ダイポールアンテナ

短ダイポールは、全長ℓが半波長（1 / 2λ）よりもかなり短い2本の導体で構成されるダイポールです。短ダイポールは、半波長ダイポールでは大きすぎる用途で使用されることがあります。短ダイポールは、架空のヘルツダイポールについて以下に示す結果を使用して簡単に解析できます。共振アンテナ（半波長）よりも短いため、給電点インピーダンスには大きな容量性リアクタンスが含まれており、特に送信アンテナとして実用的にするには、負荷コイルまたはその他の整合回路が必要です。

短い双極子によって生成される遠方場の電場と磁場を求めるには、電流から距離rで電流の方向に対して角度θにあるヘルツ双極子 (微小電流要素) について以下に示す結果を使用します。 ^{[ 11 ] (p132)}

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\mathrm {\phi } }\quad &=\quad j\ {\frac {\ I_{\mathrm {h} }\ \ell \ k\ }{4\pi \ r}}\ e^{\ j\ \left(\omega t\ -\ kr\right)}\ \sin(\ \theta \ )\\E_{\mathrm {\theta } }\quad &=\quad \zeta _{\mathrm {o} }\ H_{\mathrm {\phi } }\quad =\quad j\ {\frac {\ \zeta _{\mathrm {o} }\ I_{\mathrm {h} }\ \ell \ k\ }{4\pi \ r}}\ e^{\ j\ \left(\omega t\ -\ kr\right)}\ \sin(\ \theta \ )~.\end{aligned}}}$

ここで、放射器は電流から構成される。${\displaystyle \ I_{\mathrm {h} }\ e^{\ j\omega t}\ }$短い長さℓにわたって、${\displaystyle \ j^{2}\equiv -1\ }$電子工学では、 −1の平方根を表す慣習的な数学記号iを置き換えます。ωは角周波数 (ラジアン周波数) です(${\displaystyle \omega \equiv 2\pi f\ }$）kは波数（${\displaystyle \ k\equiv 2\pi /\lambda \ }$) ζ _0は自由空間のインピーダンスです( $\displaystyle \ \zeta _{\mathrm {o} }\approx 376.7\ {\mathsf {\Omega }}\ }$これは、自由空間平面波の電界強度と磁界強度の比です。

給電点は通常、図に示すようにダイポールの中心にあります。ダイポールアームに沿った電流は、おおよそ次の式で表されます。${\displaystyle \ \sin(\ k\ z\ )\ }$ここで、zはアームの最も近い端までの距離です。短いダイポールの場合、それは基本的に直線的な低下で、${\displaystyle \I_{\mathrm {o} }\ }$給電点ではゼロになり、終端ではゼロになる。したがって、これは、導体全体の平均電流に等しい実効電流I _{hを持つヘルツ双極子に匹敵する。}${\textstyle \ I_{\mathrm {h} }={\tfrac {\ 1\ }{2}}\ I_{\mathrm {o} }~.}$この置換により、上記の式は電流が供給される短い双極子によって生成される電場をほぼ近似する。${\displaystyle \I_{\mathrm {o} }~.}$

上記で計算した場から、任意の点における放射束（単位面積あたりの電力）を、ポインティングベクトルSの実部の大きさとして求めることができる。これは次式で与えられる。${\textstyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ^{*}~.}$EとHは直角で同位相なので、虚数部はなく、外積は${\textstyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\ E_{\mathrm {\theta } }\ H_{\mathrm {\phi } }^{*}\$ ;} 位相因子（指数関数）が相殺され、次の式が残ります。

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {\ 1\ }{2}}\ E_{\mathrm {\theta } }\ H_{\mathrm {\phi } }^{*}&={\frac {\ 1\ }{2}}\ {\frac {\ \zeta _{\mathrm {o} }\ I_{\mathrm {h} }^{2}\ \ell ^{2}\ k^{2}\ }{(4\pi r)^{2}}}\ \sin ^{2}\!(\ \theta \ )&={\frac {\ \zeta _{\mathrm {o} }\ }{32}}\ I_{\mathrm {o} }^{2}\ \left({\frac {\ \ell \ }{\lambda }}\right)^{2}\ {\frac {1}{\ r^{2}}}\ \sin ^{2}\!(\ \theta \ )~.\end{aligned}}}$

ここで、給電点電流I _oと短双極子の長さℓと放射波長λの比を用いてフラックスを表現した。放射パターンは次のように表される。${\displaystyle \ \sin ^{2}\!(\ \theta \ )\ }$半波長ダイポールアンテナの指向性と類似しており、指向性がわずかに劣る程度であることがわかる。

与えられた給電点電流に対する遠方界における放射を表す上記の式を用いて、全立体角にわたって積分することで、総放射電力を求めることができる。

${\displaystyle P_{\text{total}}={\frac {\ \pi \ }{12}}\ \zeta _{\mathrm {o} }\ I_{\mathrm {o} }^{2}\ \left({\frac {\ell }{\lambda }}\right)^{2}~.}$

そこから、放射抵抗を推測することが可能であり、これは給電点インピーダンスの抵抗（実数）部分に等しく、オーム損失による成分（小さいと仮定）は無視される。P _{total を}給電点に供給される電力に設定することで、${\textstyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\ I_{\mathrm {o} }^{2}\ R_{\mathrm {radiation} }\ }$我々は以下のことを発見した。

${\displaystyle \ R_{\mathrm {radiation} }={\frac {\ \pi \ }{6}}\ \zeta _{\mathrm {o} }\ \left({\frac {\ell }{\lambda }}\right)^{2}\approx \left({\frac {\ell }{\lambda }}\right)^{2}(197\ \Omega )~.}$

繰り返しますが、これらの近似は ℓ ≪ 1/2λ の場合に非常に正確になります。波長のこれほど大きな割合では使用が必ずしも有効ではないにもかかわらず、ℓ = 1 / 2λと設定すると、より正確な 1/4 波長正弦波電流を使用した場合に半波長ダイポールによって生成される実際の値 73 Ω ではなく、49 Ωの放射抵抗が予測されます。  

細い線状導体の基本共振は、自由空間波長が導線の長さの2倍となる周波数、すなわち導体の長さが1/2波長となる周波数で発生します。ダイポールアンテナはこの周波数付近で頻繁に使用されるため、半波長ダイポールアンテナと呼ばれます。この重要なケースについては、次のセクションで説明します。

長さの細い線状導体${\displaystyle \ \ell \ }$実際には、半波長の任意の整数倍で共鳴する。

${\displaystyle \ \ell =n\times {\frac {\ \lambda \ }{2}}\ }$

ここでnは整数であり、${\displaystyle \ \lambda ={\frac {\ c\ }{f}}\ }$は波長、cは放射導体内の電波の速度（c ≈ 97% × c _o、光速）です。ただし、中心給電ダイポールの場合、nが奇数か偶数かで大きな違いがあります。長さが半波長の奇数であるダイポールは、駆動点インピーダンスが比較的低く（その共振周波数では純粋に抵抗性です）、一方、長さが半波長の偶数、つまり波長の整数倍であるダイポールは、駆動点インピーダンスが高くなります（ただし、その共振周波数では純粋に抵抗性です）。

例えば、全波長ダイポールアンテナは、2本の半波長導体を端と端を合わせて配置することで、全長約${\displaystyle \ \ell \approx \lambda \ 。}$これにより、半波長ダイポールアンテナに比べて約2dBの利得が得られます。全波長ダイポールアンテナは、実効直径を非常に大きくし、高インピーダンスの 平衡線路から給電することによってのみ、短波放送で使用できます。大きな直径を得るために、ケージダイポールアンテナがよく用いられます。

5/4波長ダイポールアンテナは、給電点インピーダンスがはるかに低いものの、純粋な抵抗性ではないため、伝送線のインピーダンスに整合するネットワークが必要です。その利得は半波長ダイポールアンテナよりも約3dB高く、同程度の長さのダイポールアンテナの中では最高の利得となります。 

その他の妥当な長さのダイポールアンテナは利点がなく、ほとんど使用されません。ただし、半波長ダイポールアンテナの基本周波数の奇数倍の倍音共振は、時として利用されます。例えば、7 MHzの半波長ダイポールとして設計されたアマチュア無線アンテナは、21 MHz の 3/2波長ダイポールとして も使用できます。同様に、低 VHF テレビ帯域(中心周波数 65 MHz 付近)で共振する VHF テレビアンテナは、高VHF テレビ帯域 (中心周波数195 MHz 付近)でも共振します。   

半波長ダイポールアンテナは、長さが約ℓ = 1 / 2 λとなるように端と端を合わせて配置された 2 つの 1/4 波長導体で構成されています。電流分布は定在波であり、ダイポールの長さに沿ってほぼ正弦波状で、両端に節があり、中央 (給電点) に腹 (ピーク電流) があります。^{[ 12 ] (pp98–99)}

${\displaystyle I(z)=I_{0}\cos(\omega t)\cos(kz)\ ,}$

ここでk = 2π / λであり、zは− + 1/2 ℓから+ + 1/2 ℓまで変化する。​​​​​

遠方場では、これにより放射パターンが生成され、その電界は^{[ 12 ] (pp98–99)で与えられます。}

${\displaystyle \ E_{\theta }={\frac {\ \zeta _{0}I_{0}\ }{2\pi r}}\ {\frac {\ \cos \left({\frac {\pi }{2}}\ \cos \theta \right)\ }{\sin \theta }}\ \sin {(\omega t-kr)}~.}$

方向性要因${\textstyle \ {\frac {\cos \left[\ {\tfrac {\pi }{2}}\ \cos \theta \ \right]}{\sin \theta }}\ }$これは、短い双極子に適用されるsin θとほぼ同じであり、上記のように非常に類似した放射パターンをもたらします。^{[ 12 ] (pp98–99)}

放射電力の数値積分${\textstyle \ {\frac {\ |E_{\theta }|^{2}\ }{2\zeta _{0}}}\ }$短いダイポールの場合と同様に、全立体角にわたって、上記の形式でピーク値I ₀の電流を持つダイポールによって放射される全電力P _totalの値を取得します。P _totalを${\textstyle 4\pi r^{2}}$は、遠方での全方向平均のフラックスを供給します。その遠方でのθ = π/2方向 (フラックスが最大となる方向)のフラックスを平均フラックスで割ると、指向性ゲインは 1.64 となります。これは、コサイン積分 を使用して直接計算することもできます。

${\displaystyle G={\frac {4}{\ \operatorname {Cin} (2\pi )\ }}\approx 1.64~}$（2.15  dBi）

（コサイン積分の Cin(x) 形式は Ci ( x )形式とは異なり、対数だけ異なります。MATLABとMathematicaにはCi( x )を計算する組み込み関数がありますが、Cin( x )を計算する関数はありません。これらの関数の関係については、コサイン積分に関する Wikipedia のページを参照してください。 ） 

短距離双極子の場合と同様に、次の式を解くことで放射抵抗を求めることもできます。

${\displaystyle P_{\mathsf {total}}={\frac {1}{2}}I_{0}^{2}R_{\mathsf {radiation}}\ }$

入手するには：

${\displaystyle R_{\mathsf {radiation}}\approx 73.1\ {\mathsf {\Omega }}~.}$

誘導起電力法^{[ 11 ]（p224）}を用いると、駆動点インピーダンスの実数部もコサイン積分を用いて表すことができ、同じ結果が得られる。

${\displaystyle R_{\mathsf {radiation}}={\frac {\zeta _{0}}{\ 4\pi \ }}\operatorname {Cin} (2\pi )={\frac {\zeta _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\ 1-\cos \theta \ }{\theta }}\ \mathrm {d} \theta \ \approx \ 73.1\ {\mathsf {\Omega }}~.}$

半波長ダイポールアンテナを中央以外の点で駆動する場合、給電点抵抗は高くなります。放射抵抗は通常、アンテナ素子に沿って存在する最大電流を基準として表されますが、半波長ダイポールアンテナ（および他のほとんどのアンテナ）の場合、これは給電点の電流でもあります。ただし、ダイポールアンテナを電流最大値（半波長ダイポールアンテナの場合は中央）から距離x離れた別の点で給電する場合、その点の電流はI ₀ではなく、I ₀ cos( kx )となります。

同じ電力を供給するためには、給電点の電圧も同様にsec( kx )倍に増加させる必要がある。 したがって、給電点インピーダンスの抵抗部分は${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left[{\tfrac {V}{\ I\ }}\right]\ }$係数sec ² ( k x )によって増加します^{[ 11 ] (p227)} : 

${\displaystyle \ R_{\mathsf {feedpoint}}={\frac {\ R_{\mathsf {radiation}}\ }{\cos ^{2}(kx)}}\approx {\frac {73.1\ {\mathsf {\Omega }}}{\ \cos ^{2}(kx)\ }}\ }$

この式は、任意の長さのダイポールアンテナにも使用できます。ただし、_放射抵抗Rは電流最大値に対して計算されている必要があります。電流最大値は、半波長より長いダイポールアンテナの場合、一般的に給電点電流とは異なります。電流ノード付近でアンテナに給電する場合、cos( kx )がゼロに近づくため、この式は破綻することに注意してください。駆動点インピーダンスは確かに大きく上昇しますが、電流分布のモデルでは上記のように無視されている、素子の厳密には正弦波ではない電流の高次成分によって制限されます。^{[ 11 ] (p228)}

折り返しダイポールは、両端を平行なワイヤで接続した半波長ダイポールです。追加のワイヤがダイポールと同じ直径と断面積を持つ場合、ほぼ同一の放射電流が2つ発生します。結果として得られる遠方界放射パターンは、上述の単線ダイポールのものとほぼ同じですが、共振時の給電点インピーダンスが異なります。${\displaystyle \ R_{\mathsf {f.d.}}\ }$これは、単線ダイポールの給電点インピーダンスの4倍である。

折り返しダイポールアンテナは、厳密には折り返し全波長ループアンテナであり、ループの両端を折り曲げて、2本の平行なワイヤを平らな線状に圧縮したものです。広帯域幅、高い給電点インピーダンス、高効率といった特性は全波長ループアンテナに似ていますが、放射パターンは通常のダイポールアンテナに似ています。単一の半波長ダイポールの動作は理解しやすいため、全波長ループアンテナと折り返しダイポールアンテナはどちらも、両端で接続された2つの半波長ダイポールアンテナを並列に接続したものとして説明されることがよくあります。

高い給電点インピーダンス${\displaystyle \ R_{\mathsf {f.d.}}\ }$共振時、一定の電力に対して総放射電流が${\displaystyle \ I_{0}\ }$は各ワイヤの電流の2倍に等しく、したがって給電点の電流の2倍に等しい。平均放射電力を給電点で供給される平均電力に等しいとすると、次のように書ける。

${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{2}}\ R_{\mathsf {h.w.}}\ I_{0}^{2}={\frac {1}{2}}\ R_{\mathsf {f.d.}}\ \left({\frac {\ 1\ }{2}}\ I_{0}\right)^{2}\ ,}$

どこ${\displaystyle \ R_{\mathsf {h.w.}}\ }$は共振半波長ダイポールの低給電点インピーダンスである。したがって、

${\displaystyle \ R_{\mathsf {f.d.}}=4R_{\mathsf {h.w.}}\approx 292\ {\mathsf {\Omega }}~.}$

半波長折り返しダイポールアンテナは、FMラジオアンテナによく使用されます。室内壁に吊り下げられるツインリード線タイプのものには、FMチューナーが付属していることがよくあります。また、屋上設置型八木テレビアンテナの駆動素子としても広く使用されています。T²FDアンテナは、給電点の反対側の2本目の線に抵抗器を追加した折り返しダイポールアンテナです。

そのため、折り返しダイポールは、ツインフィードリボンケーブルなどの300Ω平衡伝送線路によく適合します。折り返しダイポールは、単一ダイポールよりも広い帯域幅を持ちます。給電側と折り返し側のワイヤ導体の厚さを変更することで、ダイポールの入力インピーダンスの値を広範囲の昇圧比で変換するために使用できます。 ^{[ 13 ]} 

厚さや間隔を変更する代わりに、3本目の平行線を追加することで、給電点インピーダンスを 単線ダイポールの9倍に高め、インピーダンスを658Ωに上昇させ 、開放線給電ケーブルとの良好なマッチングを実現し、アンテナの共振周波数帯域をさらに広げることができます。さらに平行線を追加することも可能です。アンテナには任意の数の平行線を追加でき、給電点インピーダンスは次のようになります。

${\displaystyle \ R_{\mathsf {rad}}\approx n^{2}\ \times \ 73{\mathsf {\ \Omega \ ,}}}$

どこ${\displaystyle \ n\ }$は、アンテナ内で並列に並べられ、両端が接続されている半波長長の平行線の数です。いわゆるフラットループ設計を改良して、ほぼ同等の性能を得るには、各平行線を同じ量だけ短くし、アンテナの両端に1本の容量性負荷線（ほぼ任意の方向に伸びており、多くの場合ぶら下がっている）を接続する方法もあります。負荷線の長さは、1本の平行線の不足分の長さに等しくなります。

ダイポールアンテナの形状には様々な改良が加えられており、それぞれに利点はあるものの、放射特性（低利得）はほぼ同じです。さらに、駆動素子として1つ以上のダイポール素子を設計に組み込んだ指向性アンテナも数多く存在し、その多くはこのページ下部の情報ボックスにリンクされています。

• ボウタイアンテナは、広がった三角形のアームを持つダイポールアンテナです。その形状により、通常のダイポールアンテナよりもはるかに広い帯域幅を実現しています。UHFテレビアンテナに広く使用されています。

• ケージダイポールは、同様の改良型で、ワイヤーのケージで作られた太い円筒形のダイポール素子を使用することで帯域幅を拡大したものです（写真参照）。これらは、中波帯および短波帯の広帯域アレイアンテナの一部で使用され、超水平線レーダーや電波望遠鏡などの用途に用いられています。
• ハローアンテナは、半波長ダイポールを円形に曲げたもので、円の平面内でほぼ均一な放射パターンが得られます。ハローの円が水平の場合、水平方向の直線ダイポールと比較して、天頂方向への電力損失がわずかで、ほぼ全方向性の水平偏波放射を生成します。実際には、著者の好みに応じて、曲げダイポールまたはループアンテナに分類されます。^{[ b ]}
• ターンスタイルアンテナは、直角に交差する2つのダイポールと、2つのダイポールに沿った電流間に1/4波長の位相差を生じさせる給電システムで構成されています。この形状により、2つのダイポールは電気的に相互作用しませんが、遠方界では電界が加算され、ほぼ等方的な放射パターンが生成されます。このパターンでは、素子の平面内では水平偏波、その他の角度では円偏波または楕円偏波となります。ターンスタイルアンテナは、重ねて同位相で給電することで全方向性ブロードサイドアレイを実現したり、位相をずらして円偏波のエンドファイアアレイを実現したりできます。
• バットウィングアンテナは、回転式アンテナの一種で、蝶ネクタイアンテナのように線状素子の幅を広げたものです。これは共振周波数を広げ、再調整なしでより広い帯域幅で使用できるようにするためです。複数個を積み重ねてアレイ状にすると、放射は全方向性となり、水平偏波で、低仰角での利得が増加するため、テレビ放送に最適です。
• Vアンテナは、中央に曲がりがあるダイポールアンテナで、アームが直線ではなく角度をつけて配置されています。
• 象限アンテナは、全長が全波長という珍しい「V」アンテナで、給電部で直角に交わる2つの半波長水平素子から構成されています。^{[ 14 ]}象限アンテナは、低～中程度の仰角では主に水平偏波を生成し、ほぼ全方向性の放射パターンを持ちます。^{[ 15 ]}

ある実装ではケージ素子を使用します（上記参照）。結果として得られる素子の厚みにより、全波ダイポールの高駆動点インピーダンスが開放線路との適切な整合を可能にする値まで低下し、帯域幅（SWRの観点から）が1オクターブまで拡大します。これらはHF帯伝送に使用されます。

• G5RVアンテナは、  300Ωまたは 450Ωのツインリード線を慎重に選定して間接給電するダイポールアンテナであり、このツインリード線はインピーダンス整合回路として機能し、 （バランを介して）標準的な50Ω 同軸伝送線路に接続されます。
• スローパーアンテナは、単一のタワーの頂上に取り付けられた傾斜した垂直ダイポールアンテナです。このアンテナは、タワー頂上の送電線から中央給電することも、不平衡モノポールアンテナとして端面給電することもできます。後者の場合、モノポールの接地接続は、タワーまたは送電線のシールドを構成する第2の要素とみなすことができます。
• 逆V字型アンテナも同様に単一のタワーで支持されますが、地面に向かって角度をつけた2つの対称な素子を持つ平衡アンテナです。つまり、中央に曲がりがある半波長ダイポールアンテナと言えます。スローパーアンテナと同様に、このアンテナも単一のタワーだけでアンテナを高く設置できるという実用的な利点があります。
• AS -2259アンテナは、近垂直入射電離層反射波（NVIS）によるローカル通信に使用される逆V型ダイポールアンテナです。

垂直アンテナ、マルコーニアンテナ、またはモノポールアンテナは、通常下部で給電される単一素子アンテナです（不平衡伝送線のシールド側が接地されています）。これは基本的にダイポールアンテナの半分と同じように動作します。接地（または接地平面）は、反射体として機能する導電性表面とみなされます（接地の影響を参照）。反射像の垂直電流は、実際のアンテナの電流と同じ方向（したがって接地に関して反射されません）と位相を持ちます。 ^{[ 7 ]（p164）}導体とその像は、空間の上半分でダイポールとして機能します。ダイポールと同様に、共振（抵抗性給電点インピーダンス）を達成するには、導体の高さが波長の4分の1に近い必要があります（半波長ダイポールの各導体と同様）。

この上方の空間では、放射される電界は、同じ電流で給電される同様のダイポールが放射する電界と同じ振幅を持ちます。したがって、全放射電力は、同じ電流で給電されるダイポールの放射電力の半分になります。電流が同じであるため、放射抵抗（直列インピーダンスの実数部）は、比較対象のダイポールの直列インピーダンスの半分になります。したがって、1/4波長モノポールのインピーダンスは[ ^{7 ] （ p173）}${\textstyle \ {\frac {\ 73\ +\ j\ 43\ }{2}}=36\ +\ j\ 21\ {\mathsf {\Omega }}~.}$これを別の角度から見ると、電流Iを受け取る真のダイポールアンテナの端子には+Vと−Vの電圧があり、端子間のインピーダンスは⁠ 2 + V / I ⁠となりますが、同等の垂直アンテナには電流Iがありますが、印加電圧はVのみです。

地上の電界はダイポールアンテナと同じだが、印加される電力は半分なので、利得は2倍の5.14 dBiとなる。実際にはダイポールアンテナも電力の半分を地面で反射するため、（アンテナの高さと天球の角度によっては）直接信号が増幅（または打ち消される）ことがあるため、これはそれ自体が実際の性能上の利点となるわけではない。モノポールアンテナの垂直偏波（垂直方向のダイポールアンテナと同様）は、地面からの反射波が直接波とほぼ同位相で合成される低仰角において有利である。

地面は接地面として機能しますが、導体として劣るため損失が生じる可能性があります。銅メッシュを敷設することで、その導電性を（コストはかかりますが）改善できます。実際の接地が利用できない場合（車両内など）、他の金属面を接地面として使用できます（通常は車両の屋根）。あるいは、アンテナの基部に配置されたラジアル線で接地面を形成することも可能です。VHF帯およびUHF帯では、放射素子と接地面素子を剛性の棒または管で構成できます。このような人工接地面を使用することで、アンテナ全体と接地を任意の高さに設置できます。一般的な改良点として、接地面を形成するラジアル線を下向きに傾斜させる方法があります。これにより、給電点インピーダンスが約50Ωに上昇し 、一般的な同軸ケーブルと整合します。もはや真の接地ではないため、バラン（単純なチョークバランなど）の使用が推奨されます。

ダイポールアンテナの給電点インピーダンスは、その電気長と給電点の位置に敏感です。^{[ 8 ] [ 9 ]}そのため、ダイポールは一般的にかなり狭い帯域幅でのみ最適に動作し、それを超えるとインピーダンスが送信機または受信機（および伝送線路）との整合が悪くなります。そのインピーダンスの実数部（抵抗成分）と虚数部（リアクタンス成分）は、電気長の関数として、添付のグラフに示されています。これらの数値の詳細な計算については、以下で説明します。リアクタンスの値は導体の直径に大きく依存することに注意してください。このグラフは、直径が0.001波長の導体の場合です 。

信号の波長の半分よりもはるかに小さいダイポールは、ショートダイポールと呼ばれます。これらは放射抵抗が非常に低く（容量性リアクタンスが高い）、アンテナとしては非効率的です。送信機の電流の大部分は、放射抵抗よりも大きい導体の有限抵抗のために熱として消費されます。しかしながら、より長い波長の受信アンテナとしては実用的である可能性があります。^{[ c ]}

信号波長の約半分の長さを持つダイポールは半波長ダイポールと呼ばれ、そのまま、または派生アンテナ設計の基礎として広く使用されています。これらのダイポールは、放射抵抗がはるかに大きく、利用可能な伝送線の特性インピーダンスに近く、通常は導体の抵抗よりもはるかに大きいため、効率は100%に近づきます。一般的な無線工学では、特に限定がない限り、 「ダイポール」という用語は、中心給電の半波長ダイポールを意味するものと解釈されます。

真の半波長ダイポールは、自由空間における波長λ = c / f の半分の長さを持つ。このようなダイポールは、73 Ωの抵抗と+43 Ωのリアクタンスからなる給電点インピーダンスを持ち、 わずかに誘導性リアクタンスを示す。このリアクタンスを打ち消し、給電線に対して純粋な抵抗を示すために、素子は係数k だけ短縮され、正味の長さはとなる。${\displaystyle \ \ell \ }$の：

${\displaystyle \ \ell ={\frac {\ 1\ }{2}}\ k\ \lambda ={\frac {\ 1\ }{2}}\ k\ {\frac {\ c\ }{f}}\ }$

ここで、λは自由空間波長、cは自由空間における光速、fは周波数です。給電点リアクタンスを除去する調整係数kは、導体の直径に依存します^{[ 17 ]} 。これは、添付のグラフに示されています。相対スケールサイズk は、細いワイヤ (直径 0.00001波長) の場合は約 0.98、太い導体 (直径 0.008波長) の場合は約 0.94 の範囲です。これは、リアクタンスに対するアンテナ長の影響 (上のグラフ) が細い導体の方がはるかに大きいため、λ が正確に 1 / 2 の場合に 43 Ω の誘導リアクタンスを打ち消すには、正確な半波長からのずれが小さくて済むためです。同じ理由で、太い導体のアンテナは、より広い動作帯域幅を持ち、その帯域幅内で、残留リアクタンスによって劣化する実用的な定在波比を達成します。   

典型的なkが約 0.95 の場合、補正されたアンテナ長の上記の式は、メートル単位の長さの場合は 143 / f 、フィート単位の長さの場合は 468 / f と書くことができ、ここでfはメガヘルツ単位 の 周波数です 。^{[ 18 ]}

長さが 1/2 λの奇数倍にほぼ等しいダイポールアンテナも共振し、リアクタンスはほとんど、あるいは全くありません(長さを少し調整することで除去できます)。ただし、これらはめったに使用されません。出力ワット数と放射方向の両方の観点から、はるかに効率的な放射器となるサイズの 1 つは、長さが 5/4 波長のダイポールです。3/2波長に近くないため、このアンテナのインピーダンスは大きな(負の) リアクタンスを持ち、誘導性インピーダンス整合回路 (タップ付き負荷コイルまたはいわゆるアンテナチューナー) でのみ使用できます。このようなアンテナは、それほど長くないダイポールの中で最高のゲインを持つため、望ましい長さです。

垂直半波長ダイポールアンテナの三次元放射パターン。

垂直半波長ダイポールアンテナの放射パターン；垂直断面。（上）線形スケール （下）等方性デシベル（dBi）

ダイポールアンテナは、ワイヤ軸に垂直な平面内では無指向性であり、放射は軸上（アンテナの両端）でゼロになります。半波長ダイポールアンテナでは、放射はアンテナに垂直な方向で最大となり、${\displaystyle \ (\ \sin \theta \ )^{2}\ }$軸上でゼロになるように調整します。その三次元放射パターン（図参照）は、導体に対して対称なトーラス（ドーナツ型）として近似的にプロットされます。垂直に取り付けると、水平方向への放射が最大になります。水平に取り付けると、放射は導体に対して直角（90°）の方向にピークを持ち、双極子の方向にはゼロ点があります。

電気的な非効率性を無視すると、アンテナ利得は指向性利得に等しくなり、短いダイポールアンテナでは 1.50 (1.76  dBi または -0.39 dBd)、半波長ダイポールアンテナでは1.64 (2.15 dBi または 0 dBd) に増加します。5 / 4波長ダイポールアンテナでは、利得はさらに約 5.2 dBi まで増加するため、アンテナが共振から外れていても、この長さが望ましいと言えます。これより長いダイポールアンテナは、放射パターンが多葉状になり、最も強い葉に沿っても利得が低下します (非常に長くない限り)。より優れた指向性が必要な場合は、ダイポールアンテナのその他の改良 (コーナーリフレクタの追加やダイポールアレイなど) を検討できます。このようなアンテナ設計は、半波長ダイポールアンテナをベースにしていますが、一般的に独自の名称が付けられています。    

理想的には、半波長ダイポールアンテナは、その典型的な 入力インピーダンス 65〜70 Ω に一致する平衡伝送線路を使用して給電する必要があります。同様のインピーダンスを持つツインリードも入手可能ですが、ほとんど使用されず、ほとんどのラジオおよびテレビ受信機の平衡アンテナ端子には一致しません。一般的な 300 Ω ツインリードを折り返しダイポール と組み合わせて使用​​することがはるかに一般的です。半波長折り返しダイポールの駆動点インピーダンスは、単純な半波長ダイポールの 4 倍であるため、300 Ωの特性インピーダンスにほぼ一致します。^{[ 19 ]}ほとんどの FM 放送帯チューナーおよび古いアナログテレビには、平衡 300 Ω アンテナ入力端子が含まれています。ただし、ツインリードには、近くにある他の導体 (アースを含む) によって電気的に妨害されるという欠点があります。送信に使用する場合は、他の導体の近くに置かないように注意する必要があります。   

多くの種類の同軸ケーブル（または同軸ケーブル）は、特性インピーダンスが 75  Ω であり、これは半波長ダイポールアンテナによく適合します。しかし、同軸ケーブルはシングルエンド線路であるのに対し、センター給電ダイポールアンテナは平衡線路（ツインリードなど）を必要とします。対称性から、ダイポールアンテナの端子には等しいが逆向きの電圧がかかるのに対し、同軸ケーブルでは一方の導体が接地されていることがわかります。同軸ケーブルをそのまま使用すると、不平衡線路となり、伝送線の 2 つの導体に沿った電流はもはや等しく逆向きではなくなります。伝送線路に沿って正味の電流が流れるため、伝送線路自体がアンテナとなり、予測不可能な結果が生じます（伝送線路の経路に依存するため）。^{[ 20 ]}これは一般的にアンテナの意図した放射パターンを変化させ、送信機または受信機で見られるインピーダンスを変化させます。

ダイポールアンテナで同軸ケーブルを使用するにはバランが必要です。バランは、シングルエンド同軸ケーブルと平衡アンテナの間で電力を伝送し、場合によってはインピーダンスも変化させます。バランは、インピーダンス変換も可能なトランスとして実装できます。これは通常、フェライトトロイダルコアに巻かれています。トロイダルコアの材料は使用周波数に適している必要があり、送信アンテナでは飽和を避けるために十分な大きさでなければなりません。^{[ 21 ]}他のバラン設計については以下で説明します。^{[ 22 ] [ 23 ]}

同軸ケーブルでダイポールアンテナに給電する

アンテナだけでなく、同軸ケーブルとアンテナの両方が放射器として機能する。

電流バラン付きダイポールアンテナ

折り返しダイポールアンテナ（300Ω）と同軸ケーブル（75Ω）を接続する4:1半波長バラン

スリーブバランを使用したダイポールアンテナ

ダイポールアンテナの最も一般的な用途の 1 つは、放送テレビ受信機の上部に設置されているウサギの耳型テレビアンテナです。これは、米国では 54 ～ 88 MHz (バンド I ) と 174 ～ 216 MHz (バンド III ) からなる VHF 地上波テレビ帯域を受信するために使用され、波長は 5.5 ～ 1.4メートル (18 フィート ～ 4 フィート 8 インチ) です。この周波数範囲は、単一の固定ダイポールアンテナがカバーできる範囲よりもはるかに広いため、数度の調整が可能になっています。これは、それぞれ約 1メートル (3 フィート) (75 MHz での 1/4 波長) まで伸ばせる 2 本の伸縮ロッドで構成されています。セグメントの長さ、垂直に対する角度、および方位角を制御できるため、アンテナ ローテーターを備えた屋上アンテナよりも、受信を最適化するための柔軟性がはるかに高くなります。     

テレビの広い周波数帯域とは対照的に、FM放送帯域（88～108MHz  ）はダイポールアンテナでカバーできるほど狭い。家庭での固定使用の場合、ハイファイチューナーには通常、その帯域の中心付近で共振するシンプルな折り返しダイポールアンテナが付属している。折り返しダイポールの給電点インピーダンスは、単純なダイポールの4倍であり、300Ωのツインリード線とよく整合する ため、通常はチューナーへの伝送線路として使用される。一般的な構造としては、折り返しダイポールの腕部もツインリード線で作り、両端を短絡させる方法がある。この柔軟なアンテナは、壁のモールディングの形状に沿ってテープや釘で簡単に固定できる。

水平型ワイヤーダイポールアンテナは、 HF短波帯において送信と受信の両方に広く用いられています。通常、中央の導線（給電点）で接続された2本のワイヤーで構成されています。両端は、既存の建物、構造物、樹木などに取り付けることができ、その高さを利用できます。送信に使用する場合は、アンテナの両端を、十分な耐電圧を持つ導線を介して支持構造物に取り付けることが不可欠です。これは、アンテナの高電圧腹が両端に発生するためです。平衡アンテナであるため、 （同軸）伝送線路と給電点の間にバランを用いて給電するのが最適です。

これらは一時的な使用や野外での使用のために簡単に設置できます。また、構造がシンプルで安価であることから、アマチュア無線家や短波リスナーが固定場所で広く使用しており、共振アンテナ素子がかなりの大きさを必要とする周波数帯でも共振アンテナを実現できます。指向性がそれほど重要でない周波数帯では魅力的なソリューションであり、異なる周波数帯用に複数の共振アンテナを自作しても、市販のアンテナ1本よりもはるかに安価になる可能性があります。

MFおよびLFラジオ局のアンテナは通常、マスト型放射器として構築され、垂直マスト自体がアンテナの役割を果たします。マスト型放射器はモノポールアンテナが最も一般的ですが、ダイポールアンテナもあります。マストの金属構造は中央で2つの絶縁されたセクションに分割され、中央で駆動される垂直ダイポールアンテナを形成します。

多くのタイプのアレイアンテナは、複数のダイポール（通常は半波長ダイポール）を使用して構築されます。複数のダイポールを使用する目的は、単一のダイポールの利得よりもアンテナの指向性利得を高めることです。個々のダイポールの放射が干渉し、目的の方向への放射電力が増強されます。複数のダイポール駆動素子を持つアレイでは、給電線は電気回路によって分割され、素子に電力を供給します。その際、共通点と各素子間の伝送による相対的な位相遅延に細心の注意が払われます。

水平方向のアンテナ利得を増加させる（ただし、空または地面への放射は犠牲になる）には、アンテナを垂直方向に積み重ねてブロードサイドアレイを形成し、アンテナを同位相で給電すればよい。水平ダイポールアンテナでこれを行うと、ダイポールの指向性とヌル点が素子の方向に維持される。しかし、各ダイポールを垂直方向に配置していわゆるコリニアアンテナアレイ（図を参照）にすると、ヌル点の方向が垂直になり、アレイは一般的に望ましい無指向性放射パターン（水平面内）を獲得する。垂直コリニアアレイは、素子のサイズが波長が十分に小さいため、マスト上に複数個を実際に積み重ねることができるVHFおよびUHF周波数帯で使用される。これらは、警察、消防、タクシー配車係などの移動無線機用の固定基地局で使用される1/4波長グランドプレーンアンテナよりも利得が高い代替手段である。

一方、回転アンテナ（または特定の方向のみに使用されるアンテナ）の場合、特定の水平方向における利得と指向性を高めたい場合があります。前述のブロードサイドアレイ（同軸か否かを問わず）を水平に回転させると、アンテナに垂直な水平方向の利得が大きくなり、他のほとんどの方向の利得は低下します。残念ながら、これは目的の方向とは反対の方向にも高い利得が生じることを意味し、通常は単一の方向で高い利得が求められます。しかし、逆方向に無駄になる電力は、例えば反射アレイアンテナのように大きな平面反射板を使用することで方向転換でき、目的の方向の利得をさらに3dB高めることができます 。

単方向アンテナの別の実現方法として、エンドファイアアレイがあります。この場合もダイポールは横並び（ただし同一直線上ではない）ですが、位相が進むように給電され、波が一方向ではコヒーレントに加算され、反対方向では打ち消し合うように配置されています。そのため、ブロードサイドアレイのようにアレイの方向に対して垂直になるのではなく、指向性はアレイの方向（つまり給電点を結ぶ線）にあり、反対方向の1つが抑制されます。

上述のように複数の駆動素子を備えたアンテナは、信号分割、位相調整、素子への分配、インピーダンス整合といった複雑な給電システムを必要とします。一方、より一般的に使用されているエンドファイアアレイは、いわゆる寄生素子を利用したものです。広く普及している高利得八木アンテナでは、ダイポールのうち実際に電気的に接続されているのは1つだけで、他のダイポールは駆動素子から供給される電力を受信して​​再放射します。この場合、位相調整は寄生素子の長さと位置を慎重に選択することで行われ、利得を一方向に集中させ、反対方向（および他のすべての方向）への放射を大幅に打ち消します。実現利得は同じ数の素子を持つ駆動アレイよりも低いものの、電気接続がシンプルなため、八木アンテナは民生用途により適しています。

アンテナ利得は、半波長ダイポールアンテナを基準としたデシベル値で測定されることが多い。その理由の一つは、実際のアンテナ測定では、特定の距離における試験対象アンテナの電界強度を比較するための基準強度が必要となるためである。等方性放射器というものは存在しないが、半波長ダイポールアンテナは特性がよく理解されており、ほぼ100%の効率で構築できる。また、ダイポールアンテナ自体によって得られる利得は実質的に「無料」であるため、より公平な比較が可能となる。なぜなら、これより小さい指向性利得を持つアンテナ設計はほとんど存在しないからである。

ダイポールアンテナを基準とした利得の場合、アンテナの利得は「x dBd」であると表現されます（デシベルを参照）。多くの場合、利得は等方性放射器を基準として表されるため、利得は実際よりも高く見えます。半波長ダイポールアンテナの既知の利得を考慮すると、0  dBd は 2.15 dBi と定義されます 。「dBi」単位の利得はすべて、「dBd」単位の利得よりも 2.15 高く表示されます。

与えられたアンテナ電流による遠方界放射パターンが分かれば、放射抵抗を直接計算することが可能です。上記のヘルツダイポールによる電界については、ポインティングベクトルに従って電力束を計算することができ、その結果、電力（1サイクルにわたって平均化）は次のようになります。

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {\ 1\ }{2}}{\mathcal {R_{e}}}\left\{\ \mathbf {E} \times \mathbf {H} ^{*}\ \right\}=\langle S_{\mathsf {r}}\rangle \ {\hat {\mathbf {r} }}+\langle S_{\mathsf {\phi }}\rangle \ {\hat {\boldsymbol {\phi }}}~.}$

増加するにつれて${\displaystyle \ r\ }$の${\displaystyle \ \langle S_{\mathsf {\phi }}\rangle \ }$に比べてごくわずかになる${\displaystyle \ \langle S_{\mathsf {r}}\rangle \ }$コンポーネント。必須ではありませんが、漸近値のみを扱うのが最も簡単です。${\displaystyle \ \langle S_{\mathsf {r}}\rangle \ }$大規模なアプローチ${\displaystyle \ r\ }$より単純な遠方場表現を使用して${\displaystyle \ \mathbf {E} \ }$そして${\displaystyle \ \mathbf {H} ~.}$半径が の大きな球が音源を囲んでいると考える${\displaystyle \ r~.}$その球の表面を横切る単位面積あたりの電力は、${\displaystyle \ {\hat {\mathbf {r} }}\ }$方向は：

${\displaystyle \left\langle S_{\mathsf {r}}\right\rangle ={\frac {\ \zeta _{0}\ }{2}}\ \left({\frac {\ \left|I\right|\ k\ \delta \ell \ }{4\pi r}}\ \sin \theta \right)^{2}\ }$

このフラックスを球面全体にわたって積分すると、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathsf {net}}&=\int _{0}^{2\pi }\!\!\int _{0}^{\pi }\left|\langle S_{\mathsf {r}}\rangle \right|\ r^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} {\phi }\ \mathrm {d} \theta \\&={\tfrac {\ 1\ }{2}}\zeta _{0}\ \left({\frac {\ \left|I\right|\ k\ \delta \ell \ }{4\pi }}\right)^{2}\int _{0}^{2\pi }\!\!\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \ \mathrm {d} {\phi }\ \mathrm {d} \theta \\&={\frac {\zeta _{0}}{\ 12\pi \ }}\left(\left|I\right|\ k\ \delta \ell \right)^{2}={\frac {\ \pi \ }{3}}\zeta _{0}\ \left(\left|I\right|{\frac {\ \delta \ell \ }{\lambda }}\right)^{2}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \ \lambda =2\pi /k\ }$は、ラジアン周波数に対応する自由空間波長です。${\displaystyle \ \omega ~.}$定義上、放射線抵抗${\displaystyle R_{\text{rad}}}$現在の二乗の平均倍${\textstyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\left|\ I\ \right|^{2}\ }$これはその電流によって放射される正味電力なので、上記を等しくすると${\textstyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\left|I\right|^{2}R_{\text{rad}}\ }$我々は以下のことを発見した。

${\displaystyle R_{\text{rad}}={\tfrac {\ 2\ \pi \ }{3}}\zeta _{0}\ \left({\frac {\ \delta \ell \ }{\lambda }}\right)^{2}~.}$

この方法は、特定のアンテナ電流に関して遠方界放射パターンが求められているアンテナの放射抵抗を計算するために使用できます。導体のオーム損失を無視すると、放射抵抗（給電点に対する相対値）は給電点インピーダンスの抵抗（実数）成分と同一になります。残念ながら、この計算では給電点インピーダンスのリアクタンス（虚数）成分については何もわかりません。リアクタンス（虚数）成分の計算については後述します。

ポインティングベクトルで与えられる放射束の上記の式を用いると、ヘルツダイポールの指向性利得も計算できる。上記で計算した総電力を${\displaystyle 4\pi r^{2}}$すべての方向で平均したフラックスを求めることができます${\displaystyle \ P_{\text{avg}}\ }$として

${\displaystyle \ P_{\text{avg}}={\frac {P_{\text{net}}}{\ 4\pi \ r^{2}}}={\frac {\zeta _{0}}{\ 48\pi ^{2}\ r^{2}}}k^{2}\ \left|I\right|^{2}\ \left(\delta \ell \right)^{2}~.}$

特定の方向に放射されるフラックスを${\displaystyle \ P_{\text{avg}}\ }$我々は指向性ゲインを得る${\displaystyle \ \operatorname {\mathsf {G}} \left(\theta \right)\$ :}

${\displaystyle \ \operatorname {\mathsf {G}} \left(\theta \right)={\frac {\ \left\langle \mathbf {S} _{\mathsf {r}}\right\rangle \ }{P_{\text{avg}}}}={\tfrac {\ 3\ }{2}}\sin ^{2}\theta \ }$

一般的に引用されるアンテナの「ゲイン」、つまりゲインパターン（放射パターン）のピーク値は、1.5～1.76  dBiであることがわかった。これは、事実上他のどのアンテナ構成よりも低い値である。

ヘルツダイポールは、前述の短ダイポールと似ていますが、異なる点もあります。どちらの場合も、導体は波長に比べて非常に短いため、例えば半波長ダイポールに見られるような定在波パターンは存在しません。しかし、ヘルツダイポールでは、その短い長さにわたって導体に沿った電流が一定であると規定しています。このため、ヘルツダイポールは、より複雑なアンテナ構成の解析に役立ちます。実際のアンテナの導体のあらゆる微小部分をヘルツダイポールとしてモデル化し、その実際のアンテナに流れる電流を求めることができるからです。

しかし、RF電圧を印加した短い導体では、その短い距離に沿っても電流が均一になるわけではありません。実際には、短いダイポールアンテナでは、給電点における電流は給電点電流に等しく、その短い導体の長さに沿って直線的にゼロまで減少します。導体の端に金属球などの容量性ハットを配置することで、その自己容量が導体からの電流を吸収し、ヘルツダイポールアンテナで想定される一定電流をより近似することが可能になります。ただし、ヘルツダイポールアンテナは、アンテナ解析のための理論的な構成物としてのみ使用されることを改めて強調しておきます。

給電点電流が${\displaystyle \ I_{0}\ ,}$各導体の平均電流はわずか${\textstyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\ I_{0}~.}$長さのヘルツ双極子に対する上記の場の方程式${\displaystyle \ \delta \ell \ }$すると、その有効電流を用いて短距離双極子の実際の電場を予測する${\textstyle \ I={\tfrac {\ 1\ }{2}}\ I_{0}~.}$これにより、遠方界で測定される電力は、上記のポインティングベクトルの大きさの式で与えられる電力の4分の1となる。${\displaystyle \ \langle S_{\mathsf {r}}\rangle \ }$要素電流を仮定した場合${\displaystyle \ I_{0}~.}$したがって、短距離ダイポールアンテナについて計算された放射抵抗は、上記で計算されたヘルツダイポールアンテナの放射抵抗の4分の1であることがわかる。しかし、それ以外の放射パターン（および利得）は同一である。

誘導起電力法 を用いると、給電点インピーダンスの両方の成分について閉形式の式が得られます。これらの結果は上にプロットされています。解は、アンテナ導体に沿った電流分布の形状に関する仮定に依存します。波長と素子直径の比が約 60 より大きい場合、長さ 1/2L の各アンテナ素子に沿った電流分布は^、アンテナzに沿った点では正弦関数の形状を持ち、 z = ± + 1 / 2Lの素子の端で電流がゼロになるという 形で^非常によく近似さ^れ ます[ 27 ]。

${\displaystyle \ I(z)=A\sin {\Bigl (}\ k\left({\tfrac {\ 1\ }{2}}\ L-\left|z\right|\right)\ {\Bigr )}\ ,}$

ここで、k は k = 2 π / λ = 2 π f / cで与えられる波数であり、振幅Aはz = 0における指定さ れた駆動点電流に一致するように設定されます。

ほぼ正弦波状の電流分布を仮定できる場合、この方法は、コサイン積分関数Si( x )とサイン積分関数Ci( x )を使用して、駆動点インピーダンスを閉じた形で解きます。全長Lの双極子の場合、駆動点インピーダンスの抵抗成分とリアクタンス成分は次のように表すことができます。^{[ 28 ] [ d ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathsf {dipole}}={\frac {\zeta _{0}}{\ 2\pi \sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}kL\right)\ }}{\Biggl \{}\ \gamma _{e}+\ln(kL)-\operatorname {Ci} (kL)+{}&{\tfrac {1}{2}}\sin(kL)\,{\Bigl [}+\operatorname {Si} (2kL)-2\operatorname {Si} (kL)\ {\Bigr ]}\\{}+{}&{\tfrac {1}{2}}\cos(kL)\,{\Big [}+\operatorname {Ci} (2kL)-2\operatorname {Ci} (kL)+\gamma _{e}+\ln \left({\tfrac {1}{2}}kL\right)\ {\Bigr ]}\ {\Bigg \}}\ ,\\X_{\mathsf {dipole}}={\frac {\zeta _{0}}{\ 2\pi \sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}kL\right)\ }}{\Biggl \{}{}+\operatorname {Si} (kL)+{}&{\tfrac {1}{2}}\cos(kL)\,{\Bigl [}-\operatorname {Si} (2kL)+2\operatorname {Si} (kL)\ {\Bigr ]}\\{}+{}&{\tfrac {1}{2}}\sin(kL)\,{\Bigl [}+\operatorname {Ci} (2kL)-2\operatorname {Ci} (kL)+\operatorname {Ci} \left({\tfrac {\;2ka^{2}\ }{L}}\right)\ {\Bigr ]}\ {\Biggr \}}\ ,\end{aligned}}}$

ここで、aは導体の半径、kは上記で定義した波数、ζ _0は空虚空間のインピーダンス であり、空気のインピーダンスとほぼ同じです: ζ ₀ ≈ 377 Ω、${\displaystyle \ \gamma _{e}=0.57721566\ \ldots \ }$はオイラー定数です。一部の著者が好む、別の関数Cinを使用する同等の代替形式があります 。^{[ e ]}

誘導起電力法は正弦波電流分布の仮定に依存しており、波長と素子直径の比が約 60 より大きい限り、約 10% より優れた精度が得られます。^{[ 27 ]}しかし、さらに大きな導体の場合、導体の電流分布を解く数値解法が必要となります (正弦波パターンを仮定するのではなく)。これは、ポックリントンの積分微分方程式またはハレン積分方程式のいずれかの近似解に基づいています。^{[ 7 ]}これらのアプローチは、線状導体に限定されないため、より一般性があります。

どちらの場合も、モーメント法による解法を用い、その電流を基底関数の集合に展開する必要があります。例えば、導体をN個のセグメントに分割し、各セグメントに沿って一定電流が流れると仮定するという簡単な方法（ただし最善ではない）があります。適切な重み関数を設定した後、 N × N行列の逆行列を計算することで計算コストを最小化できます。各行列要素の決定には、重み関数を含む少なくとも1つの二重積分が必要となり、計算負荷が高くなる可能性があります。重み関数がデルタ関数であれば、これは簡略化されます。デルタ関数は、導体に沿った電流の境界条件をN個の離散点のみに適合させることに相当します。その後、N × N行列を逆行列にする必要がありますが、Nが増加するにつれて計算負荷も高くなります。簡単な例として、Balanis（2011）は、Pocklington法を用いて異なるNでのアンテナインピーダンスを求めるためにこの計算を行い、 N > 60の場合、解が数パーセント以内で極限値に近づくことを発見しました。^{[ 7 ]}