ベルヌーイのレムニスケートの周囲と直径の比
ベルヌーイのレムニスケート 数学 において 、 レムニスケート定数 ϖ は、 ベルヌーイのレムニスケート の 周囲 と 直径 の比である 超越 数学定数であり、 円に対する π の定義に類似している。 [1] 同様に、レムニスケートの周囲は 2 ϖ である 。レムニスケート定数は レムニスケート楕円関数 と密接に関連しており、約 2.62205755 に等しい。 [2]また、特定の有理値での ガンマ関数 と ベータ関数 の評価にも現れる 。記号 ϖは π の 筆記体 変形である。Pi § 変形 pi を 参照 。
（
x
2
+
ええ
2
）
2
=
x
2
−
ええ
2
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}}
2 ϖ または ϖ/2 の量は レムニスケート 定数と呼ばれることもあります 。 [3] [4]
2024年現在、この定数の1.2兆桁以上が計算されている。 [5]
歴史 ガウス定数は G と表記され、 ϖ / π ≈ 0.8346268 に等しく [6] 、 カール・フリードリヒ・ガウス にちなんで名付けられました。ガウス はこれを 算術幾何平均 によりと計算しました 。 1799年までに、ガウスは がレムニスケート定数である 定理の2つの証明を持っていました 。 [8]
1
/
ま
（
1 、
2
）
{\displaystyle 1/M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}
ま
（
1 、
2
）
= π
/
ϖ
{\displaystyle M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}=\pi /\varpi }
ϖ
{\displaystyle \varpi}
ジョン・トッドはさらに2つのレムニスケート定数を命名した。 最初のレムニスケート定数 A = ϖ /2 ≈ 1.3110287771 と 2番目のレムニスケート定数 B = π /(2 ϖ ) ≈ 0.5990701173で ある。 [9] [10] [11]
レムニスケート定数 とトッドの第一レムニスケート定数は、 1932 年に カール ルートヴィヒ ジーゲル によって、その後 1937 年に テオドール シュナイダーによって 超越関数で あること が証明され、トッドの第二レムニスケート定数 とガウス定数は 、1941 年にテオドール シュナイダーによって超越関数であることが証明されました。 [9] [12] [13] 1975 年に、 グレゴリー チュドノフスキー は、集合が 上で 代数的に独立である ことを証明しました。これは、 と も代数的に独立であることを意味します。 [14] [15] しかし、集合 (プライムは 2 番目の変数に関する 導関数 を表します) は 上で代数的に独立ではありません。 [16] 1996 年に、 ユーリ ネステレンコは 、集合が 上で代数的に独立であることを証明しました 。 [17]
ϖ
{\displaystyle \varpi}
あ
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
グ
{\displaystyle G}
{ π 、 ϖ }
{\displaystyle \{\pi ,\varpi \}}
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
あ
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
{
π 、 ま
（
1 、 1
/
2
）
、
ま ′
（
1 、 1
/
2
）
}
{\displaystyle {\bigl \{}\pi ,M{\bigl (}1,1/{\sqrt {2}}{\bigr )},M'{\bigl (}1,1/{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr \}}}
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
{ π 、 ϖ 、
e
π
}
{\displaystyle \{\pi ,\varpi ,e^{\pi }\}}
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
通常、 は下記の最初の等式で定義されますが、同等の形式も多数あります。 [18]
ϖ
{\displaystyle \varpi}
ϖ
= 2
∫
0
1
d
t
1 −
t
4
=
2
∫
0
∞
d
t
1 +
t
4
=
∫
0
1
d
t
t −
t
3
=
∫
1
∞
d
t
t
3
− t
= 4
∫
0
∞
（
1 +
t
4
4
− t
）
d
t = 2
2
∫
0
1
1 −
t
4
4
d
t
= 3
∫
0
1
1 −
t
4
d
t
= 2 け （ 私 ） =
1 2
B
（
1 4
、
1 2
）
=
1
2
2
B
（
1 4
、
1 4
）
=
Γ （ 1
/
4
）
2
2
2 π
=
2 −
2
4
ζ （ 3
/
4
）
2
ζ （ 1
/
4
）
2
= 2.62205 75542 92119 81046 48395 89891 11941 … 、
{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}= {\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {tt^{3}}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm { d} t}{\sqrt {t^{3}-t}}}\\[6mu]&=4\int _{0}^{\infty }{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{1+t^{4}}}-t{\Bigr )}\,\mathrm {d} t=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-t^{4}}}\mathop { \mathrm {d} t} =3\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{4}}}\,\mathrm {d} t\\[2mu]&=2K(i)={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1} {2}}{\bigr )}={\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {2\pi }}}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{4}}{\frac {\zeta (3 /4)^{2}}{\zeta (1/4)^{2}}}\\[5mu]&=2.62205\;75542\;92119\;81046\;48395\;89891\;11941\ldots 、\end{aligned}}}
ここで、 K は k を 法とする 第 1 種完全楕円積分 、 Β は ベータ関数 、 Γ は ガンマ関数 、 ζ は リーマンゼータ関数 です 。
レムニスケート定数は算術幾何平均 によっても計算できる 。
ま
{\displaystyle M}
ϖ =
π
ま
（
1 、
2
）
。
{\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}}.}
ガウス定数は、 1800年に発表された 計算にちなんで、 1の 算術幾何平均と 2の平方根 の 逆数として定義されることが多い。 ベータ関数 Bで表すことができる 。
ま
（
1 、
2
）
{\displaystyle M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}
グ =
1
ま
（
1 、
2
）
{\displaystyle G={\frac {1}{M{\bigl (}1,{\sqrt {2}}{\bigr )}}}}
あ
=
ϖ 2
=
1 4
B
（
1 4
、
1 2
）
、
B
=
π
2 ϖ
=
1 4
B
（
1 2
、
3 4
）
。
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\varpi }{2}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{ 4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )},\\[3mu]B&={\frac {\pi }{2\varpi }}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.\end{aligned}} }
L関数の特別な値として
β ′
（ 0 ） = ログ
ϖ
π
{\displaystyle \beta '(0)=\log {\frac {\varpi }{\sqrt {\pi }}}}
これは
ζ ′
（ 0 ） = ログ
1
2 π
{\displaystyle \zeta '(0)=\log {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
ここで は ディリクレベータ関数 であり 、 は リーマンゼータ関数 である 。 [20]
β
{\displaystyle \beta}
ζ
{\displaystyle \zeta}
π に対するライプニッツの公式 と同様に 、
次の式
が得られます。 [21] [22] [23] [24] [25]
ただし は 楕円曲線 上 の L 関数 です 。つまり、 は によって与えられる
乗法 関数 であり
、は 非負の整数である
変数における 合同式の解の数です
( は すべての素数全体の集合です)。同様に、
は によって与えられ
、 は イータ関数 です 。 [26] [27] [28]
上記の結果は、 と同等に書くことができます
(数は の 導体 です)。また、 BSD 予想が 上記の に対して真である こともわかります 。 [29]
の最初のいくつかの値は、 次の表によって与えられます。 となる が 表にない場合は、 となります 。
β （ 1 ） =
∑
ん = 1
∞
χ （ ん ）
ん
=
π 4
、
{\displaystyle \beta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n}}={\frac {\pi }{4}},}
ら （ え 、 1 ） =
∑
ん = 1
∞
ν （ ん ）
ん
=
ϖ 4
{\displaystyle L(E,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\nu (n)}{n}}={\frac {\varpi }{4}}}
ら
{\displaystyle L}
え :
ええ
2
=
x
3
− x
{\displaystyle E:\,y^{2}=x^{3}-x}
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
ν
{\displaystyle \nu}
ν （
p
ん
） =
{
p −
いいえ
p
、
p ∈
ポ
、 ん = 1
0 、
p = 2 、 ん ≥ 2
ν （ p ） ν （
p
ん − 1
） − p ν （
p
ん − 2
） 、
p ∈
ポ
∖ { 2 } 、 ん ≥ 2
{\displaystyle \nu (p^{n})={\begin{cases}p-{\mathcal {N}}_{p},&p\in \mathbb {P} ,\,n=1\\[ 5mu]0,&p=2,\,n\geq 2\\[5mu]\nu (p)\nu (p^{n-1})-p\nu (p^{n-2}),&p\in \mathbb {P} \setminus \{2\},\,n\geq 2\end{cases}}}
いいえ
p
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}}
1つの
3
− 1つの ≡
b
2
（ モッド p ） 、 p ∈
ポ
{\displaystyle a^{3}-a\equiv b^{2}\,(\operatorname {mod} p),\quad p\in \mathbb {P} }
1つの 、 b
{\displaystyle a,b}
ポ
{\displaystyle \mathbb {P} }
ν
{\displaystyle \nu}
ふ （ τ ） = η （ 4 τ
）
2
η （ 8 τ
）
2
=
∑
ん = 1
∞
ν （ ん ）
q
ん
、 q =
e
2 π 私 τ
{\displaystyle F(\tau )=\eta (4\tau )^{2}\eta (8\tau )^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (n) q^{n},\quad q=e^{2\pi i\tau }}
τ ∈
Ｃ
{\displaystyle \tau \in \mathbb {C} }
ℑ
τ
>
0
{\displaystyle \operatorname {\Im } \tau >0}
η
{\displaystyle \eta }
∑
n
=
1
∞
ν
(
n
)
n
e
−
2
π
n
/
32
=
ϖ
8
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\nu (n)}{n}}e^{-2\pi n/{\sqrt {32}}}={\frac {\varpi }{8}}}
32
{\displaystyle 32}
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
ν
{\displaystyle \nu }
1
≤
n
≤
113
{\displaystyle 1\leq n\leq 113}
n
{\displaystyle n}
ν
(
n
)
=
0
{\displaystyle \nu (n)=0}
n
ν
(
n
)
n
ν
(
n
)
1
1
53
14
5
−
2
61
−
10
9
−
3
65
−
12
13
6
73
−
6
17
2
81
9
25
−
1
85
−
4
29
−
10
89
10
37
−
2
97
18
41
10
101
−
2
45
6
109
6
49
−
7
113
−
14
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline n&\nu (n)&n&\nu (n)\\\hline 1&1&53&14\\\hline 5&-2&61&-10\\\hline 9&-3&65&-12\\\hline 13&6&73&-6\\\hline 17&2&81&9\\\hline 25&-1&85&-4\\\hline 29&-10&89&10\\\hline 37&-2&97&18\\\hline 41&10&101&-2\\\hline 45&6&109&6\\\hline 49&-7&113&-14\\\hline \end{array}}}
他の関数の特別な値として を最小重みレベルの新しい形式と する 。すると [30] の
係数 は ラマヌジャンのタウ関数 である 。
Δ
{\displaystyle \Delta }
1
{\displaystyle 1}
Δ
(
i
)
=
1
64
(
ϖ
π
)
12
.
{\displaystyle \Delta (i)={\frac {1}{64}}\left({\frac {\varpi }{\pi }}\right)^{12}.}
q
{\displaystyle q}
Δ
{\displaystyle \Delta }
シリーズ ビエトの π の公式 は次のように書けます。
2
π
=
1
2
⋅
1
2
+
1
2
1
2
⋅
1
2
+
1
2
1
2
+
1
2
1
2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }
ϖ の類似の式は次の通り である: [31]
2
ϖ
=
1
2
⋅
1
2
+
1
2
/
1
2
⋅
1
2
+
1
2
/
1
2
+
1
2
/
1
2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\!{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\!{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }
π の Wallis 積は 次のようになります。
π
2
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
(
−
1
)
n
+
1
=
∏
n
=
1
∞
(
2
n
2
n
−
1
⋅
2
n
2
n
+
1
)
=
(
2
1
⋅
2
3
)
(
4
3
⋅
4
5
)
(
6
5
⋅
6
7
)
⋯
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\biggr )}\cdots }
ϖ の類似の式は次の通り である: [32]
ϖ
2
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
2
n
)
(
−
1
)
n
+
1
=
∏
n
=
1
∞
(
4
n
−
1
4
n
−
2
⋅
4
n
4
n
+
1
)
=
(
3
2
⋅
4
5
)
(
7
6
⋅
8
9
)
(
11
10
⋅
12
13
)
⋯
{\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n-2}}\cdot {\frac {4n}{4n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{6}}\cdot {\frac {8}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{10}}\cdot {\frac {12}{13}}{\biggr )}\cdots }
ガウス定数（ ）に関する関連結果は次の通りである： [33]
G
=
ϖ
/
π
{\displaystyle G=\varpi /\pi }
ϖ
π
=
∏
n
=
1
∞
(
4
n
−
1
4
n
⋅
4
n
+
2
4
n
+
1
)
=
(
3
4
⋅
6
5
)
(
7
8
⋅
10
9
)
(
11
12
⋅
14
13
)
⋯
{\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n}}\cdot {\frac {4n+2}{4n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {6}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{8}}\cdot {\frac {10}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{12}}\cdot {\frac {14}{13}}{\biggr )}\cdots }
ガウスによって発見された無限級数は次の通りである: [34]
ϖ
π
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
∏
k
=
1
n
(
2
k
−
1
)
2
(
2
k
)
2
=
1
−
1
2
2
2
+
1
2
⋅
3
2
2
2
⋅
4
2
−
1
2
⋅
3
2
⋅
5
2
2
2
⋅
4
2
⋅
6
2
+
⋯
{\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)^{2}}{(2k)^{2}}}=1-{\frac {1^{2}}{2^{2}}}+{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}}}-{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}\cdot 6^{2}}}+\cdots }
π の マチンの公式 は で あり、 三角関数の角度の和の恒等式、例えばオイラーの公式 などを使って πに関する類似の公式をいくつか展開することができる。 ϖ についても同様の公式を展開することができ 、これにはガウスによって発見された次の公式が含まれる: 、ここでは レムニスケートアークサイン である 。 [35]
1
4
π
=
4
arctan
1
5
−
arctan
1
239
,
{\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239}},}
1
4
π
=
arctan
1
2
+
arctan
1
3
{\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\arctan {\tfrac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3}}}
1
2
ϖ
=
2
arcsl
1
2
+
arcsl
7
23
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}}
arcsl
{\displaystyle \operatorname {arcsl} }
レムニスケート定数は、級数 [36] [37]によって迅速に計算することができる。
ϖ
=
2
−
1
/
2
π
(
∑
n
∈
Z
e
−
π
n
2
)
2
=
2
1
/
4
π
e
−
π
/
12
(
∑
n
∈
Z
(
−
1
)
n
e
−
π
p
n
)
2
{\displaystyle \varpi =2^{-1/2}\pi {\biggl (}\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}{\biggr )}^{2}=2^{1/4}\pi e^{-\pi /12}{\biggl (}\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi p_{n}}{\biggr )}^{2}}
ここで （これらは 一般化された五角数 である）。また [38]
p
n
=
1
2
(
3
n
2
−
n
)
{\displaystyle p_{n}={\tfrac {1}{2}}(3n^{2}-n)}
∑
m
,
n
∈
Z
e
−
2
π
(
m
2
+
m
n
+
n
2
)
=
1
+
3
ϖ
12
1
/
8
π
.
{\displaystyle \sum _{m,n\in \mathbb {Z} }e^{-2\pi (m^{2}+mn+n^{2})}={\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\dfrac {\varpi }{12^{1/8}\pi }}.}
バーゼル問題 と同様の精神で 、
∑
z
∈
Z
[
i
]
∖
{
0
}
1
z
4
=
G
4
(
i
)
=
ϖ
4
15
{\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}(i)={\frac {\varpi ^{4}}{15}}}
ここで、は ガウス整数 であり 、は 重み の アイゼンシュタイン級数 である （ より一般的な結果については、 レムニスケート楕円関数§フルヴィッツ数 を参照）。 [39]
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
G
4
{\displaystyle G_{4}}
4
{\displaystyle 4}
関連する結果は
∑
n
=
1
∞
σ
3
(
n
)
e
−
2
π
n
=
ϖ
4
80
π
4
−
1
240
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)e^{-2\pi n}={\frac {\varpi ^{4}}{80\pi ^{4}}}-{\frac {1}{240}}}
ここで、 正の約数関数の和 である 。 [40]
σ
3
{\displaystyle \sigma _{3}}
1842年、 マルムステン は
β
′
(
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
log
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
=
π
4
(
γ
+
2
log
π
ϖ
2
)
{\displaystyle \beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\log(2n+1)}{2n+1}}={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\log {\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}\right)}
ここで、 は オイラー定数 、は ディリクレベータ関数です。
γ
{\displaystyle \gamma }
β
(
s
)
{\displaystyle \beta (s)}
レムニスケート定数は急速に収束する級数で与えられる。
ϖ
=
π
32
4
e
−
π
3
(
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
e
−
2
n
π
(
3
n
+
1
)
)
2
.
{\displaystyle \varpi =\pi {\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}{\biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}{\biggr )}^{2}.}
定数は 無限積によっても与えられる
ϖ
=
π
∏
m
=
1
∞
tanh
2
(
π
m
2
)
.
{\displaystyle \varpi =\pi \prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}
また [41]
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
6635520
n
(
4
n
)
!
n
!
4
=
24
5
7
/
4
ϖ
2
π
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{6635520^{n}}}{\frac {(4n)!}{n!^{4}}}={\frac {24}{5^{7/4}}}{\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}}}.}
連分数 π の （一般化された） 連分数 は、
ϖ
の類似の式は [10] である。
π
2
=
1
+
1
1
+
1
⋅
2
1
+
2
⋅
3
1
+
3
⋅
4
1
+
⋱
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}}
ϖ
2
=
1
+
1
2
+
2
⋅
3
2
+
4
⋅
5
2
+
6
⋅
7
2
+
⋱
{\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2\cdot 3}{2+{\cfrac {4\cdot 5}{2+{\cfrac {6\cdot 7}{2+\ddots }}}}}}}}}
ブラウンカー の連分数を次 のように 定義する [42] 。 最初の等式を除いて と
する 。すると [43] [44]
例えば、
b
(
s
)
=
s
+
1
2
2
s
+
3
2
2
s
+
5
2
2
s
+
⋱
,
s
>
0.
{\displaystyle b(s)=s+{\cfrac {1^{2}}{2s+{\cfrac {3^{2}}{2s+{\cfrac {5^{2}}{2s+\ddots }}}}}},\quad s>0.}
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
b
(
4
n
)
=
(
4
n
+
1
)
∏
k
=
1
n
(
4
k
−
1
)
2
(
4
k
−
3
)
(
4
k
+
1
)
π
ϖ
2
b
(
4
n
+
1
)
=
(
2
n
+
1
)
∏
k
=
1
n
(
2
k
)
2
(
2
k
−
1
)
(
2
k
+
1
)
4
π
b
(
4
n
+
2
)
=
(
4
n
+
1
)
∏
k
=
1
n
(
4
k
−
3
)
(
4
k
+
1
)
(
4
k
−
1
)
2
ϖ
2
π
b
(
4
n
+
3
)
=
(
2
n
+
1
)
∏
k
=
1
n
(
2
k
−
1
)
(
2
k
+
1
)
(
2
k
)
2
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}b(4n)&=(4n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(4k-1)^{2}}{(4k-3)(4k+1)}}{\frac {\pi }{\varpi ^{2}}}\\b(4n+1)&=(2n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}}{\frac {4}{\pi }}\\b(4n+2)&=(4n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(4k-3)(4k+1)}{(4k-1)^{2}}}{\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}\\b(4n+3)&=(2n+1)\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)(2k+1)}{(2k)^{2}}}\,\pi .\end{aligned}}}
b
(
1
)
=
4
π
,
b
(
2
)
=
ϖ
2
π
,
b
(
3
)
=
π
,
b
(
4
)
=
9
π
ϖ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}b(1)&={\frac {4}{\pi }},&b(2)&={\frac {\varpi ^{2}}{\pi }},&b(3)&=\pi ,&b(4)&={\frac {9\pi }{\varpi ^{2}}}.\end{aligned}}}
実際、 およびの値は 、関数方程式と組み合わされて、
すべての に対する
の値を決定します 。
b
(
1
)
{\displaystyle b(1)}
b
(
2
)
{\displaystyle b(2)}
b
(
s
+
2
)
=
(
s
+
1
)
2
b
(
s
)
,
{\displaystyle b(s+2)={\frac {(s+1)^{2}}{b(s)}},}
b
(
n
)
{\displaystyle b(n)}
n
{\displaystyle n}
単純な連分数 レムニスケート定数および関連定数の単純な連分数には [45] [46]が含まれる。
ϖ
=
[
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
4
,
1
,
2
,
…
]
,
2
ϖ
=
[
5
,
4
,
10
,
2
,
1
,
2
,
3
,
29
,
…
]
,
ϖ
2
=
[
1
,
3
,
4
,
1
,
1
,
1
,
5
,
2
,
…
]
,
ϖ
π
=
[
0
,
1
,
5
,
21
,
3
,
4
,
14
,
…
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=[2,1,1,1,1,1,4,1,2,\ldots ],\\[8mu]2\varpi &=[5,4,10,2,1,2,3,29,\ldots ],\\[5mu]{\frac {\varpi }{2}}&=[1,3,4,1,1,1,5,2,\ldots ],\\[2mu]{\frac {\varpi }{\pi }}&=[0,1,5,21,3,4,14,\ldots ].\end{aligned}}}
積分 および の幾何学的表現
ϖ
/
2
{\displaystyle \varpi /2}
ϖ
/
2
{\displaystyle \varpi /{\sqrt {2}}}
レムニスケート定数 ϖ は 曲線の下の面積と関係があります 。 を定義すると 、曲線の下の正の象限の面積の2倍は 、 4次曲線の場合、
x
4
+
y
4
=
1
{\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}
π
n
:=
B
(
1
n
,
1
n
)
{\displaystyle \pi _{n}\mathrel {:=} \mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}}
x
n
+
y
n
=
1
{\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}
2
∫
0
1
1
−
x
n
n
d
x
=
1
n
π
n
.
{\textstyle 2\int _{0}^{1}{\sqrt[{n}]{1-x^{n}}}\mathop {\mathrm {d} x} ={\tfrac {1}{n}}\pi _{n}.}
1
4
π
4
=
1
2
ϖ
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi _{4}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi .}
1842年、マルムステンは [47]
∫
0
1
log
(
−
log
x
)
1
+
x
2
d
x
=
π
2
log
π
ϖ
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log(-\log x)}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\log {\frac {\pi }{\varpi {\sqrt {2}}}}.}
さらに、
∫
0
∞
tanh
x
x
e
−
x
d
x
=
log
ϖ
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\tanh x}{x}}e^{-x}\,dx=\log {\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}}
そして [48]
∫
0
∞
e
−
x
4
d
x
=
2
ϖ
2
π
4
,
analogous to
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
2
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\,dx={\frac {\sqrt {2\varpi {\sqrt {2\pi }}}}{4}},\quad {\text{analogous to}}\,\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}},}
ガウス積分
の一種 。
レムニスケート定数は積分の評価に現れる。
π
ϖ
=
∫
0
π
2
sin
(
x
)
d
x
=
∫
0
π
2
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {\pi }{\varpi }}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,dx}
ϖ
π
=
∫
0
∞
d
x
cosh
(
π
x
)
{\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}
ジョン・トッドのレムニスケート定数は積分によって定義される: [9]
A
=
∫
0
1
d
x
1
−
x
4
{\displaystyle A=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
B
=
∫
0
1
x
2
d
x
1
−
x
4
{\displaystyle B=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
楕円の円周 レムニスケート定数は次の式を満たす
π
ϖ
=
2
∫
0
1
x
2
d
x
1
−
x
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{\varpi }}=2\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
オイラーは1738年に、長方形の弾性体（第1および第2のレムニスケート定数）について [50]
arc
length
⋅
height
=
A
⋅
B
=
∫
0
1
d
x
1
−
x
4
⋅
∫
0
1
x
2
d
x
1
−
x
4
=
ϖ
2
⋅
π
2
ϖ
=
π
4
{\displaystyle {\textrm {arc}}\ {\textrm {length}}\cdot {\textrm {height}}=A\cdot B=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\cdot \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\mathop {\mathrm {d} x} }{\sqrt {1-x^{4}}}}={\frac {\varpi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\varpi }}={\frac {\pi }{4}}}
ここで、軸 とを 満たす楕円の 円周を考えると 、スターリングは
C
{\displaystyle C}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
1
{\displaystyle 1}
2
x
2
+
4
y
2
=
1
{\displaystyle 2x^{2}+4y^{2}=1}
C
2
=
∫
0
1
d
x
1
−
x
4
+
∫
0
1
x
2
d
x
1
−
x
4
{\displaystyle {\frac {C}{2}}=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}+\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
したがって、全周は
C
=
π
ϖ
+
ϖ
=
3.820197789
…
{\displaystyle C={\frac {\pi }{\varpi }}+\varpi =3.820197789\ldots }
これは半周期の 正弦 曲線の弧の長さでもある: [52]
C
=
∫
0
π
1
+
cos
2
(
x
)
d
x
{\displaystyle C=\int _{0}^{\pi }{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx}
その他の制限 ベルヌーイ数 が
であるの と同様に
、
フルヴィッツ数 が
であることがわかります 。
2
π
=
lim
n
→
∞
|
(
2
n
)
!
B
2
n
|
1
2
n
{\displaystyle 2\pi =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(2n)!}{\mathrm {B} _{2n}}}\right|^{\frac {1}{2n}}}
B
n
{\displaystyle \mathrm {B} _{n}}
2
ϖ
=
lim
n
→
∞
(
(
4
n
)
!
H
4
n
)
1
4
n
{\displaystyle 2\varpi =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {(4n)!}{\mathrm {H} _{4n}}}\right)^{\frac {1}{4n}}}
H
n
{\displaystyle \mathrm {H} _{n}}
注記
^ 参照:
ガウス、CF (1866)。 Werke (バンド III) (ラテン語とドイツ語)。 Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen。 404ページ コックス 1984、281 ページ エイマール、ピエール。ラフォン、ジャンピエール (2004)。 円周率 。アメリカ数学協会。 ISBN 0-8218-3246-8 。 199ページ ボッタッツィーニ、ウンベルト 、 グレイ、ジェレミー （2013）。 隠されたハーモニー - 幾何学的幻想：複素関数理論の台頭 。シュプリンガー。doi ： 10.1007 / 978-1-4614-5725-1。ISBN 978-1-4614-5724-4 。 57ページ 荒川恒夫伊吹山、知義。金子正信（2014） ベルヌーイ数とゼータ関数 。スプリンガー。 ISBN 978-4-431-54918-5 。 203ページ ^ 参照:
フィンチ 2003、p.420 小林 宏之、竹内 真吾 (2019)、「2パラメータの一般化三角関数の応用」、 Communications on Pure & Applied Analysis 、 18 (3): 1509–1521、 arXiv : 1903.07407 、 doi :10.3934/cpaa.2019072、 S2CID 102487670 浅井哲也 (2007)、 楕円ガウス和とs=1におけるヘッケL値 、 arXiv : 0707.3711 「A062539 - オエイス」。 ^ 「A064853 - オエイス」. ^ 「レムニスケート定数」. ^ 「y-cruncher が記録した記録」. numberworld.org . 2024年8月20日 閲覧 。 ^ 「A014549 - オエイス」. ^ どちらの証明も現代の観点からは厳密なものではなかった。Cox 1984、p. 281を参照。 ^ abc Todd, John (1975年1月). 「レムニスケート定数」. Communications of the ACM . 18 (1): 14–19. doi : 10.1145/360569.360580 . S2CID 85873. ^ ab "A085565 - オエイス". および 「A076390 - Oeis」。 ^ Carlson, BC (2010)、「楕円積分」、 Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。 ^ 特に、シーゲルは、 と が 代数的である場合、 または が超越的であることを証明した。ここで、 と は アイゼンシュタイン級数 である 。 が超越的であるという事実は、 と から導かれる。
G
4
(
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle \operatorname {G} _{4}(\omega _{1},\omega _{2})}
G
6
(
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle \operatorname {G} _{6}(\omega _{1},\omega _{2})}
Im
(
ω
2
/
ω
1
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Im} (\omega _{2}/\omega _{1})>0}
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
G
4
{\displaystyle \operatorname {G} _{4}}
G
6
{\displaystyle \operatorname {G} _{6}}
ϖ
{\displaystyle \varpi }
G
4
(
ϖ
,
ϖ
i
)
=
1
/
15
{\displaystyle \operatorname {G} _{4}(\varpi ,\varpi i)=1/15}
G
6
(
ϖ
,
ϖ
i
)
=
0.
{\displaystyle \operatorname {G} _{6}(\varpi ,\varpi i)=0.}
Apostol, TM (1990). モジュラー関数と数論におけるディリクレ級数 (第 2 版). Springer. p. 12. ISBN 0-387-97127-0 。
シーゲル、CL (1932)。 「Über die Perioden elliptischer Funktionen」。 Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)。 167 ：62-69。 ^ 特に、シュナイダーは、 となる すべての に対して ベータ関数が 超越関数であることを証明した。 が超越関数であるという事実は、 から導かれ 、同様に B と G についても から導かれる。
B
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}
a
,
b
∈
Q
∖
Z
{\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }
a
+
b
∉
Z
0
−
{\displaystyle a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}
ϖ
{\displaystyle \varpi }
ϖ
=
1
2
B
(
1
4
,
1
2
)
{\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}
B
(
1
2
,
3
4
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.}
テオドール・シュナイダー（1941年）。 「Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale」。 数学に関するジャーナル 。 183 (19): 110–128。 土井 ：10.1515/crll.1941.183.110。 S2CID 118624331。 ^ GV Choodnovsky: 解析関数に関連する定数の代数的独立性 、Notices of the AMS 22、1975、p. A-486 ^ GV チュドノフスキー: 超越数理論への貢献 、アメリカ数学会、1984年、6ページ ^ 実際、
π
=
2
2
M
3
(
1
,
1
2
)
M
′
(
1
,
1
2
)
=
1
G
3
M
′
(
1
,
1
2
)
.
{\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}{M'\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}={\frac {1}{G^{3}M'\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}.}
ボルウェイン、ジョナサン M.; ボルウェイン、ピーター B. (1987)。 円周率と AGM: 解析的数論と計算複雑性の研究 (初版)。Wiley- Interscience。ISBN 0-471-83138-7 。 45ページ ^ Nesterenko, YV; Philippon, P. (2001). 代数的独立性理論入門 . Springer. p. 27. ISBN 3-540-41496-7 。 ^ 参照:
コックス 1984、281 ページ フィンチ 2003、pp.420-422 Schappacher, Norbert (1997)。「レムニスカトミーのいくつかのマイルストーン」 (PDF) 。Sertöz, S. (編)。 代数幾何学 (Bilkent サマー スクールの議事録、1995 年 8 月 7 ～ 19 日、トルコ、アンカラ)。Marcel Dekker。pp. 257 ～ 290。 ^ 「A113847 - オエイス」. ^クレモナ、JE (1997)。モジュラー楕円曲線 の アルゴリズム（第2版）。 ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 0521598206 。 p. 31、式 (2.8.10) ^ 実際、この級数は に対して収束します 。
∑
n
=
1
∞
ν
(
n
)
n
s
{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\nu (n)}{n^{s}}}}
ℜ
s
>
5
/
6
{\displaystyle \operatorname {\Re } s>5/6}
^ マーティ、ヴィジャヤ・クマール （1995年）。 フェルマーの最終定理に関するセミナー 。 アメリカ 数学会 。p.16。ISBN 9780821803134 。 ^ コーエン、アンリ （1993）。 計算代数的数論講座 。 シュプリンガー出版。pp.382–406。ISBN 978-3-642-08142-2 。 ^ 「LMFDB ラベル 32.a3 (Cremona ラベル 32a2) の楕円曲線」。L 関数とモジュラー形式のデータベース 。 ^ この関数は 、ユニークな重み レベルの 新しい形式 であり、関数方程式を満たす。
F
{\displaystyle F}
2
{\displaystyle 2}
32
{\displaystyle 32}
F
(
−
1
τ
)
=
−
τ
2
32
F
(
τ
1
32
)
.
{\displaystyle F\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)=-{\frac {\tau ^{2}}{32}}F\left({\frac {\tau {\vphantom {1}}}{32}}\right).}
^ この関数は 、次のように定義される乗法関数である関数
と密接に関連している。
ν
{\displaystyle \nu }
ξ
{\displaystyle \xi }
ξ
(
p
n
)
=
{
N
p
′
,
p
∈
P
,
n
=
1
ξ
(
p
n
−
1
)
+
χ
(
p
)
n
,
p
∈
P
,
n
≥
2
{\displaystyle \xi (p^{n})={\begin{cases}{\mathcal {N}}_{p}',&p\in \mathbb {P} ,\,n=1\\[5mu]\xi (p^{n-1})+\chi (p)^{n},&p\in \mathbb {P} ,\,n\geq 2\end{cases}}}
ここで 方程式の解の数は
N
p
′
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}'}
a
2
+
b
2
=
p
,
p
∈
P
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=p,\quad p\in \mathbb {P} }
負でない整数
の変数（ フェルマーの2平方和の定理 を参照）では πのライプニッツの公式の
ディリクレ指標 である。また、
a
,
b
{\displaystyle a,b}
χ
{\displaystyle \chi }
∑
d
|
n
χ
(
d
)
=
ξ
(
n
)
{\displaystyle \sum _{d|n}\chi (d)=\xi (n)}
任意の正の整数に対して、和が正の約数のみに及ぶ場合、 と の関係 は
n
{\displaystyle n}
ν
{\displaystyle \nu }
ξ
{\displaystyle \xi }
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
ξ
(
4
k
+
1
)
ξ
(
4
n
−
4
k
+
1
)
=
ν
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\xi (4k+1)\xi (4n-4k+1)=\nu (2n+1)}
ここで、 は 任意の非負の整数です。
n
{\displaystyle n}
^ この関数 は、
ν
{\displaystyle \nu }
∑
z
∈
G
;
z
z
¯
=
n
z
=
ν
(
n
)
{\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {G} ;\,z{\overline {z}}=n}z=\nu (n)}
ここで は 任意の
正の整数であり、 はすべての ガウス整数 の集合であり、
n
{\displaystyle n}
G
{\displaystyle \operatorname {\mathbb {G} } }
(
−
1
)
a
±
b
−
1
2
(
a
±
b
i
)
{\displaystyle (-1)^{\frac {a\pm b-1}{2}}(a\pm bi)}
ここで は奇数、 は 偶数です。 前の注釈の関数は
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
ξ
{\displaystyle \xi }
|
{
z
:
z
∈
G
∧
z
z
¯
=
n
}
|
=
ξ
(
n
)
{\displaystyle \left|\{z:z\in \mathbb {G} \land z{\overline {z}}=n\}\right|=\xi (n)}
ここで は 正の奇数です。
n
{\displaystyle n}
^ Rubin, Karl (1987). 「複素乗算を伴う楕円曲線の Tate-Shafarevich 群と L 関数」. Inventiones Mathematicae . 89 :528. ^ 「Newform orbit 1.12.aa」。L 関数とモジュラー形式のデータベース 。 ^ レビン（2006） ^ Hyde (2014) は、クローバー曲線に対するより一般的な Wallis のような公式の妥当性を証明しています。ここでは、明確にするために、レムニスケートの特殊なケースがわずかに変形されています。 ^ Hyde, Trevor (2014). 「クローバー上のワリス積」 (PDF) . アメリカ数学月刊誌 . 121 (3): 237–243. doi :10.4169/amer.math.monthly.121.03.237. S2CID 34819500. ^ ボッタッツィーニ、ウンベルト 、 グレイ、ジェレミー （2013）。 隠されたハーモニー-幾何学的幻想：複素関数理論の台頭 。シュプリンガー。doi ： 10.1007 / 978-1-4614-5725-1。ISBN 978-1-4614-5724-4 。 60ページ ^ トッド（1975） ^ Cox 1984、307ページ、最初の等式については式2.21。2番目の等式は 五角数定理 を使って証明できる。 ^ ベルント、ブルース C. (1998)。 ラマヌジャンのノートブックパートV。 シュプリンガー 。ISBN 978-1-4612-7221-2 。 326ページ ^この式は 超幾何反転 によって証明できる 。
a
(
q
)
=
∑
m
,
n
∈
Z
q
m
2
+
m
n
+
n
2
{\displaystyle \operatorname {a} (q)=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }q^{m^{2}+mn+n^{2}}}
どこ で 。そして
q
∈
C
{\displaystyle q\in \mathbb {C} }
|
q
|
<
1
{\displaystyle \left|q\right|<1}
a
(
q
)
=
2
F
1
(
1
3
,
2
3
,
1
,
z
)
{\displaystyle \operatorname {a} (q)={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},1,z\right)}
どこ
q
=
exp
(
−
2
π
3
2
F
1
(
1
/
3
,
2
/
3
,
1
,
1
−
z
)
2
F
1
(
1
/
3
,
2
/
3
,
1
,
z
)
)
{\displaystyle q=\exp \left(-{\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}(1/3,2/3,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/3,2/3,1,z)}}\right)}
ここで 。問題の式は と設定した場合に従います 。
z
∈
C
∖
{
0
,
1
}
{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
z
=
1
4
(
3
3
−
5
)
{\textstyle z={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}3{\sqrt {3}}-5{\bigr )}}
^ エイマール、ピエール;ラフォン、ジャンピエール (2004)。 円周率 。アメリカ数学協会。 ISBN 0-8218-3246-8 。 232ページ ^ Garrett, Paul. 「レベル 1 楕円モジュラー形式」 (PDF) 。 ミネソタ大学 。 11〜13ページ ^ この式は 超幾何 変換
から導かれる。
3
F
2
(
1
4
,
1
2
,
3
4
,
1
,
1
,
16
z
(
1
−
z
)
2
(
1
+
z
)
4
)
=
(
1
+
z
)
2
F
1
(
1
2
,
1
2
,
1
,
z
)
2
{\displaystyle {}_{3}F_{2}\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},1,1,16z{\frac {(1-z)^{2}}{(1+z)^{4}}}\right)=(1+z)\,{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)^{2}}
ここで 、 およびは モジュラーラムダ関数 です 。
z
=
λ
(
1
+
5
i
)
{\displaystyle z=\lambda (1+5i)}
λ
{\displaystyle \lambda }
^ フルシチョフ、セルゲイ（2008年）。 直交多項式と連分数 （初版）。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-85419-1 。 p. 140 (式 3.34)、p. 153。p. 153 に誤りがあります。 のはずです 。
4
[
Γ
(
3
+
s
/
4
)
/
Γ
(
1
+
s
/
4
)
]
2
{\displaystyle 4[\Gamma (3+s/4)/\Gamma (1+s/4)]^{2}}
4
[
Γ
(
(
3
+
s
)
/
4
)
/
Γ
(
(
1
+
s
)
/
4
)
]
2
{\displaystyle 4[\Gamma ((3+s)/4)/\Gamma ((1+s)/4)]^{2}}
^ フルシチョフ、セルゲイ（2008年）。 直交多項式と連分数 （初版）。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-85419-1 。 146、155ページ ^ ペロン、オスカー (1957)。 Die Lehre von den Kettenbrüchen: Band II (ドイツ語) (第 3 版)。 BG・トイブナー。 p. 36、式24 ^ “A062540 - OEIS”. oeis.org . 2022年9月14日 閲覧 。 ^ 「A053002 - OEIS」. oeis.org . ^ Blagouchine, Iaroslav V. (2014). 「マルムステン積分の再発見、等高線積分法による評価、および関連する結果」. ラマヌジャンジャーナル . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID 120943474. ^ 「A068467 - オエイス」. ^ レヴィーン（2008） ^ Adlaj, Semjon (2012). 「楕円の周長を表すわかりやすい公式」 (PDF) 。 アメリカ数学会 。p. 1097。 また、半周期にわたる「正弦」曲線の長さ、つまり、関数 sin(t) のグラフの t = 0 の点から t = π の点までの長さは であることにも気づくかもしれません 。
2
l
(
1
/
2
)
=
L
+
M
{\displaystyle {\sqrt {2}}l(1/{\sqrt {2}})=L+M}
この論文 と 。
M
=
1
/
G
=
π
/
ϖ
{\displaystyle M=1/G=\pi /\varpi }
L
=
π
/
M
=
G
π
=
ϖ
{\displaystyle L=\pi /M=G\pi =\varpi }
参考文献 ワイスタイン、エリック・W. 「レムニスケート定数」。 マスワールド 。 OEIS の配列A014549、A053002、およびA062539 Cox, David A. (1984年1月). 「ガウスの算術幾何平均」 (PDF) . L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 275–330. doi :10.5169/seals-53831 . 2022年 6月25日 閲覧 。 フィンチ、スティーブン R. (2003 年 8 月 18 日)。数学定数。ケンブリッジ大学出版局。pp. 420–422。ISBN 978-0-521-81805-6 。
外部リンク 「ガウス定数とその発生場所」 www.johndcook.com . 2021-10-17.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}= {\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {tt^{3}}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm { d} t}{\sqrt {t^{3}-t}}}\\[6mu]&=4\int _{0}^{\infty }{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{1+t^{4}}}-t{\Bigr )}\,\mathrm {d} t=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-t^{4}}}\mathop { \mathrm {d} t} =3\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{4}}}\,\mathrm {d} t\\[2mu]&=2K(i)={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1} {2}}{\bigr )}={\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {2\pi }}}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{4}}{\frac {\zeta (3 /4)^{2}}{\zeta (1/4)^{2}}}\\[5mu]&=2.62205\;75542\;92119\;81046\;48395\;89891\;11941\ldots 、\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa00a5743dc4d1915700def2e48ae2b95514bf6f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\varpi }{2}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{ 4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )},\\[3mu]B&={\frac {\pi }{2\varpi }}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.\end{aligned}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b5bf31d2eec5d57cb4a4af2721754d24962c5e)
![{\displaystyle \nu (p^{n})={\begin{cases}p-{\mathcal {N}}_{p},&p\in \mathbb {P} ,\,n=1\\[ 5mu]0,&p=2,\,n\geq 2\\[5mu]\nu (p)\nu (p^{n-1})-p\nu (p^{n-2}),&p\in \mathbb {P} \setminus \{2\},\,n\geq 2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28f42f8065c750aef0016cb73c652a0daeb342a)
![{\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}(i)={ \frac {\varpi ^{4}}{15}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c020975bd00f51d682f805befa01df23988448)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \varpi =\pi {\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}{\biggl (}\sum _{n=-\infty) }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}{\biggr )}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92daf3dbe5e4b505b6c7a497da581035294fb33)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=[2,1,1,1,1,1,4,1,2,\ldots ],\\[8mu]2\varpi &=[5,4 ,10,2,1,2,3,29,\ldots ],\\[5mu]{\frac {\varpi }{2}}&=[1,3,4,1,1,1,5,2,\ldots ],\\[2mu]{\frac {\varpi }{\pi }}&=[0, 1,5,21,3,4,14,\ldots ].\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b83715e21dc69253b7047b2045b6e482802fdd)
![{\textstyle 2\int _{0}^{1}{\sqrt[{n}]{1-x^{n}}}\mathop {\mathrm {d} x} ={\tfrac {1}{ n}}\pi _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1088ee33b310fd26307c26b917b43a7a9211ae)
![{\displaystyle \xi (p^{n})={\begin{cases}{\mathcal {N}}_{p}',&p\in \mathbb {P} ,\,n=1\\[5mu ]\xi (p^{n-1})+\chi (p)^{n},&p\in \mathbb {P} ,\,n\geq 2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3c39f2c333fe2d73f8faad95d5d0625cd84965)
![{\displaystyle 4[\ガンマ (3+s/4)/\ガンマ (1+s/4)]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dbbf0163687acf39aec82572e89e1cfc9814f41)
![{\displaystyle 4[\ガンマ ((3+s)/4)/\ガンマ ((1+s)/4)]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3daa83f9526cd20ebe1bddfefa93546ba20d1d)
