に推定することができます。^{[ 21 ]}これにより、気圧を垂直座標として使用できます。^{[ 22 ]}このバランスは、地球大気中の垂直方向の大規模な動きが水平方向の動きに比べて無視できるほど小さいことを意味し、観測によると、このような規模ではこのバランスは1%以内に維持されています。^{[ 23 ]}静水圧平衡の仮定は、ナビエ・ストークス方程式の静水圧近似の基礎となっており、多くの大気モデルで採用されています。^{[ 24 ]}雷雨の中など、より小さな規模では、流れが静水圧平衡から大きく逸脱します。^{[ 21 ]}