ヴェロネーゼ地図

2次のヴェロネーゼ写像は、次式で定義される対称行列の空間への写像である: ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle (n+1){\times }(n+1)}$

${\displaystyle V\colon (x_{0},\dots ,x_{n})\to {\begin{pmatrix}x_{0}\cdot x_{0}&x_{0}\cdot x_{1}&\dots &x_{0}\cdot x_{n}\\x_{1}\cdot x_{0}&x_{1}\cdot x_{1}&\dots &x_{1}\cdot x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}\cdot x_{0}&x_{n}\cdot x_{1}&\dots &x_{n}\cdot x_{n}\end{pmatrix}}.}$

任意の について注意してください。 ${\displaystyle V(x)=V(-x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$

特に、の単位球面への制限は射影空間を介して因数分解され、のヴェロネーゼ埋め込みを定義します。 ヴェロネーゼ埋め込みの像はヴェロネーゼ部分多様体と呼ばれ、そのためヴェロネーゼ面として知られています。^[2]${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$${\displaystyle n=2}$

• ヴェロネーゼ埋め込みの像の行列は、 の 1 次元部分空間への射影に対応します。これらは次の式で記述できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

  ${\displaystyle A^{T}=A,\quad \mathrm {tr} \,A=1,\quad A^{2}=A.}$

言い換えると、 の画像の行列は単位トレースと単位ノルムを持ちます。具体的には、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$

• 画像は次元 のアフィン空間にあります。${\displaystyle n+{\tfrac {n\cdot (n+1)}{2}}}$
• 画像は半径 の -球面上にあります。 ${\displaystyle (n-1+{\tfrac {n\cdot (n+1)}{2}})}$${\displaystyle r_{n}={\sqrt {1-{\tfrac {1}{n+1}}}}}$
  • さらに、この像はこの球面内で最小の部分多様体を形成します。

• ヴェロネーゼ埋め込みはリーマン計量 を誘導します。ここで は上の標準計量を表します。${\displaystyle 2\cdot g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n-1}}$
• ヴェロネーゼ埋め込みは、 の各測地線を半径 の円にマッピングします。 ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n-1}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$
  • 特に、画像のすべての法線曲率は に等しくなります。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ヴェロネーゼ多様体は外在的に対称であり、任意の通常空間における反射によって多様体がそれ自身に写像されることを意味します。

類似のヴェロネーゼ埋め込みは、複素射影空間や四元数射影空間、およびケーリー平面に対しても構築されます。

• Cecil, TE; Ryan, PJ 多様体のタイトな浸漬と緊張した浸漬 Res. Notes in Math., 107, 1985.
• 坂本 健一「平面測地線浸漬」東北数学誌、29 (1977)、25–56。