ハルシャド番号

レクリエーション数学では、与えられた基数におけるハーシャッド数（またはニブン数）とは、その基数で表したときにその桁の合計で割り切れる整数のことです。 ^{[ 1 ]}基数nのハーシャッド数は、 nハーシャッド数（またはnニブン数）とも呼ばれます。ハーシャッド数であるかどうかは、その数が表現される基数によって決まるため、ある数が何度もハーシャッド数になることがあります。^{[ 2 ]}いわゆるトランスハーシャッド数とは、すべての桁を使用するすべての基数において、その基数でハーシャッド数を表す 0～9 の数字の並びのことです。^{[ 3 ]}

ハーシャッド数は、インドの数学者DRカプレカーによって定義されました。^{[ 4 ]}「ハーシャッド」という言葉は、サンスクリット語のharṣa（喜び）+ da （与える）に由来し、「喜びを与える者」という意味です。「ニブン数」という用語は、1977年にイヴァン・M・ニブンが数論に関する会議で発表した論文から生まれました。

数学的に言うと、X をn進数でm桁の正の整数とし、桁を次のようにします。${\displaystyle a_{i}}$（${\displaystyle i=0,1,\ldots ,m-1}$）（したがって、${\displaystyle a_{i}}$0 または 1 までの正の整数である必要があります。${\displaystyle n-1}$⁠ .) Xは次のように表現できます。

${\displaystyle X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.}$

Xは、 n を基数とするハーシャド数である。

${\displaystyle X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}}}.}$

すべての基数においてハーシャド数である数を、全ハーシャド数、または全ニブン数と呼びます。全ハーシャド数は1、2、4、6 の4つしかありません。12は、 8進数を除くすべての基数においてハーシャド数です。

• 18という数字は10進数ではハルシャド数です。なぜなら、1と8の数字の合計は9であり、18は9で割り切れるからです。
• ハーディ・ラマヌジャン数（1729）は、その桁の合計である19で割り切れるため、10進法のハーシャド数です（1729 = 19 × 91）。
• 19という数字は10進数ではハルシャド数ではありません。なぜなら、1と9の数字の合計は10であり、19は10で割り切れないからです。
• 10 進数では、 9R _n a _nの形式で表せるすべての自然数(R _nは1 のn個のコピーで構成され、 n > 0 であり、a _{nは 10} ⁿ未満の正の整数でnの倍数) は、ハルシャド数です。(R. D'Amico、2019)。数 9R ₃ a ₃ = 521478 (R ₃ = 111、n = 3、a ₃ = 3×174 = 522) はハルシャド数です。実際、次のようになります。521478/(5+2+1+4+7+8) = 521478/27 = 19314。^{[ 5 ]}
• 10進数のハーシャッド数列は次のようになります。

  1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、18、20、21、24、27、30、36、40、42、45、48、50、54、60、63、70、72、80、81、84、90、100、102、108、110、111、112、114、117、120、126、132、133、135、140、144、150​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、152、153、156、162、171、180、190、192、195、198、200 、 ... （OEISの配列A005349 ）。​​​​​​​​​​​​ ​​​​​​

• 0からnまでのすべての整数はn-ハーシャッド数である。

9の割り算判定法を考えると、9で割り切れる数はすべてハーシャド数であると一般化したくなるかもしれない。しかし、nのハーシャド性を判断するには、 nの各桁の数字を一度だけ足し合わせることができ、nはその合計で割り切れなければならない。そうでなければ、nはハーシャド数ではない。例えば、99はハーシャド数ではない。なぜなら、9 + 9 = 18であり、99は18で割り切れないからである。

基数（およびそのべき乗）は、常に自身の基数においてハルシャド数となる。なぜなら、それは「10」と表され、1 + 0 = 1となるからである。

基数bの桁の合計がb −1 を割り切るすべての数は、基数bのハルシャド数です。

素数がハルシャド数であるためには、その素数は基数以下でなければなりません。そうでなければ、素数の各桁の合計は1より大きく素数より小さい数になり、割り切れません。例えば、11は10進数ではハルシャド数ではありません。なぜなら、11の各桁の合計は1 + 1 = 2であり、11は2で割り切れないからです。一方、12進数では、11は「 B 」と表すことができ、その各桁の合計もBです。Bはそれ自身で割り切れるので、12進数ではハルシャド数となります。

基数において1桁の数字を持つ数はすべて、その基数においてハルシャド数となる。これは、その数の各桁の数字の合計がその数自身となり、基数や桁数に関わらず、すべての数はそれ自身で割り切れるためである。

階乗の数列は10進数でハーシャド数から始まりますが、すべての階乗がハーシャド数であるとは限りません。432! はハーシャド数ではない最初の例です。（432! の桁の合計は10進数で3897 = 3 ² × 433 となり、432! を割り切ることができません。）

最小のkは${\displaystyle k\cdot n}$ハルシャドの番号は

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1、... （ OEISの配列A144261）。

最小のkは${\displaystyle k\cdot n}$ハルシャド番号ではありません

11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 537, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 68, 1, 1, 1, 1, 1, 1、1、2、... （OEISの配列A144262）。

12進数におけるハルシャド数は次のとおりです。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B , 10, 1 A , 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A 0, A 1, B 0, 100, 10 A , 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1 A 0, 1 B 0, 1 B A , 200, ...

ここで、Aは10を表し、Bは11を表す。

最小のkで${\displaystyle k\cdot n}$は12進数です（10進数で表記）：

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

最小のkで${\displaystyle k\cdot n}$は12進数ではありません。 は(10進数で表記)です。

13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

10進数と同様に、12進数でもすべての階乗がハーシャド数になるわけではありません。7! (= 5040 = 2 B 00、12進数で桁和は13、13は7!)を割り切れません) の次にハーシャド数にならないのは1276! です。(1276! の桁和は14201 = 11 × 1291 で、1276!) を割り切れません。

もし私たちが許せば${\displaystyle N(x)}$ハルシャド数の数を表す${\displaystyle \leq x}$すると、任意の${\displaystyle \varepsilon >0,}$

$${\displaystyle x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}}$$

ジャン＝マリー・ド・コニンクとニコラ・ドヨンによって示されたように^{[ 10 ]}、さらにド・コニンク、ドヨン、カタイ^{[ 11 ]}は、

${\displaystyle N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},}$

どこ${\displaystyle c=(14/27)\log 10\approx 1.1939}$そして${\displaystyle o(1)}$用語はビッグオー記法を使用します。

10億を超えないすべての自然数は、ハルシャド数であるか、2つのハルシャド数の和のいずれかである。サンナは、特定のデデキントゼータ関数の零点に関する技術的な仮説を条件として、正の整数が存在することを証明した。${\displaystyle k}$すべての自然数が最大で の和であるような${\displaystyle k}$ハルシャド数、すなわちハルシャド数の集合は加法基底である。^{[ 12 ]}

自然数1、2、3、…を2つのハルシャド数の和として表す方法の数は次のとおりです。

0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 5, 3, 4, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 6, 5, 3, 7, 4, 4, 6, 4, 2, 7, 3, 4, 5, 4, 3, 7, 3, 4, 5, 4, 3, 8, 3, 4, 6, 3, 3, 6, 2, 5, 6, 5, 3、8、4、4、6、... （OEISの配列A337853）。

2つのハルシャド数の和として、ちょうど1通り、2通り、3通り、…通りの方法で表せる最小の数は次のとおりです。

2, 4, 6, 8, 10, 51, 48, 72, 108, 126, 90, 138, 144, 120, 198, 162, 210, 216, 315, 240, 234, 306, 252, 372, 270, 546, 360, 342, 444, 414, 468, 420, 642, 450, 522, 540, 924, 612, 600, 666, 630, 888, 930, 756, 840, 882, 936, 972, 1098, 1215, 1026, 1212、1080、... （OEISの配列A337854）。

与えられた数基数におけるニブンモルフィック数またはハーシャドモルフィック数とは、あるハーシャド数Nが存在し、その桁の合計がtであり、かつ、その基数で書かれたtが、同じ基数で書かれたNの終端となるような整数tのことである。

例えば、18は10進数におけるニブンモルフィック数である。

16218はハルシャド番号です 16218の各桁の合計は18です。 18 終了 16218

サンドロ・ボスカロは、基数10の場合、 11を除くすべての正の整数がニベンモルフィック数であると判断した。^{[ 13 ]}実際、偶数n > 1の場合、n +1を除くすべての正の整数が基数nのニベンモルフィック数であり、奇数n > 1の場合、すべての正の整数が基数nのニベンモルフィック数である。たとえば、基数12のニベンモルフィック数は（ OEISのシーケンスA011760）（13を除くすべての正の整数）である。

10進数で表した桁の合計がnで、末尾がnとなる最小の数は次のとおりです。（そのような数が存在しない場合は0）

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928, 78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942、2979943、999944、999945、4698946、4779947、2998848、2998849、9999950、... （ OEISの配列A187924）

Bloem (2005) は、多重ハルシャド数を、その桁の合計で割ると別のハルシャド数になるハルシャド数と定義している。 ^{[ 14 ]} 彼は、6804 が「MHN-4」である理由として、

${\displaystyle {\begin{aligned}6804/18&=378\\378/18&=21\\21/3&=7\\7/7&=1\end{aligned}}}$

（MHN-5ではないので）${\displaystyle 1/1=1}$（ただし、1は「別の」ハルシャド数ではない）

そして、2016502858579884466176 が MHN-12 であることを示しました。より小さい数 10080000000000 = 1008  × 10 ¹⁰ も MHN-12 です。一般に、1008 × 10 ⁿは MHN-( n +2 ) です。

ワイススタイン、エリック W. 「ハーシャッド数」 . MathWorld .