ファジーロジック

基本的な応用例としては、連続変数のさまざまなサブ範囲を特徴付けることが挙げられます。たとえば、アンチロックブレーキの温度測定では、ブレーキを適切に制御するために必要な特定の温度範囲を定義する複数の個別のメンバシップ関数を持つことができます。各関数は、同じ温度値を 0 から 1 の範囲の真値にマッピングします。これらの真値を使用して、ブレーキをどのように制御すべきかを決定することができます。^{[ 10 ]}ファジィ集合理論は、不確実性を表現する手段を提供します。

ファジー論理アプリケーションでは、ルールや事実の表現を容易にするために非数値がよく使用されます。^{[ 11 ]}

年齢などの言語変数は、若い、その反意語である古いなどの値を受け入れることがあります。自然言語には、あいまいな値尺度を表現するのに十分な値語が常に含まれているとは限らないため、形容詞や副詞で言語値を修飾するのが一般的です。たとえば、ratherやsomewhat というヘッジを使用して、 rather oldやsomewhat young という追加の値を構築できます。^{[ 12 ]}

最もよく知られているシステムは、マムダニのルールに基づくシステムである。^{[ 13 ]}これは以下のルールを使用する。

1. すべての入力値をファジーメンバシップ関数にファジー化する。
2. ルールベース内の適用可能なすべてのルールを実行して、ファジー出力関数を計算します。
3. あいまいな出力関数をデファジィ化して、「明確な」出力値を得る。

ファジィ化

ファジィ化とは、システムの数値入力を、ある程度の帰属度を持つファジィ集合に割り当てるプロセスです。この帰属度は[0,1]の範囲内の任意の値をとることができます。帰属度が0であれば、その値は与えられたファジィ集合に属さず、1であれば、その値は完全にファジィ集合に属します。0から1の間の値は、その値が集合に属するかどうかの不確実性の度合いを表します。これらのファジィ集合は通常、言葉で表現されるため、システム入力をファジィ集合に割り当てることで、言語的に自然な方法で推論を行うことができます。

例えば、下の図では、「寒い」「暖かい」「暑い」という表現の意味が、温度スケールをマッピングする関数によって表されています。このスケール上の各点には、3つの関数それぞれに対応する3つの「真偽値」があります。図中の垂直線は、3つの矢印（真偽値）が示す特定の温度を表しています。赤い矢印が0を指しているため、この温度は「暑くない」と解釈できます。つまり、この温度はファジィ集合「暑い」に0のメンバーシップを持ちます。オレンジ色の矢印（0.2を指している）は「やや暖かい」と、青い矢印（0.8を指している）は「かなり寒い」と表現できます。したがって、この温度はファジィ集合「暖かい」に0.2、ファジィ集合「寒い」に0.8のメンバーシップを持ちます。各ファジィ集合に割り当てられるメンバーシップの度合いは、ファジィ化の結果です。

ファジィ集合は、値が増加する部分では傾き、値が 1 に等しい部分ではピーク (長さは 0 以上になる)、値が減少する部分では傾きを持つため、三角形または台形の曲線として定義されることが多い。^{[ 14 ]}また、シグモイド関数を使用して定義することもできる。^{[ 15 ]}一般的な例としては、次のように定義される標準ロジスティック関数がある。

${\displaystyle S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

これは以下の対称性を持つ

$${\displaystyle S(x)+S(-x)=1.}$$

このことから、

$${\displaystyle (S(x)+S(-x))\cdot (S(y)+S(-y))\cdot (S(z)+S(-z))=1}$$

x と y = x * y x = 1 - x ではない したがって、 x OR y = NOT( AND( NOT(x), NOT(y) ) ) x OR y = NOT( AND( 1 - x, 1 - y) ) x OR y = NOT( (1 - x) * (1 - y) ) x または y = 1 - (1 - x) * (1 - y) x または y = x + y - xy 

気温が非常に低い場合は、ファン速度が停止します。 気温が低い場合、ファン速度は遅くなります 気温が高い場合は、ファン速度は中程度になります。 温度が高い場合は、ファン速度が速くなります。 

高木-菅野（Takagi–Sugeno ）システム、または高木-菅野-康（Takagi–Sugeno–Kang、TSK）システムは、システムのファジィ同定とモデリングおよび制御への応用を目的として、高木智弘と菅野道夫によって導入されました。 ^{[ 20 ]}菅野と康は後に、入出力データからこのようなファジィモデルの構造を同定する方法を開発しました。^{[ 21 ]} TSKシステムはMamdaniシステムに似ていますが、非ファジィ化プロセスがファジィルールの実行に含まれています。また、ルールの帰結が多項式関数で表現されるように調整されており、通常、ゼロ次モデルでは定数、一次モデルでは線形です。定数出力を持つルールの例は次のとおりです。

気温が非常に低い場合、ファン速度は2になります。 

この場合、出力は後件の定数（例：2）と等しくなります。ほとんどのシナリオでは、2つ以上のルールを含むルールベース全体が存在することになります。この場合、ルールベース全体の出力は、各ルール i の後件（Y _{i ）をその前件（h i} ）のメンバーシップ値に応じて重み付けした平均値になります。

${\displaystyle {\frac {\sum _{i}(h_{i}\cdot Y_{i})}{\sum _{i}h_{i}}}}$

線形出力を持つルールの例は次のようになります。

気温が非常に低く、湿度が高い場合、ファン速度は 2 * 気温 + 1 * 湿度 となります。 

この場合、ルールの出力は後件部の関数の結果となります。後件部の変数は、現在の入力で評価されたシステムの入力変数であり、前件部のメンバーシップ値はルールの重みを決定します。これまでと同様に、2つ以上のルールを含むルールベース全体がある場合、全体の出力は各ルールの出力の加重平均となります。

TSKをMamdaniアルゴリズムよりも優先して使用する主な利点は、計算効率が高く、PID制御や最適化アルゴリズムなどの他のアルゴリズムとうまく連携できる点です。また、出力曲面の連続性も保証できます。しかし、Mamdaniアルゴリズムの方が直感的で扱いやすいという利点があります。そのため、TSKは通常、適応型ニューロファジー推論システムなどの他の複雑な手法の中で使用されます。

ニューラルネットワークに基づく人工知能とファジー論理は、分析すると同じものです。ニューラルネットワークの根底にある論理はファジーです。ニューラルネットワークは、さまざまな値の入力を受け取り、それらに互いに異なる重みを与え、中間値を一定回数組み合わせ、特定の値で決定を下します。このプロセスには、非ファジー数学、コンピュータプログラミング、デジタルエレクトロニクスを特徴付けるような、二者択一の決定のシーケンスのようなものはどこにもありません。 1980年代、研究者たちは、機械学習の最も効果的なアプローチ、つまり決定木学習かニューラルネットワークかについて意見が分かれていました。前者のアプローチは、それが実行されるハードウェアに合わせてバイナリ論理を使用しますが、多大な努力にもかかわらず、インテリジェントシステムにはつながりませんでした。対照的に、ニューラルネットワークは、複雑な状況の正確なモデルをもたらし、すぐに多数の電子機器に採用されました。^{[ 23 ]}また、以前はデジタルチップ上の擬似アナログ実装であったのに対し、現在ではアナログマイクロチップ上に直接実装することもできます。これらの効率性の高さは、様々な用途においてアナログ回路の本来的な精度の低さを補う。

ファジー論理は、医療における意思決定において重要な概念です。医療データやヘルスケアデータは主観的であったり曖昧であったりするため、この分野のアプリケーションは、ファジー論理に基づくアプローチを用いることで大きな恩恵を受ける可能性を秘めています。

^{ファジー論理は、}医療意思決定フレームワーク内のさまざまな側面で使用できます。そのような側面には^、医用画像解析^、生体信号解析、^{画像[ 27 ]または}信号のセグメンテーション、画像^{[ 27 ]}または信号の特徴抽出/選択^{[ 28 ]が}含ま^れます。

この応用分野における最大の疑問は、ファジー論理を使用した場合にどれだけの有用な情報が得られるかということである。大きな課題は、必要なファジーデータをどのように取得するかである。このようなデータを人間（通常は患者）から引き出す必要がある場合は、さらに困難になる。すでに述べたように

「皮肉なことに、医療診断において達成できることと達成できないことの範囲自体が曖昧なのだ」

ファジーデータの抽出方法とデータの正確性の検証方法は、ファジー論理の応用と密接に関連しており、現在も研究が続けられています。ファジーデータの品質を評価する問題は困難です。そのため、ファジー論理は医療意思決定の応用分野において非常に有望な可能性を秘めていますが、その潜在能力を最大限に発揮するには、さらなる研究が必要です。^{[ 29 ]}

ファジー関係が定義されると、ファジー関係データベースを開発することが可能になります。最初のファジー関係データベースであるFRDBは、マリア・ゼマンコワの博士論文（1983年）に登場しました。その後、バックルズ・ペトリーモデル、プラード・テストマーレモデル、ウマノ・フカミモデル、JMメディナ、MAヴィラらによるGEFREDモデルなど、他のモデルも登場しました。

ファジークエリ言語は、 P. Bosc らによるSQLfや J. Galindo らによるFSQLなど、いくつか定義されています。これらの言語は、ファジー条件、ファジー比較器、ファジー定数、ファジー制約、ファジー閾値、言語ラベルなど、SQL ステートメントにファジーな側面を含めるための構造を定義しています。

最も重要な命題ファジィ論理は以下のとおりです。

• モノイドtノルムに基づく命題ファジィ論理MTLは、論理の公理化であり、論理積は左連続tノルムによって定義され、含意はtノルムの残余として定義されます。そのモデルは、前線形可換有界積分残余束であるMTL代数に対応します。
• 基本命題ファジィ論理（BL）は、MTL論理の拡張であり、論理積は連続tノルムによって定義され、含意もまたtノルムの残余として定義される。そのモデルはBL代数に対応する。
• ルカシェヴィッチ・ファジー論理は、基本ファジー論理BLの拡張であり、標準的な論理積はルカシェヴィッチtノルムである。基本ファジー論理の公理に加えて二重否定の公理を持ち、そのモデルはMV代数に対応する。
• ゲーデルファジー論理は、基本ファジー論理BLを拡張したもので、論理積はゲーデルtノルム（つまり最小値）です。BLの公理に加えて論理積の冪等性の公理を持ち、そのモデルはG代数と呼ばれます。
• 積ファジィ論理は、基本ファジィ論理BLを拡張したもので、論理積はtノルム積で表されます。BLの公理に加えて、論理積の相殺性に関する公理が加わり、そのモデルは積代数と呼ばれます。
• 評価構文付きファジィ論理（パヴェルカ論理とも呼ばれる）は、EVŁ と表記され、数学的ファジィ論理のさらなる一般化である。上記の種類のファジィ論理は、従来の構文と多値意味論を持つが、EVŁ では構文も評価される。これは、各式に評価があることを意味する。EVŁ の公理化は、ルカシェヴィチのファジィ論理に由来する。古典的なゲーデルの完全性定理の一般化は、EVŁ で証明可能である。^{[ 19 ]}

述語論理が命題論理から構築されるのと同様に、述語ファジィ論理は、普遍量化子と存在量化子によってファジィシステムを拡張します。tノルムファジィ論理における普遍量化子の意味は、量化された部分式のインスタンスの真理値の下限であり、存在量化子の意味は、その上限です。

「決定可能な部分集合」と「再帰的に列挙可能な部分集合」の概念は、古典数学と古典論理学における基本的な概念です。したがって、これらの概念をファジィ集合論に適切に拡張することは極めて重要です。このような方向への最初の提案は、ES Santos がファジィチューリングマシン、マルコフ正規ファジィアルゴリズム、ファジィプログラムの概念によって行いました（Santos 1970 を参照）。その後、L. Biacino と G. Gerla は、提案された定義はむしろ疑わしいと主張しました。例えば、^{[ 31 ]}では、ファジィチューリングマシンでは認識できない、直感的に計算可能な自然なファジィ言語が存在するため、ファジィチューリングマシンはファジィ言語理論には適していないことが示されています。そこで彼らは、以下の定義を提案しました。 [0,1] の有理数の集合をÜとします。このとき、ファジィ部分集合s  : S は、${\displaystyle \rightarrow }$ 集合Sの [0,1]は、再帰的写像h  : S × N が${\displaystyle \rightarrow }$Üが存在し、 Sのすべてのxに対して、関数h ( x , n ) はnに関して増加し、s ( x ) = lim h ( x , n ) が成り立つ。sとその補集合であるsの両方が再帰的に列挙可能である場合、s は決定可能であると言う。このような理論を L 部分集合の一般の場合に拡張することは可能である (Gerla 2006 を参照)。提案された定義はファジィ論理とよく関連している。実際、次の定理が成り立つ (考慮されているファジィ論理の推論装置が、ある明らかな有効性特性を満たす場合)。

公理化可能なファジィ理論は、再帰的に列挙可能である。特に、論理的に真である式のファジィ集合は再帰的に列挙可能であるが、一般的に、有効な式の明確な集合は再帰的に列挙可能ではない。さらに、公理化可能かつ完全な理論は、決定可能である。

ファジィ数学における「チャーチのテーゼ」を支持する根拠を示すことは未解決の問題であり、ファジィ部分集合の再帰的列挙可能性という概念が適切なものである。これを解決するには、ファジィ文法とファジィチューリングマシンの概念を拡張する必要がある。また、この概念を出発点として、ゲーデルの定理をファジィ論理に拡張することも未解決の問題である。

ファジィ論理と確率論は、異なる形の不確実性を扱います。ファジィ論理と確率論はどちらも、ある種の主観的信念の度合いを表すことができますが、ファジィ集合論はファジィ集合メンバーシップの概念、つまり、観測が曖昧に定義された集合にどの程度含まれているかという概念を使用し、確率論は主観的確率の概念、つまり、ある事象や条件の発生頻度または可能性という概念を使用します。ファジィ集合の概念は、不確実性と曖昧さを同時にモデル化するための確率論の欠如への対応として、20 世紀半ばにバークレーで開発されました^{[ 32 ] 。 [ 33 ]}

バート・コスコは著書『ファジィ性 vs. 確率』^{[ 34 ]}の中で、確率論はファジィ論理のサブ理論であると主張している。なぜなら、確率論における相互排他的な集合への帰属の度合いに関する疑問は、ファジィ理論における相互排他的ではない段階的帰属の特定のケースとして表現できるからである。その文脈において、彼はファジィ部分集合の概念からベイズの定理も導出している。ロトフィ・A・ザデーは、ファジィ論理は性質上確率とは異なり、確率の代替物ではないと主張している。彼は確率をファジィ確率にファジィ化し、さらにそれを可能性理論に一般化した。^{[ 35 ]}

より一般的に言えば、ファジー論理は古典論理の範囲外の不確実性の問題、多くの領域における確率論の適用不可能性、およびデンプスター・シェーファー理論のパラドックスに対処することを目的とした、古典論理のさまざまな拡張の1つである。

計算理論家のレスリー・ヴァリアントは、ファジー論理（および「堅牢性の低い」論理）のような、より不正確なシステムや手法を学習アルゴリズムに適用する方法を説明するために、エコリズムという用語を使用しています。ヴァリアントは基本的に機械学習を進化的学習として再定義しています。一般的に、エコリズムは、より複雑な環境（したがってエコ-）から学習して、ソリューションロジックを一般化、近似、単純化するアルゴリズムです。ファジー論理と同様に、エコリズムは、完全に列挙したり、離散的または正確に理解するには複雑すぎる連続変数やシステムを克服するために使用される方法です。^{[ 36 ]}エコリズムとファジー論理には、確率よりも可能性を扱うという共通の特性もありますが、フィードバックとフィードフォワード、基本的に確率的重みは、たとえば動的システムを扱う場合、両方の特徴です。

真理値が0から1の間の実数であり、AND演算子とOR演算子がMINとMAXに置き換えられている別の論理システムは、ゲーデルのG∞論理です_。この論理はファジー論理と多くの類似点がありますが、否定の定義が異なり、内部含意があります。否定$\displaystyle \neg _{G}}$そしてその意味合い${\displaystyle {\xrightarrow[{G}]{}}}$以下のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

これにより、結果として得られる論理体系は直観主義論理のモデルとなり、真理値として0から1までの実数を持つ論理体系のあらゆる選択肢の中で特に優れた振る舞いをするようになります。この場合、含意は「xはyよりも真でない」と解釈でき、否定は「xは0よりも真でない」または「xは厳密に偽である」と解釈できます。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$我々はそれを持っている${\displaystyle {\text{AND}}(x,x\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} y)={\text{AND}}(x,y)}$特に、ゲーデル論理では、否定はもはや対合ではなく、二重否定はゼロ以外の値を1に写像します。