ダイポールアンテナ

無線および電気通信において、ダイポールアンテナまたはダブレット[ ^1] は、最も単純で最も広く使用されている2種類のアンテナのうちの1つです。もう1つはモノポールです。^{[2] [3] [全文引用必要]}ダイポールは、放射構造を持つ基本的な電気ダイポールに近い放射パターンを生成するアンテナの一種で、その放射構造は線電流をサポートし、その線電流は各遠端で1つのノードのみを持ちます。^[a]ダイポールアンテナは通常、 金属ワイヤやロッドなどの2つの同一の導電性要素^{[5]で構成されます。 [2] [6] [7] (p 3)}送信機からの駆動電流は、2つの半分のアンテナ間で印加され、受信アンテナの場合は受信機への出力信号が取得されます。送信機または受信機への給電線の各側は、導体の1つに接続されます。これはモノポールアンテナとは対照的です。モノポールアンテナは、1本の棒または導体で構成され、一方の端は給電線に接続され、もう一方の端は何らかのグランドに接続されています。^[7]ダイポールの一般的な例は、放送用テレビに見られるラビットイヤー テレビアンテナです。すべてのダイポールは、端から端まで取り付けられ、逆位相で給電される2つのモノポールと電気的に等価であり、それらの間のグランドプレーンは、反対側のモノポールによって仮想化されます。

ダイポールは、理論的観点からは最も単純なタイプのアンテナです。^[1]最も一般的には、長さが等しい 2 本の導体を端から端まで並べ、その間に給電線を接続します。^{[8] [9]ダイポールは、}共振アンテナ としてよく使用されます。このようなアンテナの給電点を短絡すると、ギターの弦を弾いたときのように、特定の周波数で共振することができます。その周波数付近でアンテナを使用すると、給電点インピーダンス (したがって定在波比)の点で有利になるため、その長さは動作の目的の波長(または周波数)によって決まります。 ^[2]最も一般的に使用されるのは、半波長よりわずかに短い、センター給電の半波長ダイポールです。半波長ダイポールの放射パターンは、導体に対して垂直な方向で最大になり、軸方向でゼロに低下するため、垂直に設置した場合は無指向性アンテナとなり、水平に設置した場合は (より一般的には) 弱い指向性アンテナとなります。^[10]

ダイポールアンテナは、独立型の低利得アンテナとして使用されることもありますが、八木アンテナや駆動アレイなどのより複雑なアンテナ設計^{[2] [5]の}駆動素子としても使用されます。ダイポールアンテナ（またはモノポールを含むダイポールアンテナから派生した設計）は、ホーンアンテナ、パラボラ反射鏡、コーナー反射鏡などのより複雑な指向性アンテナに給電するために使用されます。エンジニアは、垂直アンテナ（またはその他のモノポールアンテナ）を、その半分であるダイポールアンテナに基づいて分析します。

ドイツの物理学者ハインリッヒ・ヘルツは、1887年に、現在では容量性端部負荷のダイポールアンテナとして知られているものを使用して、初めて電波の存在を実証しました。一方、グリエルモ・マルコーニは、アンテナの半分を使わずに送信機（または伝送線路を使用する場合は片側）を接地するだけでよいことを経験的に発見し、垂直アンテナまたはモノポールアンテナを実現しました。^{[7] (p 3)} マルコーニが長距離通信を実現するために使用した低周波では、この形式の方が実用的でした。無線がより高い周波数に移行すると（特にFMラジオやテレビのVHF送信）、これらのはるかに小さなアンテナ全体を塔の頂上に設置することが有利になり、ダイポールアンテナまたはそのバリエーションの1つが必要になりました。

ラジオの初期の頃は、マルコーニアンテナ（モノポール）とダブレット（ダイポール）は別々の発明とみなされていました。しかし、現在ではモノポールアンテナは、地下に仮想要素を持つダイポールの特殊なケースとして理解されています。

短ダイポールとは、全長ℓが実質的に半波長より短い2本の導体で形成されるダイポールである（⁠1/ 2 ⁠ λ）。短いダイポールは、半波長ダイポールが大きすぎる用途で使用されることがあります。これらは、架空のエンティティであるヘルツ ダイポールについて以下で得られた結果を使用して簡単に分析できます。共振アンテナ (半波長の長さ) よりも短いため、その給電点インピーダンスには大きな容量性リアクタンスが含まれており、特に送信アンテナとして実用化するには、 負荷コイルまたはその他のマッチング ネットワークが必要です

短い双極子によって生成される遠方場の電場と磁場を求めるには、電流から 距離r 、 電流の方向に対して角度θにあるヘルツ双極子（微小電流要素）について以下に示す結果を使用します。 ^{[11] (p132)}

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\phi }&=j\ {\frac {\ I_{h}\ \ell \ k\ }{4\pi \ r}}\ e^{\ j\ \left(\omega t\ -\ kr\right)}\ \sin(\theta )\\E_{\theta }&=\zeta _{0}\ H_{\phi }=j\ {\frac {\ \zeta _{0}\ I_{h}\ \ell \ k\ }{4\pi \ r}}\ e^{\ j\ \left(\omega t\ -\ kr\right)}\ \sin(\theta )~.\end{aligned}}}$

ここで、放射体は短い長さℓにわたる電流で構成され、電子工学では慣例の数学記号i を−1の平方根に置き換えます。ωはラジアン周波数 ( )、kは波数 ( ) です。ζ 0_は自由空間のインピーダンス( )で、自由空間平面波の電界強度と磁界強度の比です。 ${\displaystyle \ I_{h}\ e^{\ j\ \omega \ t}\ }$${\displaystyle \ j^{2}\equiv -1\ }$${\displaystyle \omega \equiv 2\pi f\ }$${\displaystyle \ k\equiv 2\pi /\lambda \ }$${\displaystyle \zeta _{0}\approx 377{\text{ Ω}}}$

給電点は通常、図に示すようにダイポールの中心にあります。ダイポールのアームに沿った電流は、おおよそ に比例すると説明されます。ここで、 zはアームの端までの距離です。短いダイポールの場合、給電点から端のゼロまで基本的に直線的に低下します。したがって、これは、実効電流I _hが導体上の平均電流に等しいヘルツダイポールに匹敵します。その置き換えにより、上記の式は、電流が供給される短いダイポールによって生成されるフィールドに近い近似値になります。${\displaystyle \ \sin(\ k\ z\ )\ }$${\displaystyle \ I_{0}\ }$${\textstyle \ I_{h}={\frac {1}{2}}I_{0}\ .}$${\displaystyle \ I_{0}~.}$

上記で計算した場から、任意の点における放射束（単位面積あたりの電力）をポインティング ベクトルの実部Sの大きさとして求めることができます。これは次のように与えられます。EとHが直角で同位相の場合、虚部はなく、単に に等しくなり、位相係数（指数）が打ち消されて次のようになります。 ${\textstyle \ {\frac {1}{2}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ^{*}~.}$${\textstyle \ {\frac {1}{2}}E_{\theta }H_{\phi }^{*}\ }$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}E_{\theta }H_{\phi }^{*}={\frac {1}{2}}\ {\frac {\ \zeta _{0}\ I_{h}^{2}\ \ell ^{2}\ k^{2}\ }{(4\pi r)^{2}}}\ \sin ^{2}(\theta )={\frac {\zeta _{0}}{32}}\ I_{0}^{2}\ \left({\frac {\ell }{\lambda }}\right)^{2}\ {\frac {1}{r^{2}}}\ \sin ^{2}(\theta )~.}$

我々は、給電点電流I ₀と短ダイポールの長さℓと放射波長λの比で磁束を表現しました。 で与えられる放射パターンは、半波長ダイポールの放射パターンと似ており、それよりもわずかに指向性が低いことがわかります。 ${\displaystyle \ \sin ^{2}(\theta )\ }$

与えられた給電点電流に対する遠方場の放射に関する上記の式を使用して、全立体角にわたって積分し、総放射電力を得ることができます。

${\displaystyle P_{\text{total}}={\frac {\pi }{12}}\ \zeta _{0}\ I_{0}^{2}\ \left({\frac {\ell }{\lambda }}\right)^{2}~.}$

そこから、抵抗損失による要素を無視して、放射抵抗を推測することができます。これは、給電点インピーダンスの抵抗（実数）部分に等しくなります。給電点で供給される電力をP _{total に}設定すると、次の式が得られます。 ${\textstyle \ {\tfrac {1}{2}}\ I_{0}^{2}\ R_{\text{radiation}}\ }$

${\displaystyle \ R_{\text{radiation}}={\frac {\pi }{6}}\ \zeta _{0}\ \left({\frac {\ell }{\lambda }}\right)^{2}\approx \left({\frac {\ell }{\lambda }}\right)^{2}(197\ \Omega )~.}$

繰り返しますが、これらの近似値はℓ ≪ ⁠に対して非常に正確になります。 1/ 2 ⁠ λ .設定ℓ = ⁠ 1/ 2 ⁠ λ は、 波長の非常に大きな部分では有効ではないにもかかわらず、より正確な 1/4 波長正弦波電流が使用される場合、半波長ダイポールによって生成される実際の値 73 Ω ではなく、式では 49 Ω の放射抵抗が予測されます。

細い線状導体の基本共振は、自由空間波長が線の長さの2倍の周波数で発生します。つまり、導体が⁠ 1 /2⁠波長の長さです。ダイポールアンテナはこの周波数付近でよく使用されるため、半波長ダイポールアンテナと呼ばれます。この重要なケースについては、次のセクションで説明します。

長さの細い線状導体は、実際には半波長の任意の整数倍で共振します。 ${\displaystyle \ \ell \ }$

${\displaystyle \ \ell =n\times {\frac {\ \lambda \ }{2}}\ }$

ここで、nは整数、は波長、c は放射導体内の電波の減速速度 ( c ≈ 97%× c _o、光速) です。ただし、センター給電ダイポールの場合、nが奇数の場合と偶数の場合では大きな相違があります。長さが半波長の奇数であるダイポールは、駆動点インピーダンスがかなり低くなります (その共振周波数では純粋に抵抗性です)。しかし、長さが半波長の偶数、つまり長さが波長の整数であるダイポールは、駆動点インピーダンスが高くなります(その共振周波数では純粋に抵抗性ですが)。 ${\displaystyle \ \lambda ={\frac {\ c\ }{f}}\ }$

たとえば、全波長ダイポール アンテナは、全長が約 2 本の半波長導体を端から端まで接続して作ることができます。これにより、半波長ダイポールに比べて約 2 dB の追加ゲインが得られます。全波長ダイポールは、有効直径を非常に大きくし、高インピーダンスのバランス線から給電することによってのみ、短波放送で使用できます。大きな直径を得るために、ケージ ダイポールがよく使用されます。 ${\displaystyle \ \ell \approx \lambda \ .}$

あ⁠ 5 /4⁠ 半波長ダイポールアンテナは、給電点インピーダンスがはるかに低いものの、純粋に抵抗性ではないため、伝送線路のインピーダンスに整合するネットワークが必要です。その利得は半波長ダイポールよりも約 3 dB 高く、同様の長さのダイポールの中で最も高い利得です。

その他の適切な長さのダイポールアンテナは利点がなく、めったに使用されません。ただし、半波長ダイポールアンテナの基本周波数の奇数倍での倍音共鳴は、時々利用されます。たとえば、 7 MHz の半波長ダイポールとして設計されたアマチュア無線アンテナは、次のようにも使用できます。 3 /2⁠ 21 MHz のVHF波ダイポール。同様に、低 VHF テレビ帯域(約 65 MHz)で共振する VHF テレビアンテナは、高 VHF テレビ帯域(約 195 MHz) でも共振します。

半波長ダイポールアンテナは、全長が約ℓ = ⁠の 2 つの 1/4 波長導体を端から端まで並べたものです。1/2⁠ λ。電流分布は定在波、双極子の長さに沿ってほぼ正弦波状で、両端に節があり、中央（給電点）に腹（ピーク電流）がある：^{[12]（pp 98–99）}

${\displaystyle I(z)=I_{0}\cos(\omega t)\cos(kz)\ ,}$

ここでk = ⁠ 2π​/λ⁠ そしてzは⁠−から始まる+1/2⁠ ℓから⁠++1/2⁠ ℓ .

遠方場においては、この放射パターンの電界は^{[12] （pp 98–99）で与えられる。}

${\displaystyle \ E_{\theta }={\frac {\ \zeta _{0}I_{0}\ }{2\pi r}}\ {\frac {\ \cos \left({\frac {\pi }{2}}\ \cos \theta \right)\ }{\sin \theta }}\ \sin {(\omega t-kr)}~.}$

方向係数は短ダイポールに適用されるsinθ とほぼ同じであり、結果として上記と非常によく似た放射パターンが得られる。^{[12] (pp 98–99)}${\textstyle \ {\frac {\cos \left[\ {\tfrac {\pi }{2}}\ \cos \theta \ \right]}{\sin \theta }}\ }$

短いダイポールの場合と同様に、放射電力を全立体角にわたって数値積分すると、ピーク値I _{0の電流を持つダイポールによって放射される全電力}P _totalの値が、上記の形式で得られます。P _totalを で割ると、全方向で平均された遠距離での磁束が得られます。その遠距離でのθ = 0方向 (ピークとなる方向) の磁束を平均磁束で割ると、指向性ゲインは 1.64 であることがわかります。これは、コサイン積分を使用して直接計算することもできます。 ${\textstyle \ {\frac {\ |E_{\theta }|^{2}\ }{2\zeta _{0}}}\ }$${\textstyle 4\pi r^{2}}$

${\displaystyle G={\frac {4}{\ \operatorname {Cin} (2\pi )\ }}\approx 1.64~}$（2.15dBi）

(余弦積分の Cin( x ) 形式は Ci ( x )形式と同じではありません。これらは対数で異なります。MATLABとMathematica にはCi( x )を計算する組み込み関数がありますが、 Cin( x ) を計算する組み込み関数はありません。これらの関数の関係については、  Wikipedia の余弦積分のページを参照してください。 )

短いダイポールの場合と同じように、次の式を解くことで放射抵抗も求めることができます。

${\displaystyle P_{\mathsf {total}}={\frac {1}{2}}I_{0}^{2}R_{\mathsf {radiation}}\ }$

取得する:

${\displaystyle R_{\mathsf {radiation}}\approx 73.1\ {\mathsf {\Omega }}~.}$

誘導起電力法^{[11] （p 224）}を使用すると、駆動点インピーダンスの実部も余弦積分で表すことができ、同じ結果が得られます。

${\displaystyle R_{\mathsf {radiation}}={\frac {\zeta _{0}}{\ 4\pi \ }}\operatorname {Cin} (2\pi )={\frac {\zeta _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\ 1-\cos \theta \ }{\theta }}\ \mathrm {d} \theta \ \approx \ 73.1\ {\mathsf {\Omega }}~.}$

半波長ダイポールが中心以外のポイントで駆動される場合、給電点の抵抗は高くなります。放射抵抗は通常、アンテナ素子に流れる最大電流を基準として表されます。半波長ダイポール (および他のほとんどのアンテナ) の場合、最大電流は給電点の電流でもあります。ただし、ダイポールが電流最大値 (半波長ダイポールの場合は中心) から距離xにある別のポイントで給電される場合、そこの電流はI _{0ではなく、} I ₀ cos( kx )のみになります。

同じ電力を供給するためには、給電点の電圧も同様に係数sec( kx )だけ増加する必要がある。 その結果、給電点インピーダンスの抵抗部分は係数sec ² ( k x )だけ増加する^{[11] (p 227)}  。 ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left[{\tfrac {V}{\ I\ }}\right]\ }$

${\displaystyle \ R_{\mathsf {feedpoint}}={\frac {\ R_{\mathsf {radiation}}\ }{\cos ^{2}(kx)}}\approx {\frac {73.1\ {\mathsf {\Omega }}}{\ \cos ^{2}(kx)\ }}\ }$

この式は、 R_放射が電流最大値を基準として計算されている限り、任意の長さのダイポールアンテナにも使用できます。電流最大値は、半波長よりも長いダイポールの給電点電流と通常は同じではありません。この式は、 cos( kx ) が ゼロに近づく電流ノード付近でアンテナに給電する場合に破綻することに注意してください。駆動点インピーダンスは確かに大幅に上昇しますが、それでも、電流分布のモデルでは無視されている、要素の完全に正弦波ではない電流の高次成分のために制限されます。^{[11] (p 228)}

折り畳みダイポールは、半波長ダイポールの両端に平行なワイヤを追加して接続したものです。追加したワイヤの直径と断面積がダイポールと同じであれば、ほぼ同一の放射電流が 2 つ生成されます。結果として生じる遠距離場放射パターンは、上記の単線ダイポールのパターンとほぼ同じですが、共振時の給電点インピーダンスは単線ダイポールの放射抵抗の 4 倍になります。 ${\displaystyle \ R_{\mathsf {f.d.}}\ }$

折り畳みダイポールは、技術的には、折り畳み全波長ループアンテナであり、ループが反対側の端で曲げられ、平らな線状の 2 本の平行ワイヤに押しつぶされています。広い帯域幅、高い給電点インピーダンス、および高い効率は、全ループアンテナに似た特性ですが、折り畳みダイポールの放射パターンは、通常のダイポールに似ています。単一の半波長ダイポールの動作の方が理解しやすいため、全ループと折り畳みダイポールは両方とも、両端で接続された 2 つの半波長ダイポールが並列になっていると説明されることがよくあります。

共振時の給電点インピーダンスが高いのは、一定の電力に対して、放射される全電流が各配線の電流の2倍に等しく、給電点の電流の2倍に等しいためです。平均放射電力を給電点で供給される平均電力に等しくすると、次のように表すことができます。 ${\displaystyle \ R_{\mathsf {f.d.}}\ }$${\displaystyle \ I_{0}\ }$

${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{2}}\ R_{\mathsf {h.w.}}\ I_{0}^{2}={\frac {1}{2}}\ R_{\mathsf {f.d.}}\ \left({\frac {\ 1\ }{2}}\ I_{0}\right)^{2}\ ,}$

ここで、共振半波長ダイポールの下側給電点インピーダンスである。従って、 ${\displaystyle \ R_{\mathsf {h.w.}}\ }$

${\displaystyle \ R_{\mathsf {f.d.}}=4R_{\mathsf {h.w.}}\approx 292\ {\mathsf {\Omega }}~.}$

半波長折り返しダイポールは、 FM ラジオアンテナによく使用されます。内壁に掛けられるツイン リードのバージョンには、 FM チューナーが付属していることがよくあります。屋上の八木テレビ アンテナの駆動素子としても広く使用されています。T²FDアンテナは、フィード ポイントの反対側の 2 番目のワイヤに抵抗器が追加された折り返しダイポールです。

そのため、折り畳みダイポールは、ツインフィードリボンケーブルなどの300Ω平衡伝送線路とよく適合します 。折り畳みダイポールは、単一のダイポールよりも広い帯域幅を持っています。折り畳みダイポールは、給電側と折り畳み側の導体の厚さを変えることで、広範囲のステップアップ比にわたってダイポールの入力インピーダンスの値を変換するために使用できます。^[13]

厚さや間隔を変える代わりに、3本目の平行線を追加することで、アンテナのインピーダンスを単線ダイポールの9倍に増やすことができます。インピーダンスは658Ωに上がり、オープンワイヤ給電ケーブルとのマッチングが良くなり、アンテナの共振周波数帯域がさらに広がります。さらに平行線を追加することもできます。任意の数の平行線をアンテナに接続できます。放射抵抗（および給電点インピーダンス）は次のように表されます。

${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}\approx n^{2}\ \times \ 73{\mathsf {\ \Omega \ ,}}}$

ここで、はアンテナ内で並んで敷設され、その端で接続された半波長の平行ワイヤの数です。また、いわゆるフラットループ設計を変更して、各平行ワイヤを同じ長さだけ短くし、アンテナの両端に 1 本の容量性負荷ワイヤ (ほぼすべての方向に伸び、ほとんどの場合は垂れ下がっている) を接続することで、ほぼ同じパフォーマンスを得ることもできます。負荷ワイヤの長さは、平行ワイヤの 1 本が欠けている長さと同じです。 ${\displaystyle \ n\ }$

ダイポール アンテナの形状には、何らかの形で役立つものの、同様の放射特性 (低ゲイン) をもたらす変更が数多くあります。これは、駆動要素として 1 つ以上のダイポール要素を設計に組み込んだ指向性アンテナが多数あることは言うまでもありません。その多くは、このページの下部にある情報ボックスにリンクされています。

• ボウタイ アンテナは、広がった三角形のアームを備えたダイポールです。この形状により、通常のダイポールよりもはるかに広い帯域幅が得られます。UHFテレビ アンテナで広く使用されています。

• ケージダイポールは、ワイヤーのケージで作られた太い円筒形のダイポール素子を使用して帯域幅を拡大した同様の改良型です (写真を参照)。これらは、地平線を越​​えるレーダーや電波望遠鏡などの用途で、中波および短波帯域のいくつかの広帯域アレイ アンテナで使用されます。
• ハローアンテナは、半波長ダイポールを円形に曲げたもので、円の平面内でほぼ均一な放射パターンを実現します。ハローの円が水平の場合、水平偏波放射をほぼ全方向パターンで生成し、まっすぐな水平ダイポールに比べて天頂方向への電力の浪費はわずかです。実際には、著者の好みに応じて、曲げダイポールまたはループアンテナのいずれかに分類されます。^[b]
• ターンスタイル アンテナは、直角に交差する 2 つのダイポールと、2 つのダイポールに沿う電流間に 1/4 波長の位相差をもたらす給電システムで構成されています。この形状では、2 つのダイポールは電気的に相互作用しませんが、それらのフィールドが遠方フィールドで加算され、要素の平面で水平偏波、他の角度で円偏波または楕円偏波を持つ、等方性に近い正味の放射パターンが生成されます。ターンスタイル アンテナは、積み重ねて同位相で給電することで、全方向性ブロードサイド アレイを実現したり、円偏波のエンドファイア アレイに位相調整したりできます。
• バットウィング アンテナは、ボウタイ アンテナのように線形要素が広くなったターンスタイル アンテナです。これも共振周波数を広げ、再調整せずに広い帯域幅で使用できるようにするためです。積み重ねてアレイを形成すると、放射は全方向性で水平偏波になり、低高度でのゲインが増加するため、テレビ放送に最適です。
• Vアンテナは、中央が曲がっているダイポールアンテナなので、そのアームは同一直線上ではなく、角度がついています。
• クアドラントアンテナは、全長が1波長の珍しいV字型アンテナで、2つの半波長水平素子が給電点で直角に交わる。^{[14]クアドラントアンテナは、低仰角から中仰角で主に}水平偏波を生成し、ほぼ全方向性の放射パターンを持つ。^[15]

1 つの実装では、ケージ要素を使用します (上記を参照)。結果として得られる要素の厚さにより、全波ダイポールの高駆動点インピーダンスが、オープンワイヤラインとの適切なマッチングに対応する値まで低下し、帯域幅 (SWR の観点から) が 1 オクターブまで増加します。これらは、HF バンド送信に使用されます。

• G5RVアンテナは、慎重に選択された長さの 300 Ω または 450 Ωツイン リード線を介して間接的に給電されるダイポール アンテナです。このツイン リード線は、標準の 50 Ω 同軸伝送線路に (バランを介して) 接続するためのインピーダンス整合ネットワークとして機能します。
• スローパー アンテナは、単一のタワーの上部に取り付けられた斜めの垂直ダイポール アンテナです。この要素は、センター フィードすることも、タワー上部の伝送線からアンバランス モノポール アンテナとしてエンド フィードすることもできます。エンド フィードの場合、モノポールの接地接続は、タワーまたは伝送線シールドを構成する 2 番目の要素として考えることができます。
• 逆V アンテナも同様に 1 つのタワーで支えられていますが、地面に向かって角度をつけた 2 つの対称要素を持つバランス型アンテナです。つまり、中央が曲がっている半波長ダイポールです。スローパーと同様に、このアンテナにはアンテナを高く上げながら1 つのタワーのみを必要とするという実用的な利点があります。
• AS -2259 アンテナは、近垂直入射スカイウェーブ(NVIS)によるローカル通信に使用される逆 V 型ダイポール アンテナです。

垂直アンテナ、マルコーニアンテナ、またはモノポールアンテナは、通常、底部で給電される単一素子アンテナです（不平衡伝送線路のシールド側はグランドに接続されています）。本質的には、ダイポールアンテナの半分と同じように動作します。グランド（またはグランドプレーン）は、反射器として機能する導電性表面であると考えられます（グランドの効果を参照）。反射像の垂直電流は、実際のアンテナの電流と同じ方向（したがって、グランドについて反射されない）および位相を持ちます。 ^{[7] （p 164）}導体とその像は、空間の上半分で一緒にダイポールとして機能します。ダイポールと同様に、共振（抵抗性給電点インピーダンス）を実現するためには、導体の高さが 1/4 波長に近い必要があります（半波長ダイポールの各導体のように）。

この空間の上側では、放射される電界は、同じ電流が供給される同様のダイポールによって放射される電界と同じ振幅を持ちます。したがって、放射される全電力は、同じ電流が供給されるダイポールの放射電力の半分になります。電流が同じなので、放射抵抗（直列インピーダンスの実数部）は、同等のダイポールの直列インピーダンスの半分になります。したがって、1/4波長モノポールのインピーダンスは^{[7] (p 173)}です。これを別の方法で見るには、電流I を受け取る真のダイポールの端子の電圧は+Vと−Vで、端子間のインピーダンスは⁠2 です。${\textstyle \ {\frac {\ 73\ +\ j\ 43\ }{2}}=36\ +\ j\ 21\ {\mathsf {\Omega }}~.}$+五/ 私 一方、比較対象となる垂直アンテナには電流Iが流れますが、印加電圧はVのみです。

地上の電界はダイポールアンテナと同じですが、適用される電力は半分だけなので、利得は5.14 dBi に倍増します。これは、実際のパフォーマンス上の利点ではありません。実際には、ダイポールアンテナも電力の半分を地面から反射するため、アンテナの高さと空の角度に応じて、直接信号が増強される (または打ち消される) 可能性があります。モノポールアンテナの垂直偏波 (垂直に向けられたダイポールアンテナと同様) は、地面の反射が直接波とほぼ同位相で結合する低仰角で有利です。

アースはグランドプレーンとして機能しますが、導体として劣っており、損失につながる可能性があります。銅メッシュを敷くことで、導電性を（コストをかけて）向上させることができます。実際のグランドが利用できない場合（車両内など）、他の金属表面をグランドプレーンとして使用できます（通常は車両のルーフ）。または、アンテナのベースに配置されたラジアルワイヤでグランドプレーンを形成できます。VHF および UHF バンドの場合、放射要素とグランドプレーン要素は、剛性ロッドまたはチューブで構築できます。このような人工グランドプレーンを使用すると、アンテナとグランド全体を任意の高さに取り付けることができます。一般的な変更の 1 つは、グランドプレーンを形成するラジアルを下向きに傾斜させることです。これにより、フィードポイントのインピーダンスが約 50 Ω に上昇し、一般的な同軸ケーブルと一致します。真のグランドではなくなるため、バラン（単純なチョークバランなど）が推奨されます。

ダイポールアンテナの給電点インピーダンスは、その電気長と給電点の位置に敏感です。^{[8] [9]}そのため、ダイポールは一般にかなり狭い帯域幅でのみ最適に動作し、それを超えるとインピーダンスは送信機または受信機（および伝送線路）と整合しなくなります。電気長の関数としてのインピーダンスの実数（抵抗）および虚数（リアクタンス）成分は、添付のグラフに示されています。これらの数値の詳細な計算については以下で説明します。リアクタンスの値は導体の直径に大きく依存することに注意してください。このグラフは、直径が 0.001 波長の導体のものです。

信号の波長の半分よりはるかに小さいダイポールはショートダイポールと呼ばれます。これらは放射抵抗が非常に低く（容量性リアクタンスが高い）、非効率的なアンテナです。導体の有限抵抗が放射抵抗よりも大きいため、送信機の電流の多くは熱として消費されます。しかし、それでも長い波長の受信アンテナとしては実用的です。^[c]

長さが信号の波長の約半分であるダイポールは半波長ダイポールと呼ばれ、それ自体で、または派生的なアンテナ設計の基礎として広く使用されています。これらの放射抵抗は、利用可能な伝送線路の特性インピーダンスに非常に近く、通常は導体の抵抗よりもはるかに大きいため、効率は100% に近づきます。一般的な無線工学では、ダイポールという用語は、特に説明がない限り、センター給電式の半波長ダイポールを意味します。

真の半波長双極子は、長さが波長λの半分であり、λ = ⁠ c / ふ ⁠ 自由空間で。このようなダイポールの給電点インピーダンスは 73 Ω の抵抗と +43 Ω のリアクタンスで構成され、わずかに誘導性のリアクタンスを示します。このリアクタンスをキャンセルし、給電線に純粋な抵抗を与えるために、要素は係数k正味の長さは。 ${\displaystyle \ \ell \ }$

${\displaystyle \ \ell ={\frac {\ 1\ }{2}}\ k\ \lambda ={\frac {\ 1\ }{2}}\ k\ {\frac {\ c\ }{f}}\ }$

ここで、λは自由空間波長、cは自由空間での光速、f は周波数である。給電点リアクタンスを除去する調整係数k は、導体の直径に依存し、 ^[17] 添付のグラフにプロットされている。相対的なスケールサイズk は、細いワイヤ (直径、0.00001 波長) の場合は約 0.98 から、太い導体 (直径、0.008 波長) の場合は約 0.94 の範囲である。これは、アンテナ長のリアクタンスへの影響 (上のグラフ) が細い導体でははるかに大きいため、正確に⁠ 1 /2⁠ λ。同じ理由で、より厚い導体を持つアンテナは、より広い動作帯域幅を持ち、その帯域幅で実用的な定在波比、その定在波比は残留リアクタンスによって低下します。

典型的なkが約0.95の場合、上記の補正アンテナ長の式は、メートル単位の長さに対して次のように表すことができます。 143 / ふ ⁠、またはフィート単位の長さは⁠ 468 / ふ ここ で fは メガヘルツ単位の周波数である。^[18]

⁠の奇数倍にほぼ等しい長さのダイポールアンテナ 1 /2⁠ λ も共振し、リアクタンスはワット両方の点ではるかに効率的な放射器の 1 つのサイズは、長さが⁠のダイポールです 5 /4⁠ 波。近づかない⁠ 3 /2⁠ 波の場合、このアンテナのインピーダンスは大きな（負の）リアクタンスを持ち、誘導性インピーダンス整合ネットワーク（タップ付きローディングコイルまたはいわゆるアンテナチューナー）でのみ使用できます。このようなアンテナは、それほど長くないダイポールアンテナのゲインが最も高くなるため、望ましい長さです。

ダイポールは、ワイヤ軸に垂直な平面では全方向性で、放射は軸上でゼロになります (アンテナの端から外れた部分)。半波長ダイポールでは、放射はアンテナに垂直な部分で最大になり、軸上でゼロに減少します。3次元での放射パターン(図を参照) は、導体を中心に対称なトロイド(ドーナツ型)としてほぼプロットされます。垂直に取り付けると、水平方向に最大放射が発生します。水平に取り付けると、放射は導体に対して直角 (90°) でピークになり、ダイポールの方向にゼロになります。 ${\displaystyle \ (\ \sin \theta \ )^{2}\ }$

電気的非効率性を無視すると、アンテナ利得は指向性利得に等しく、短いダイポールアンテナの場合は1.50（1.76 dBiまたは-0.39 dBd）で、半波長ダイポールアンテナの場合は1.64（2.15 dBiまたは0 dBd）に増加します。  5 /4⁠ 半波長ダイポールでは、利得が約 5.2 dBi までさらに増加するため、アンテナが共振から外れてもこの長さが望ましいことになります。これより長いダイポールは、複数のローブを持つ放射パターンを持ち、最も強いローブに沿っても利得が低くなります (非常に指向性、ダイポールにコーナー リフレクタやダイポールのアレイを追加するなどの他の機能強化を検討できます。このようなアンテナ設計は、半波長ダイポールに基づいていますが、通常は独自の名前が付けられています。

理想的には、半波長ダイポールには、その典型的な 65～70 Ω の入力インピーダンスに一致する平衡伝送線路を使用して給電する必要があります。同様のインピーダンスを持つツインリード線も入手可能ですが、めったに使用されず、ほとんどのラジオやテレビ受信機の平衡アンテナ端子に一致しません。より一般的なのは、一般的な 300 Ω ツインリード線を折り返しダイポールと組み合わせて使用​​することです。半波長折り返しダイポールの駆動点インピーダンスは、単純な半波長ダイポールの 4 倍であるため、300 Ω の特性インピーダンスに密接に一致します。^{[19] [全文引用必要]}ほとんどの FM 放送バンドチューナーと古いアナログテレビには、平衡 300 Ω アンテナ入力端子が含まれています。ただし、ツインリード線には、近くにある他の導体（アースを含む）によって電気的に妨害されるという欠点があります。送信に使用する場合は、他の導体の近くに配置しないように注意する必要があります。

多くの種類の同軸ケーブル（または同軸）の特性インピーダンスは 75 Ω で、半波長ダイポールに適しています。ただし、同軸はシングルエンドのラインであるのに対し、センターフィードダイポールはバランスライン（ツインリードなど）を必要とします。対称性により、ダイポールの端子には等しいが反対の電圧があるのに対し、同軸は 1 つの導体が接地されていることがわかります。それでも同軸を使用すると、不平衡ラインになり、伝送線路の 2 つの導体に沿った電流は等しくなく、反対ではなくなります。伝送線路に沿って正味の電流が流れるため、伝送線路自体がアンテナになり、結果は予測できません（伝送線路の経路に依存するため）。^[20]これにより、通常、アンテナの意図した放射パターンが変わり、送信機または受信機で見られるインピーダンスが変わります。

同軸ケーブルをダイポールアンテナで使用するにはバランが必要です。バランはシングルエンド同軸と平衡アンテナの間で電力を転送しますが、インピーダンスがさらに変化することもあります。バランは、インピーダンス変換も可能な変圧器として実装できます。これは通常、フェライト トロイダルコアに巻かれています。トロイドコアの材質は使用周波数に適したものでなければならず、送信アンテナでは飽和を避けるために十分な大きさでなければなりません。^[21]その他のバラン設計については以下で説明します。^{[22] [23]}

電流バランは、フェライトなどの磁性材料のトロイドまたはロッドに巻かれた変圧器を使用します。入力で見られるすべての電流は、バランスアンテナの1つの端子に流れます。これは、コモンモード電流を絞ることでバランを形成します。目的の差動電流に変圧器の作用が適用されないため、1：1では材料は重要ではありません。^{[24] [25]} 関連する設計では、2つの変圧器が使用され、1：4のインピーダンス変換が含まれます。^{[20] [24]}

同軸バランはフィーダー放射を除去するコスト効率の高い方法ですが、動作周波数の範囲が限られています。

バランを作る簡単な方法の 1 つは、波長の半分の長さの同軸ケーブルを使用することです。ケーブルの内芯は、両端でフィーダまたはダイポールのバランス接続の 1 つに接続されます。これらの端子の 1 つを同軸フィーダの内芯に接続します。3 つの編組はすべて一緒に接続します。これで 4:1 バランが形成され、狭い周波数帯域でのみ正常に動作します。

VHF周波数では、スリーブバランを構築してフィーダー放射を除去することもできます。^[26]

もう一つの狭帯域設計は、⁠  1 /4⁠ λ の長さの金属パイプ。同軸ケーブルはパイプ内に配置され、一方の端では編組がパイプに接続され、もう一方の端ではパイプに接続されていません。このバランのバランス端は、パイプに接続されていない端にあります。⁠  1 /4⁠ λ 導体は変圧器として機能し、編組への短絡でのゼロインピーダンスを開放端での無限インピーダンスに変換します。パイプの開放端でのこの無限インピーダンスにより、内側の同軸シールドの外側とパイプによって形成される外側の同軸に電流が流れ込むのを防ぎ、電流を内側の同軸に留めます。このバラン設計は、必要なパイプの長さが長くなるため、低周波数では実用的ではありません。

ダイポール アンテナの最も一般的な用途の 1 つは、放送テレビ受信機の上にあるラビット イヤーまたはバニー イヤー テレビ アンテナです。これは、米国では 54～88 MHz (バンド I ) および 174～216 MHz (バンド III ) で構成され、波長は 5.5～1.4 m である VHF 地上テレビ帯域を受信するために使用されます。この周波数範囲は 1 つの固定ダイポール アンテナがカバーできる範囲よりもはるかに広いため、数段階の調整が可能です。これは 2 本の伸縮ロッドで構成されており、それぞれ約 1 m の長さ (75 MHz で 4 分の 1 波長) まで延長できます。セグメントの長さ、垂直に対する角度、コンパス角度を制御することで、アンテナ ローターを装備している場合でも、屋上アンテナで受信を最適化する際の柔軟性が大幅に高まります。

テレビの広い周波数帯域とは対照的に、FM 放送帯域 (88-108 MHz) は、ダイポール アンテナでカバーできるほど狭い。家庭での固定使用の場合、Hi-Fiチューナーには通常、その帯域の中心付近で共振する単純な折り返しダイポールが付属している。折り返しダイポールの給電点インピーダンスは単純なダイポールの 4 倍であり、300 Ω のツイン リードとよく一致するため、チューナーへの伝送線には通常これが使用される。一般的な構造は、折り返しダイポールのアームもツイン リードで作成し、両端を短絡させることである。この柔軟なアンテナは、モールディングの輪郭に沿って壁にテープで貼り付けたり、釘で固定したりできるので便利である。

水平ワイヤダイポールアンテナは、 HF 短波帯の送信と短波受信の両方でよく使用されます。通常、中央の給電点にある張力絶縁体で結合された2本のワイヤで構成されます。両端は、既存の建物、構造物、または木に取り付けることができ、高さを利用できます。送信に使用する場合は、アンテナの高電圧腹がそこに発生するため、十分に高いフラッシュオーバー電圧を持つ張力絶縁体を介してアンテナの両端を支柱に取り付けることが不可欠です。バランスアンテナであるため、 （同軸）伝送線と給電点の間に バランを使用して給電するのが最適です。

これらは、一時的な使用や現場での使用のために簡単に設置できます。また、構造が簡単で安価であるため、固定された場所でアマチュア無線家や短波リスナーによって広く使用されています。その一方で、共振アンテナ要素がかなりの大きさを必要とする周波数で共振アンテナを実現しています。これらは、大きな指向性が望ましくない場合のこれらの周波数に対する魅力的なソリューションであり、自宅で異なる周波数帯域用にこのような共振アンテナをいくつか構築するコストは、市販のアンテナ 1 つよりもはるかに低い場合があります。

MFおよびLFラジオ局のアンテナは通常、マスト ラジエーターとして構築され、垂直マスト自体がアンテナを形成します。マスト ラジエーターはモノポールが最も一般的ですが、ダイポールのものもあります。マストの金属構造は、中間点で 2 つの絶縁セクションに分割され^[要出典]、中間点で駆動される垂直ダイポールを形成します。

多くの種類のアレイ アンテナは、複数のダイポール (通常は半波長ダイポール) を使用して構築されます。複数のダイポールを使用する目的は、アンテナの指向性ゲインを単一のダイポールのゲインよりも増加させることです。個別のダイポールの放射が干渉し、目的の方向に放射される電力が強化されます。複数のダイポール駆動エレメントを持つアレイでは、共通ポイントと各エレメント間の伝送による相対的な位相遅延に細心の注意を払いながら、電気ネットワークを使用して給電線を分割してエレメントに電力を供給します。

水平方向のアンテナ利得を増大させるためには（空や地面への放射を犠牲にして）、アンテナが同位相で給電されるブロードサイド アレイでアンテナを垂直方向に積み重ねることができます。水平ダイポール アンテナでこれを行うと、それらのダイポールの指向性と、そのエレメントの方向のヌルが維持されます。ただし、各ダイポールが垂直に向けられている場合、いわゆるコリニア アンテナ アレイ（図を参照）では、そのヌル方向が垂直になり、アレイは通常望まれるように（水平面で）全方向性放射パターンを獲得します。垂直コリニア アレイは、エレメントのサイズが十分に小さい波長の VHF および UHF 周波数帯で使用され、マスト上に実際にいくつか積み重ねることができます。これらは、警察、消防、タクシーのディスパッチャーなどの 移動双方向無線用の固定基地局で使用される1/4 波長グランド プレーン アンテナの、より利得の高い代替品です。

一方、回転アンテナ（または特定の方向にのみ使用されるアンテナ）の場合、特定の水平方向のゲインと指向性を高めることが望まれる場合があります。前述のブロードサイドアレイ（共線的であるかどうかに関係なく）を水平にすると、アンテナに垂直な水平方向のゲインが高まりますが、他のほとんどの方向のゲインは低下します。残念ながら、これは、必要な方向の反対方向のゲインも高くなることを意味しますが、通常、高ゲインが望まれるのは 1 つの方向だけです。ただし、反対方向に無駄になる電力は、たとえば、反射アレイアンテナで実現されているように、大きな平面反射器を使用して方向を変えることで、必要な方向のゲインをさらに 3 dB 増加させることが できます。

単方向アンテナの別の実現法は、エンドファイアアレイです。この場合、ダイポールは再び並んでいますが（共線ではありません）、進行位相で給電され、一方向では波がコヒーレントに加算され、反対方向では打ち消されるように配置されています。そのため、ブロードサイドアレイのようにアレイ方向に対して垂直になるのではなく、指向性はアレイ方向（つまり、給電点を結ぶ線の方向） にありますが、反対方向の 1 つは抑制されます。

複数の駆動素子を備えた上記のアンテナには、信号の分割、位相調整、素子への分配、インピーダンス整合などの複雑な給電システムが必要です。より頻繁に使用される別の種類のエンドファイア アレイは、いわゆる寄生素子の使用に基づいています。一般的な高利得八木アンテナでは、ダイポールのうち 1 つだけが実際に電気的に接続されていますが、他のダイポールは駆動素子によって供給される電力を受信して​​再放射します。この場合、位相調整は寄生素子の長さと位置を慎重に選択することで実現され、ゲインを 1 方向に集中させ、反対方向 (および他のすべての方向) への放射を大幅にキャンセルします。実現されるゲインは同じ数の素子を備えた駆動アレイよりも低くなりますが、電気接続が簡単なため、八木アンテナは民生用途でより実用的になります。

アンテナ利得は、半波長ダイポールに対するデシベルで測定されることがよくあります。その理由の 1 つは、実際のアンテナ測定では、特定の距離にあるテスト対象のアンテナの電界強度と比較するための基準強度が必要になるためです。等方性放射体というものはありませんが、半波長ダイポールはよく理解され、動作も確認されており、ほぼ 100% の効率になるように構築できます。ダイポール自体によって得られる利得は基本的に「無料」であるため、指向性利得がこれより小さいアンテナ設計はほとんどないため、より公平な比較になります。

ダイポールを基準にして測定されたゲインの場合、アンテナのゲインは「 x dBd」であると言われます(デシベルを参照) 。多くの場合、ゲインは等方性放射器を基準にして表現され、ゲインが高く見えるようになります。半波長ダイポールの既知のゲインを考慮すると、0 dBd は 2.15 dBi と定義されます。つまり、「dBi」単位のすべてのゲインは、「dBd」単位のゲインよりも 2.15 高くなります。

ヘルツダイポールまたは基本ダブレットは、物理的なアンテナ設計ではなく、理論的な構造を指します。これは、全長 (短い) にわたって一定の振幅と方向を持つ RF 電流を運ぶ、理想的な小さな導体セグメントです。実際のアンテナは、多数のヘルツ ダイポールを端から端まで並べた組み合わせとしてモデル化できます。

ヘルツ双極子は、特定の位置で微小または無限小の長さにわたって有限の振動電流 (特定の方向) として定義できます。ヘルツ双極子からのフィールドの解は、実際のアンテナの電流パターンを構成する多数のヘルツ双極子からのフィールドの重ね合わせを形成することにより、より複雑なアンテナ形状 (実際の双極子など) からの放射の解析的または数値的計算の基礎として使用できます。位置の関数として、基本電流要素に無限小の長さを乗じると、結果として得られるフィールド パターンは、アンテナ導体 (細いワイヤとしてモデル化) のパスの 積分に縮小されます。${\displaystyle \ I\ e^{i\omega t}\ }$${\displaystyle \ \delta \ell \ }$${\displaystyle \ I\!\left(\mathbf {r} \right)\ ,}$${\displaystyle \ \delta \ell \ ,}$

以下の導出では、すべての量の正弦波の時間依存性を理解した上で、電流が 方向、つまり原点 を中心とするものと仮定します。最も単純な方法は、遅延ポテンシャルの公式を使用してベクトルポテンシャルを計算することです。 の値は一意ではありませんが、ローレンツ ゲージ を採用して制約し、正弦波電流がラジアン周波数であると仮定すると、場の遅延は位相係数に変換されます。ここで、自由空間の波数であり、は考慮している点から原点 (電流源があると仮定した場所) までの直線距離であるため、 となります。これにより^[27]、位置 の ベクトルポテンシャルがその電流要素のみによって生じ、これは純粋に方向 (電流の方向) であることがわかります。 ${\displaystyle \ z\ }$${\displaystyle \ x=y=z=0\ ,}$${\displaystyle \ e^{i\omega t}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} \right)\ }$${\displaystyle \ \mathbf {A} \ }$${\displaystyle \ \omega \ }$${\displaystyle \ e^{-ikr}\ ,}$${\textstyle \ k={\frac {\omega }{\ c\ }}\ }$${\displaystyle \ r\ }$${\displaystyle \ r\equiv \left|\ \mathbf {r} \ \right|~.}$${\displaystyle \ \mathbf {A} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {r} \ }$${\displaystyle \ z\ }$

${\displaystyle \mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} \right)=I\ \delta \ell \ {\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi r\ }}\ e^{-ikr}\ {\hat {\mathbf {z} }}\ }$

ここで、は自由空間の透磁率です。次に、 ${\displaystyle \ \mu _{0}\ }$

${\displaystyle \ \mu \mathbf {H} =\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ }$

磁場を解くことができ、そこから（ローレンツゲージを選択したかどうかに応じて）電場を次の ように解くことができる。${\displaystyle \ \mathbf {H} \ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {E} \ }$

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\ \nabla \times \mathbf {H} \ }{i\omega \epsilon }}}$

球座標 では、磁場は次の方向の成分のみを持つことがわかります^{[12] (pp 92–94)}。 ${\displaystyle \ \mathbf {H} \ }$${\displaystyle \ \phi \ }$

${\displaystyle \mathbf {H} =H_{\phi }\ {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}$

どこ

${\displaystyle H_{\phi }=i{\frac {\ I\ \delta \ell \ }{4\pi }}\left({\frac {\ k\ }{r}}-{\frac {i}{\ r^{2}}}\right)\ e^{-ikr}\ \sin \theta \ ,}$

一方、電場は 方向と方向の両方の成分を持ちます。 ${\displaystyle \ \theta \ }$${\displaystyle \ r\ }$

${\displaystyle \mathbf {E} =E_{\theta }\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}}+E_{r}\ {\hat {\mathbf {r} }}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\theta }&=i{\frac {\ \zeta _{0}\ I\ \delta \ell \ }{4\pi }}\left({\frac {\ k\ }{r}}-{\frac {i}{\ r^{2}}}-{\frac {1}{\ k\ r^{3}}}\right)\ e^{-ikr}\ \sin \theta \ ,\\[2pt]E_{r}&={\frac {\ \zeta _{0}\ I\ \delta \ell \ }{2\pi }}\left({\frac {1}{\ r^{2}\ }}-{\frac {i}{\ kr^{3}}}\right)\ e^{-ikr}\ \cos \theta \ ,\end{aligned}}}$

は自由空間のインピーダンスです。 ${\displaystyle \ \zeta _{0}\equiv {\sqrt {{\frac {\ \mu _{0}\ }{\epsilon _{0}}}\;}}\ }$

この解には、ソースの近くでは非常に強いが放射されない近傍場項が含まれています。添付の​​アニメーションでわかるように、ソースに非常に近いおよびフィールドはほぼ 90° 位相がずれているため、放射フラックスを計算するポインティング ベクトルにはほとんど寄与しません。アンテナ要素の近傍場解 (この式を使用してその要素の長さにわたって積分したもの) は、その要素と別の近傍要素間の 相互インピーダンスを計算するために使用できるフィールドです。${\displaystyle \ \mathbf {E} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {H} \ }$

遠方場放射パターンの計算では、上記の式は、次の項のみが重要であるように簡略化される。^{[12] (pp 92–94)}${\textstyle \ {\frac {\ 1\ }{r}}\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\phi }&=i{\frac {\ I\ \delta \ell \ k\ }{4\pi r}}\ e^{-ikr}\ \sin \theta \ ,\\[2pt]E_{\theta }&=i{\frac {\ \zeta _{0}\ I\ \delta \ell \ k\ }{4\pi r}}\ e^{-ikr}\ \sin \theta ~.\end{aligned}}}$

したがって、遠方場パターンは、電界と磁界が互いに直角で、伝播方向（発生源が原点にあると仮定した場合の の方向）に対して直角である横方向電磁波（TEM）で構成されていることがわかります。方向の電気分極は、発生源電流（ 方向）と同一平面にあり、一方、方向の磁界はそれに対して直角です。これらの方程式から、またアニメーションからもわかるように、これらの距離における場は と正確に同位相です。両方の場は に従って減少し、その電力は に従って減少するため、逆二乗則に従って減少します。 ${\displaystyle \ \mathbf {r} \ }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \ z\ }$${\displaystyle \ \phi \ }$${\textstyle \ {\frac {\ 1\ }{r}}\ ,}$${\textstyle \ {\frac {1}{\ r^{2}}}\ }$

与えられたアンテナ電流による遠距離場放射パターンがわかれば、放射抵抗を直接計算することができます。ヘルツ双極子による上記の場については、ポインティング ベクトルに従って電力フラックスを計算でき、その結果、(1 サイクルの平均として) 次の電力が得られます。

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {\ 1\ }{2}}{\mathcal {R_{e}}}\left\{\ \mathbf {E} \times \mathbf {H} ^{*}\ \right\}=\langle S_{\mathsf {r}}\rangle \ {\hat {\mathbf {r} }}+\langle S_{\mathsf {\phi }}\rangle \ {\hat {\boldsymbol {\phi }}}~.}$

が増加すると、 は成分に比べてわずかに小さくなります。必須ではありませんが、 とのより単純な遠方場表現を使用して、が大きくなると に近づく漸近値のみを扱うのが最も簡単です。半径 を持つソースを囲む大きな球を考えてみましょう。方向のその球の表面を横切る単位面積あたりの電力は次のようになります。 ${\displaystyle \ r\ }$${\displaystyle \ \langle S_{\mathsf {\phi }}\rangle \ }$${\displaystyle \ \langle S_{\mathsf {r}}\rangle \ }$${\displaystyle \ \langle S_{\mathsf {r}}\rangle \ }$${\displaystyle \ r\ }$${\displaystyle \ \mathbf {E} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {H} ~.}$${\displaystyle \ r~.}$${\displaystyle \ {\hat {\mathbf {r} }}\ }$

${\displaystyle \left\langle S_{\mathsf {r}}\right\rangle ={\frac {\ \zeta _{0}\ }{2}}\ \left({\frac {\ \left|I\right|\ k\ \delta \ell \ }{4\pi r}}\ \sin \theta \right)^{2}\ }$

このフラックスを球全体にわたって積分すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathsf {net}}&=\int _{0}^{2\pi }\!\!\int _{0}^{\pi }\left|\langle S_{\mathsf {r}}\rangle \right|\ r^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} {\phi }\ \mathrm {d} \theta ={\tfrac {\ 1\ }{2}}\zeta _{0}\ \left({\frac {\ \left|I\right|\ k\ \delta \ell \ }{4\pi }}\right)^{2}\int _{0}^{2\pi }\!\!\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \ \mathrm {d} {\phi }\ \mathrm {d} \theta \\&={\frac {\zeta _{0}}{\ 12\pi \ }}\left(\left|I\right|\ k\ \delta \ell \right)^{2}={\frac {\ \pi \ }{3}}\zeta _{0}\ \left(\left|I\right|{\frac {\ \delta \ell \ }{\lambda }}\right)^{2}\end{aligned}}}$

ここで、はラジアン周波数に対応する自由空間波長です。定義により、放射抵抗に電流の2乗の平均を掛けたものがその電流によって放射される正味電力であるため、上記を次のように等しくすると次のようになります。 ${\displaystyle \ \lambda =2\pi /k\ }$${\displaystyle \ \omega ~.}$${\displaystyle R_{\text{rad}}}$${\textstyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\left|\ I\ \right|^{2}\ }$${\textstyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\left|I\right|^{2}R_{\text{rad}}\ }$

${\displaystyle R_{\text{rad}}={\tfrac {\ 2\ \pi \ }{3}}\zeta _{0}\ \left({\frac {\ \delta \ell \ }{\lambda }}\right)^{2}~.}$

この方法は、特定のアンテナ電流に関して遠方場放射パターンが判明しているアンテナの放射抵抗を計算するために使用できます。導体の抵抗損失を無視すると、放射抵抗 (給電点を基準として) は給電点インピーダンスの抵抗 (実数) 成分と同一になります。残念ながら、この演習では給電点インピーダンスの無効 (虚数) 成分については何もわかりません。この計算については以下で説明します。

ポインティングベクトルによって与えられた放射フラックスの上記の式を使用して、ヘルツ双極子の指向性ゲインを計算することもできます。上で計算した総電力をで割ると、すべての方向で平均されたフラックスが次のように 求められます。${\displaystyle 4\pi r^{2}}$${\displaystyle \ P_{\text{avg}}\ }$

${\displaystyle \ P_{\text{avg}}={\frac {P_{\text{net}}}{\ 4\pi \ r^{2}}}={\frac {\zeta _{0}}{\ 48\pi ^{2}\ r^{2}}}k^{2}\ \left|I\right|^{2}\ \left(\delta \ell \right)^{2}~.}$

特定の方向に放射されるフラックスを割ると、指向性ゲインが得られる。${\displaystyle \ P_{\text{avg}}\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {\mathsf {G}} \left(\theta \right)\ :}$

${\displaystyle \ \operatorname {\mathsf {G}} \left(\theta \right)={\frac {\ \left\langle \mathbf {S} _{\mathsf {r}}\right\rangle \ }{P_{\text{avg}}}}={\tfrac {\ 3\ }{2}}\sin ^{2}\theta \ }$

一般的に引用されるアンテナの「ゲイン」は、ゲイン パターン (放射パターン) のピーク値を意味し、1.5 ～ 1.76 dBi であり、実質的に他のどのアンテナ構成よりも低いことが分かっています。

ヘルツ ダイポールは、上で説明した短いダイポールと似ていますが、異なります。どちらの場合も、導体は波長に比べて非常に短いため、半波長ダイポール (たとえば) に存在する定在波パターンは存在しません。ただし、ヘルツ ダイポールでは、その導体に沿った電流がその短い長さにわたって一定であると指定しました。これにより、ヘルツ ダイポールは、実際のアンテナの導体のすべての微小セクションをヘルツ ダイポールとしてモデル化し、その実際のアンテナに流れる電流を検出する、より複雑なアンテナ構成の解析に役立ちます。

しかし、RF 電圧が供給される短い導体では、その短い範囲でも電流は均一にはなりません。むしろ、現実の短いダイポールは、給電点では給電点電流に等しい電流を流しますが、その短い導体の長さにわたって直線的にゼロに減少します。導体の端に金属球などの容量性帽子を配置すると、その自己容量によって導体からの電流を吸収し、ヘルツ ダイポールに想定される一定電流をより正確に近似することができます。しかし、ヘルツ ダイポールは、アンテナ解析のための理論的な構成としてのみ意図されています。

給電点電流が である短いダイポールでは、各導体上の平均電流はのみです。長さ のヘルツ ダイポールの上記のフィールド方程式は、その有効電流を使用して短いダイポールの実際のフィールドを予測します。これにより、要素電流を と仮定した場合、遠方フィールドで測定される電力は、ポインティング ベクトルの大きさに関する上記の式で与えられる電力の4 分の 1になります。したがって、短いダイポールについて計算された放射抵抗は、ヘルツ ダイポールについて上で計算された放射抵抗の 4 分の 1 であることがわかります。ただし、それらの放射パターン (およびゲイン) はそれ以外は同じです。 ${\displaystyle \ I_{0}\ ,}$${\textstyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\ I_{0}~.}$${\displaystyle \ \delta \ell \ }$${\textstyle \ I={\tfrac {\ 1\ }{2}}\ I_{0}~.}$${\displaystyle \ \langle S_{\mathsf {r}}\rangle \ }$${\displaystyle \ I_{0}~.}$

さまざまな長さのダイポールの給電点で見られるインピーダンスは、そのインピーダンスの実数（抵抗）成分R_{ダイポール}と虚数（リアクタンス）成分j X_{ダイポール}に関して上にプロットされています。完全導体（抵抗損失なし）のアンテナの場合、R_{ダイポール は}放射抵抗と同一であり、短いダイポールの場合に示したように、与えられた印加電流に対する遠方場放射パターンの全電力からより簡単に計算できます。 X_{ダイポール}の計算はより困難です。

誘導起電力法 を用いると、給電点インピーダンスの両方の成分について閉じた形式の式が得られる。このような結果は上にプロットされている。この解は、アンテナ導体に沿った電流分布の形状に関する仮定に依存する。波長対素子直径比が約60より大きい場合、長さ ⁠の各アンテナ素子に沿った電流分布は、 1 /2⁠ Lは アンテナz、要素の端で電流がゼロになるという 非常によく近似されています^[27]。ここでz = ⁠± + 1 /2⁠ L、 次のようになります。

${\displaystyle \ I(z)=A\sin {\Bigl (}\ k\left({\tfrac {\ 1\ }{2}}\ L-\left|z\right|\right)\ {\Bigr )}\ ,}$

ここでkは波数であり、k = ⁠  2π ​ / λ ⁠ = ⁠ 2πf ​ / c ⁠、振幅Aはz = 0における指定された駆動点電流と一致するように設定されます。

近似的に正弦波状の電流分布を仮定できる場合、この方法は、コサイン積分関数 Si( x ) とサイン積分関数  Ci( x ) を使用して、閉じた形式で駆動点インピーダンスを解きます。全長 L の双極子の場合、駆動点インピーダンスの抵抗成分とリアクタンス成分は次のように表すことができます。^{[28] [d]}

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathsf {dipole}}={\frac {\zeta _{0}}{\ 2\pi \sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}kL\right)\ }}{\Biggl \{}\ \gamma _{e}+\ln(kL)-\operatorname {Ci} (kL)+{}&{\tfrac {1}{2}}\sin(kL)\,{\Bigl [}+\operatorname {Si} (2kL)-2\operatorname {Si} (kL)\ {\Bigr ]}\\{}+{}&{\tfrac {1}{2}}\cos(kL)\,{\Big [}+\operatorname {Ci} (2kL)-2\operatorname {Ci} (kL)+\gamma _{e}+\ln \left({\tfrac {1}{2}}kL\right)\ {\Bigr ]}\ {\Bigg \}}\ ,\\X_{\mathsf {dipole}}={\frac {\zeta _{0}}{\ 2\pi \sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}kL\right)\ }}{\Biggl \{}{}+\operatorname {Si} (kL)+{}&{\tfrac {1}{2}}\cos(kL)\,{\Bigl [}-\operatorname {Si} (2kL)+2\operatorname {Si} (kL)\ {\Bigr ]}\\{}+{}&{\tfrac {1}{2}}\sin(kL)\,{\Bigl [}+\operatorname {Ci} (2kL)-2\operatorname {Ci} (kL)+\operatorname {Ci} \left({\tfrac {\;2ka^{2}\ }{L}}\right)\ {\Bigr ]}\ {\Biggr \}}\ ,\end{aligned}}}$

ここで、aは導体の半径、kは上で定義した波数、ζ _0は空の空間のインピーダンス で、空気のインピーダンスとほぼ同じです: ζ ₀ ≈ 377 Ω、はオイラー定数です。一部の著者は、異なる関数Cin を使用する同等の代替形式を好んでいます 。^[e] ${\displaystyle \ \gamma _{e}=0.57721566\ \ldots \ }$

誘導起電力法は正弦波電流分布の仮定に依存しており、波長対素子直径比が約60より大きい限り、約10％以上の精度を実現します。^[27]しかし、さらに大きな導体の場合は、導体の電流分布を解く数値解が必要です（正弦波パターンを仮定するのではなく）。これは、ポックリントンの積分微分方程式またはハレン積分方程式の近似解に基づくことができます。^[7]これらのアプローチは、線形導体に限定されないため、より一般性があります。

どちらの数値解も、その電流を基底関数のセットに展開する必要があるモーメント法解を使用して実行されます。1 つの簡単な (ただし最善ではない) 選択肢は、たとえば、導体をN個のセグメントに分割し、各セグメントに沿って一定の電流を想定することです。適切な重み関数を設定した後、N × N行列の逆行列によってコストを最小限に抑えることができます。各行列要素の決定には、重み関数を含む少なくとも 1 つの二重積分が必要であり、計算量が多くなる場合があります。重み関数が単純なデルタ関数である場合は、これらは簡素化されます。これは、導体に沿った電流の境界条件をN 個の離散点のみに適合させることに相当します。次に、N × N行列を逆行列化する必要があり、これもN が増加するにつれて計算量が多くなります。1 つの簡単な例として、Balanis (2011) は、Pocklington 法を使用して異なるNでのアンテナ インピーダンスを見つけるためにこの計算を実行し、N > 60で解が限界値に数パーセント以内で近づくことを発見しました。^[7]

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• 「あなたの最初の HF ダイポール」。eham.net。— シンプルで完全なチュートリアル

• 「ダイポール記事」。アンテナと伝播。electronics -notes.com。— さまざまな形態の双極子に関する一連の記事の索引