ヘッケ演算子

数学、特にモジュラー形式の理論において、エーリッヒ・ヘッケ(1937a,1937b)が研究したヘッケ演算子は、モジュラー形式のベクトル空間やより一般的な保型表現の構造において重要な役割を果たす、ある種の「平均化」演算子です。

歴史

モーデル（1917）は、ヘッケ（1937a、1937b）の一般理論に先駆けて、ラマヌジャンの特殊カスプ形式に関する論文でモジュラー形式上のヘッケ作用素を使用した。モーデルは、ラマヌジャン形式の係数を表すラマヌジャンタウ関数が、

\Delta (z)=q\left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})\right)^{24}=\sum _{n=1 }^{\infty }\tau (n)q^{n},\quad q=e^{2\pi iz},

は乗法関数です:

\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)\quad {\text{ }}(m,n)=1の場合。

このアイデアは、いくつかの個別のヘッケ演算子を実現するモジュラー曲線間の代数的対応を扱ったアドルフ・フルヴィッツの初期の研究に遡ります。

数学的記述

$ヘッケ演算子は、さまざまな文脈で実現できます。最も単純な意味は組み合わせ論的であり、つまり、与えられた整数n$ に対して、固定ランクの格子上で定義された関数 $f (Λ)を$

\sum f(\Lambda ')

の和は、指数 $n$ $のΛの$ 部分群であるすべての $Λ'$ についてとられます。たとえば、 $n=2$ $で 2 次元の場合、このようなΛ' は$ 3 つあります。モジュラー形式は、解析関数になる条件と、相似性に関して同次になる条件、および無限大での中程度の増大に従う、格子の特殊な関数です。これらの条件は和によって保存されるため、ヘッケ演算子は、与えられた重みのモジュラー形式の空間を保存します。

ヘッケ演算子を表現する別の方法は、モジュラー群の二重剰余類を使用することです。現代のアデリックアプローチでは、これはいくつかのコンパクト部分群に関する二重剰余類に変換されます。

明示的な式

$M m を$ 行列式 $m$ $を持つ2\times2$ 整行列の集合とし、Γ $=$ $M$ $1$ $を$ 完全モジュラー群 $SL$ $(2,$ $Z$ $)$ とする。重み $k$ のモジュラー形式 $f$ $($ $z$ $)$ が与えられたとき、 $m$ 番目のヘッケ演算子は次式のように作用する。

T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma \backslash M_{m}}(cz+d)^{-k}f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right),

ここで、 $zは$ 上半平面にあり、正規化定数 $m k -1は$ 、整数フーリエ係数を持つ形の像が整数フーリエ係数を持つことを保証する。これは、次のように書き直すことができる。

T_{m}f(z)=m^{k-1}\sum _{a,d>0,ad=m}{\frac {1}{d^{k}}}\sum _{b{\pmod {d}}}f\left({\frac {az+b}{d}}\right),

$これは、 T m (f (z)) = Σ b n q n$ のフーリエ係数を $f (z) = Σ a n q n$ のフーリエ係数で表した式につながります。

b_{n}=\sum _{r>0,r|(m,n)}r^{k-1}a_{mn/r^{2}}.

この明示的な式から、異なるインデックスを持つヘッケ演算子は交換可能であり、 $a 0 = 0の場合には$ $b 0 = 0$ となるため、重み $k$ のカスプ形式の部分空間 $S k は$ ヘッケ演算子によって保存されることがわかります。(非ゼロの)カスプ形式 $f$ が、固有値 $λ$ $m$ を持つすべてのヘッケ演算子 $T$ $m$ の同時固有形式である場合、 $a$ $m$ $=$ $λ$ $m$ $a$ $1$ かつ $a$ $1$ $\neq 0$ となります。ヘッケ固有形式は $a$ $1$ $= 1$ となるように正規化されるため、

T_{m}f=a_{m}f,\quad a_{m}a_{n}=\sum _{r>0,r|(m,n)}r^{k-1}a_{mn/r^{2}},\ m,n\geq 1.

したがって、整数重みの正規化された尖頭ヘッケ固有形式の場合、そのフーリエ係数はヘッケ固有値と一致します。

ヘッケ代数

ヘッケ作用素の代数は「ヘッケ代数」と呼ばれ、可換環である。古典的な楕円モジュラー形式理論では、与えられた重みのカスプ形式の空間に作用するレベルと互いに素な $n$ を持つヘッケ作用素 $T n は$ 、ピーターソン内積に関して自己随伴である。したがって、スペクトル定理は、これらのヘッケ作用素の固有関数であるモジュラー形式の基底が存在することを意味する。これらの基本形式はそれぞれ、オイラー積を持つ。より正確には、そのメリン変換は、各素数 $p$ に対する局所因子を持つオイラー積を持つディリクレ級数であり、 $p$ $-$ $s$ の二次多項式であるヘッケ多項式の逆^[^{説明が必要}^]である。モーデルが扱うケースでは、完全モジュラー群に関する重み 12 のカスプ形式の空間は 1 次元である。したがって、ラマヌジャン形式はオイラー積を持ち、 $τ$ $($ $n$ $)$ の乗法性を確立する。

他の関連する数学的環も「ヘッケ代数」と呼ばれますが、ヘッケ作用素との関連が完全に明らかでない場合もあります。これらの代数には、編組群の群代数の特定の商が含まれます。この可換作用素代数の存在は、モジュラー形式と一般化の調和解析において重要な役割を果たします。

参照

参考文献

アポストル、トム・M.（1990）、モジュラー関数と数論におけるディリクレ級数（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-97127-8 （第8章を参照）
「ヘッケ演算子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
Hecke, E. (1937a)、「Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. I.」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、114 : 1–28、doi :10.1007/BF01594160、ISSN 0025-5831、Zbl 0015.40202
Hecke, E. (1937b)、「Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. II.」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、114 : 316–351、doi :10.1007/BF01594180、ISSN 0025-5831、Zbl 0016.35503
モーデル、ルイス・J.（1917）「ラマヌジャン氏のモジュラー関数の経験的展開について」、ケンブリッジ哲学協会紀要、19：117-124、JFM 46.0605.01
ジャン・ピエール・セール、算数のコース。
Don Zagier、「楕円モジュラー形式とその応用」、『モジュラー形式の 1-2-3』、Universitext、Springer、2008 年ISBN 978-3-540-74117-6