合理的ホモロジー球

代数トポロジーにおいて、有理ホモロジー${\displaystyle n}$-球は${\displaystyle n}$と同じ有理相同群を持つ次元多様体${\displaystyle n}$-球面。これらはとりわけ、空間の有理ホモロジー群が測定できる情報とできない情報、および空間の（整数）ホモロジー群と比較してねじれを無視することによって生じる減衰を理解するのに役立ちます。

合理的な相同性${\displaystyle n}$-球は${\displaystyle n}$次元多様体${\displaystyle \Sigma }$同じ有理相同群を持つ${\displaystyle n}$-球${\displaystyle S^{n}}$:

${\displaystyle H_{k}(\Sigma ,\mathbb {Q} )=H_{k}(S^{n},\mathbb {Q} )\cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &;k=0{\text{ または }}k=n\\1&;{\text{ それ以外の場合 }}\end{cases}}.}$

• すべての（整数）ホモロジー球は有理ホモロジー球である。
• すべての単連結有理ホモロジー${\displaystyle n}$-球体${\displaystyle n\leq 4}$は同相である${\displaystyle n}$-球。

• の${\displaystyle n}$-球${\displaystyle S^{n}}$それ自体は明らかに有理相同性である${\displaystyle n}$-球。
• 擬円（円からの弱いホモトピー同値が存在する）は有理ホモトピーである${\displaystyle 1}$-球面、これはホモトピーではない${\displaystyle 1}$-球。
• クラインの壺は2次元ですが、${\displaystyle 1}$-球面の（整数）ホモロジー群は次のように与えられる：^{[ 1 ]}

  ${\displaystyle H_{0}(K)\cong \mathbb {Z} }$

  ${\displaystyle H_{1}(K)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}}$

  ${\displaystyle H_{2}(K)\cong 1}$

したがって、これは有理ホモロジー球面ではないが、同じ次元であるという条件を取り除けば有理ホモロジー球面となるだろう。

• 実際の射影空間$\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$は、${\displaystyle n}$その（整数）ホモロジー群は次のように与えられるので奇数である：^{[ 2 ] [ 3 ]}

  ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {R} P^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ または }}k=n{\text{ 奇数の場合}}\\\mathbb {Z} _{2}&;k{\text{ 奇数}},0<k<n\\1&;{\text{ それ以外の場合}}\end{cases}}.}$

${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}}$特に球体である。

• 5次元ウー多様体${\displaystyle W=\オペレータ名 {SU} (3)/\オペレータ名 {SO} (3)}$は、非自明なホモロジー群を持つ、単連結な有理ホモロジー球面である。${\displaystyle H_{0}(W)\cong \mathbb {Z} }$、${\displaystyle H_{2}(W)\cong \mathbb {Z} _{2}}$と${\displaystyle H_{5}(W)\cong \mathbb {Z} }$これはホモトピー球面ではありません。

• 有理ホモトピー球

• ハッチャー、アレン（2002）、『代数トポロジー』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0

• n Labの有理相同性球