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幾何学において、菱形タイル張り[ 1 ]は、タンブリングブロック[ 2 ] 、リバーシブルキューブ、またはダイス格子とも呼ばれ、ユークリッド平面上の同一の60°菱形の敷き詰めです。各菱形は2つの60°の角と2つの120°の角を持ち、この形状の菱形はダイヤモンドとも呼ばれます。3つの菱形のセットは120°の角で交わり、6つの菱形のセットは60°の角で交わります。
菱形タイル張りは、六角形タイル張りを細分化したもので、各六角形が中心点で交わる3つの菱形に分割されています。この細分化は、正則複合タイル張りを表しています。また、4つの六角形タイル張りを細分化したもので、各六角形が12個の菱形に分割されていると考えることもできます。
各菱形の対角線の比率は 1: √3です。これは、三六角形タイリングまたはカゴメ格子の双対タイリングです。均一タイリングの双対として、これは 11 種類の可能なLaves タイリングの 1 つであり、単面体タイリングの面構成では[3.6.3.6] と表記されます。[ 4 ]
また、これは四角形による56 通りの等面体タイリングの 1 つであり、 [ 5 ]すべての辺がタイリングの対称線上にある平面の 8 つのタイリングのうちの 1 つでもある。[ 6 ]
菱形タイルを、 | x + y + z | ≤ 1を満たす点 ( x , y , z )からなる 3 次元整数格子のサブセットに埋め込むことが可能です。その際、2 つの頂点が隣接しているのは、対応する格子点が互いに単位距離にある場合のみであり、さらに強く、タイルの任意の 2 つの頂点間の最短経路のエッジの数が、対応する格子点間のマンハッタン距離と同じになるようにします。したがって、菱形タイルは、無限単位距離グラフおよび部分立方体の例と見なすことができます。[ 7 ]
菱形タイルは、2つの異なる方法で立方体の集合の等角投影図として解釈でき、ネッカーキューブに関連した可逆図形を形成します。この文脈では、「可逆立方体」錯視として知られています。[ 8 ]
M.C.エッシャーの作品「変身 I」、「変身 II」、「変身 III」では、エッシャーはこのタイルの解釈を、2 次元と 3 次元の形態の間を変形する方法として使用しています。[ 9 ]エッシャーの別の作品「サイクル」（1938 年）では、このタイルの 2 次元性と 3 次元性の間の緊張感を扱っています。この作品では、建築要素として大きな立方体のブロック (等角投影で描かれている) と、菱形タイルで覆われた 2 階のパティオの両方を持つ建物を描いています。人物がパティオから立方体の横を通り過ぎて降りてきて、そのにつれてより様式化され、2 次元的になっていきます。[ 10 ]これらの作品は、タイルの 1 つの 3 次元解釈のみを扱っていますが、「凸面と凹面」では、エッシャーはより一般的に可逆的な図形を実験し、シーン内の旗に可逆的な立方体の錯視を描写しています。[ 11 ]
菱形タイルは、寄木細工[ 12 ]や床や壁のタイルのデザインとしても使用され、菱形の形状にバリエーションが加えられることもあります[ 13 ] 。古代ギリシャのデロス島の床モザイク[ 14 ]や11世紀のイタリアの床タイル[ 15 ]にも見られますが、シエナ大聖堂のこのパターンのタイルはもっと新しいものです[ 16 ] 。キルティングでは、1850年代から「タンブリングブロック」パターンとして知られており、その二重の3次元解釈によって生じる視覚的な不協和音を指しています[ 2 ] [ 15 ] [ 17 ] 。キルティングパターンとしては、キューブワーク、ヘブンリー階段、パンドラの箱など、他にも多くの名前があります。[ 17 ]タンブリングブロックキルトのパターンは地下鉄道で信号として使用されていたと示唆されている。奴隷たちはフェンスにそれが掛けられているのを見たら、持ち物を箱に詰めて逃げることになっていた。地下鉄道のキルトを参照。[ 18 ]これらの装飾的な用途では、菱形は複数の色で現れることがあるが、通常は3段階の陰影が与えられ、水平方向の長い対角線を持つ菱形には最も明るく、他の2つの方向を持つ菱形にはより暗くして、立体感を強調している。イギリスの紋章学で暗黙の菱形と三六角形のタイル張りが知られている唯一の例は、ゲール/エの紋章である。[ 19 ]
菱形タイルは、2つの異なる六角形タイルを重ね合わせた結果として見なすことができ、一方のタイルの頂点の一部が他方のタイルの六角形の中心に位置するように平行移動されます。したがって、これを使用してブロックセルオートマトンを定義することができ、オートマトンでは、セルは菱形タイルの菱形であり、オートマトンを交互に実行するステップのブロックは、重ね合わせた2つの六角形タイルの六角形です。この文脈では、立方体のピラミッドを等角投影図でプレイフィールドとするビデオゲーム「Q*bert」にちなんで、「Q*bert近傍」と呼ばれます。Q *bert近傍は、ビリヤードボールコンピュータのシミュレーションを介してユニバーサル計算をサポートするために使用できます。[ 20 ]
凝縮系物理学では、菱形タイルはダイス格子、ダイス格子、またはデュアルカゴメ格子として知られています。これは、イジングモデルや二原子結晶におけるスピン相互作用の関連システムを調査するために使用されるいくつかの繰り返し構造の 1 つであり、[ 21 ]パーコレーション理論でも研究されています。[ 22 ]
菱形タイル張りは、三六角形タイル張りの双対です。これは、合同な菱形によって平面をタイル張りする多くの異なる方法の1つです。他の方法としては、正方形タイル張りの対角線を平らにした変形（菱形の4辺すべてに並進対称性を持つ）、三浦折りの折り畳みパターンで使用されるタイル張り（並進対称性と鏡面対称性を交互に使用）、および36°と72°の鋭角を持つ2種類の菱形を非周期的に使用するペンローズタイル張りなどがあります。複数の種類の菱形が許容される場合、菱形タイル張りと位相的に等価でありながら対称性が低いものなど、追加のタイル張りが可能になります。
菱形タイルと組み合わせ論的に等価なタイルは、平行四辺形によっても実現でき、3次元立方体階段の軸測投影として解釈することができる。
辺のテセレーション、つまり任意のタイルをその辺のいずれかで反転させると別のタイルになるという性質を持つ平面のタイル張りは8 つしかなく、そのうちの 1 つが菱形タイル張りです。 [ 6 ]
