切頂四面体

切頂四面体
切頂四面体
タイプ	アルキメデスの立体、; 一様多面体、; ゴールドバーグ多面体
顔	4つの六角形; 4つの三角形
エッジ	18
頂点	12
対称グループ	四面体対称性
二重多面体	トリアキス四面体
頂点図形
ネット

幾何学において、切頂四面体はアルキメデスの立体です。正六角形の面が 4 つ、正三角形の面が 4 つ、頂点が 12 個、辺が 18 個 (2 種類)あります。正四面体の 4 つの頂点をすべて切頂にすることで作成できます。

工事

切頂四面体は、正四面体からすべての頂点を切り落とすことで作ることができる。このプロセスは切頂と呼ばれる。 ^[1]結果として得られる多面体は、4つの正三角形と4つの正六角形、18の辺、12の頂点を持つ。^[2]辺の長さが1の場合、 12の頂点の直交座標は点である。

${\bigl (}{\pm {\tfrac {3{\sqrt {2}}}{4}}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{4}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{4}}{\bigr )}$

マイナス記号が偶数個ある。

プロパティ

辺の長さが与えられている場合、切頂四面体の表面積は4つの正六角形と4つの正三角形の面積の合計であり、その体積は次の式で表される: ^[2] $a$ $A$ $V$ ${\begin{aligned}A&=7{\sqrt {3}}a^{2}&&\approx 12.124a^{2},\\V&={\tfrac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}&&\approx 2.711a^{3}.\end{aligned}}$

切頂四面体の三角形と六角形の間の二面角は約109.47°で、隣接する六角形の面の間の二面角は約70.53°である。^[3]

切頂四面体の最も密なパッキングはであると考えられており、これはDamasceno、Engel & Glotzer (2012) と Jiao & Torquato (2013) という2 つの独立したグループによるモンテカルロ法による報告によるものです。^[4]^[5]これが切頂四面体の最良のパッキングであるという数学的証明は存在しませんが、発見された結果が統一性と独立性に非常に近いことから、これより密なパッキングが見つかる可能性は低いと考えられます。角の切頂が切頂四面体の切頂よりもわずかに小さい場合、この新しい形状を使用して空間を完全に埋めることができます。^[4] ${\textstyle \Phi ={\frac {207}{208}}}$

切頂四面体はアルキメデスの立体であり、対称性が高く半正多面体で、2つ以上の異なる正多角形面が頂点で交わる。^[6]切頂四面体は正四面体と同じ3次元群対称性、すなわち四面体対称性を持つ。^[7]すべての頂点で交わる多角形面は1つの正三角形と2つの正六角形であり、頂点図形はと表記される。その双対多面体は三角四面体で、カタロニア立体であり、切頂四面体と同じ対称性を持つ。^[8] $\mathrm {T} _{\mathrm {h} }$ $3\cdot 6^{2}$

切断された四面体グラフ

数学のグラフ理論の分野において、切頂四面体グラフはアルキメデスのグラフ、すなわちアルキメデスの立体の1つである切頂四面体の頂点と辺のグラフである。12の頂点と18の辺を持つ。^[13]これは連結立方グラフであり、^[14]連結立方推移グラフでもある。^[15]

例

デ・ディヴィナ・プロポーネの素描(1509)
Perspectiva Corporum Regulariumの描画(1568)
結晶モデル
さまざまな視点からの写真 ( Matemateca )
4面ダイス
12通りの組み合わせ（茶色） $(4,2,0,0)$

参照

四分の一立方ハニカム– 切頂四面体とより小さな四面体を使用して空間を埋めます
切断された5セル– 4次元の相似一様多面体
切頂三角四面体
トリアキス切頂四面体
八面体– 直角四面体
切頂三角錐数

参考文献

^ ab Kuchel, Philip W. (2012). 「96.45 切頂四面体を「曲げる」ことはできますか?」The Mathematical Gazette . 96 (536): 317–323. JSTOR 23248575.
^ ab Berman, Martin (1971). 「正面凸多面体」.フランクリン研究所ジャーナル. 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.
^ ジョンソン、ノーマン W. (1966)。「正則面を持つ凸多面体」。Canadian Journal of Mathematics。18 : 169–200。doi : 10.4153 / cjm-1966-021-8。MR 0185507。S2CID 122006114。Zbl 0132.14603 。II行目を参照してください。
^ ab Damasceno, Pablo F.; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (2012). 「切断四面体ファミリーの結晶集合体と高密度充填、および方向性エントロピー力の役割」. ACS Nano . 6 (2012): 609–614. arXiv : 1109.1323 . doi :10.1021/nn204012y. PMID 22098586. S2CID 12785227.
^ Jiao, Yang; Torquato, Sal (2011). 「ほぼすべての空間を満たす切頂四面体のパッキング」arXiv : 1107.2300 [cond-mat.soft].
^ Diudea, MV (2018). マルチシェル多面体クラスター. Springer . p. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2。
^ Koca, M.; Koca, NO (2013). 「コクセター群、四元数、多面体の対称性、4D多面体」。数理物理学：第13回地域会議議事録、トルコ、アンタルヤ、2010年10月27～31日。ワールドサイエンティフィック。p. 46～47。
^ ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。ドーバー出版、p. 72。ISBN 978-0-486-23729-9。
^ Rajwade, AR (2001). 凸多面体と正則条件およびヒルベルトの第3問題。数学のテキストと読み物。ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー。p. 84–89。doi : 10.1007 / 978-93-86279-06-4。ISBN 978-93-86279-06-4。
^ Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). 「同型タイルによるタイリング」.アメリカ数学会報. 新シリーズ. 3 (3): 951–973. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . MR 0585178.
^ Friauf, JB (1927). 「金属間化合物の結晶構造」.アメリカ化学会誌. 49 (12): 3107–3114. doi :10.1021/ja01411a017.
^ ラレーナ、ジョン・N.; クリアリー、デビッド・A.; デュパルク、オリヴィエ・B. (2020). 無機材料設計の原則。ジョン・ワイリー＆サンズ。p. 150。ISBN 9781119486916。
^ グラフの地図帳、267 ページ、切断された四面体グラフ
^ グラフの地図帳、130 ページ、連結立方グラフ、12 頂点、C105
^ グラフの地図帳、161 ページ、連結立方推移グラフ、12 頂点、Ct11

リード、RC; ウィルソン、RJ (1998)、『グラフのアトラス』、オックスフォード大学出版局

外部リンク

Weisstein, Eric W.、「切頂四面体」（「アルキメデスの立体」）（MathWorld）
- Weisstein、Eric W.「切断された四面体グラフ」。MathWorld。
Klitzing、Richard。「3D 凸均一多面体 x3x3o - tut」。
インタラクティブな 3D ビューを備えた、編集可能で印刷可能な切頂四面体のネット
均一な多面体
バーチャルリアリティ多面体多面体百科事典

[kuchel-1] Kuchel, Philip W. (2012). 「96.45 切頂四面体を「曲げる」ことはできますか?」The Mathematical Gazette . 96 (536): 317–323. JSTOR 23248575.

[berman-2] Berman, Martin (1971). 「正面凸多面体」.フランクリン研究所ジャーナル. 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.

[johnson-3] ジョンソン、ノーマン W. (1966)。「正則面を持つ凸多面体」。Canadian Journal of Mathematics。18 : 169–200。doi : 10.4153 / cjm-1966-021-8。MR 0185507。S2CID 122006114。Zbl 0132.14603 。II行目を参照してください。

[damasceno-4] Damasceno, Pablo F.; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (2012). 「切断四面体ファミリーの結晶集合体と高密度充填、および方向性エントロピー力の役割」. ACS Nano . 6 (2012): 609–614. arXiv : 1109.1323 . doi :10.1021/nn204012y. PMID 22098586. S2CID 12785227.

[jiao-5] Jiao, Yang; Torquato, Sal (2011). 「ほぼすべての空間を満たす切頂四面体のパッキング」arXiv : 1107.2300 [cond-mat.soft].

[diudea-6] Diudea, MV (2018). マルチシェル多面体クラスター. Springer . p. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2。

[kocakoca-7] Koca, M.; Koca, NO (2013). 「コクセター群、四元数、多面体の対称性、4D多面体」。数理物理学：第13回地域会議議事録、トルコ、アンタルヤ、2010年10月27～31日。ワールドサイエンティフィック。p. 46～47。

[williams-8] ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。ドーバー出版、p. 72。ISBN 978-0-486-23729-9。

[rajwade-9] Rajwade, AR (2001). 凸多面体と正則条件およびヒルベルトの第3問題。数学のテキストと読み物。ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー。p. 84–89。doi : 10.1007 / 978-93-86279-06-4。ISBN 978-93-86279-06-4。

[grunbaum-10] Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). 「同型タイルによるタイリング」.アメリカ数学会報. 新シリーズ. 3 (3): 951–973. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . MR 0585178.

[friauf-11] Friauf, JB (1927). 「金属間化合物の結晶構造」.アメリカ化学会誌. 49 (12): 3107–3114. doi :10.1021/ja01411a017.

[lcd-12] ラレーナ、ジョン・N.; クリアリー、デビッド・A.; デュパルク、オリヴィエ・B. (2020). 無機材料設計の原則。ジョン・ワイリー＆サンズ。p. 150。ISBN 9781119486916。

[13] グラフの地図帳、267 ページ、切断された四面体グラフ

[14] グラフの地図帳、130 ページ、連結立方グラフ、12 頂点、C105

[15] グラフの地図帳、161 ページ、連結立方推移グラフ、12 頂点、Ct11

工事

プロパティ

関連する多面体

切断された四面体グラフ

例

参照

参考文献

外部リンク