反対称テンソル

数学と理論物理学において、テンソルがインデックスサブセット上で（またはに関して）反対称であるとは、サブセットの任意の2つのインデックスが交換されたときに符号（+/−）が入れ替わることを意味する。 ^{[1] [2]}インデックスサブセットは一般に、すべて共変かすべて反変のいずれかでなければならない。

たとえば、 テンソルが最初の 3 つのインデックスに関して反対称である場合に成立します。 $${\displaystyle T_{ijk\dots}=-T_{jik\dots}=T_{jki\dots}=-T_{kji\dots}=T_{kij\dots}=-T_{ikj\dots} }}$$

テンソルが各添字のペアの交換によって符号を変える場合、そのテンソルは完全に（または全体的に）反対称です。の完全に反対称な共変テンソル場は微分形式と呼ばれ、完全に反対称な反変テンソル場はベクトル場と呼ばれます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

インデックスに関して反対称なテンソルA は、インデックスに関して対称でかつ0と同一であるテンソルBとの縮約という特性を持ちます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

成分と一対のインデックスを持つ一般テンソルUの場合、U には次のように定義される対称部分と反対称部分があります。 ${\displaystyle U_{ijk\dots}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j,}$

同様の定義は他の添字のペアにも適用できる。「部分」という用語が示すように、テンソルは、与えられた添字のペアに対する対称部分と反対称部分の合計である。 $${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}$$

反対称化の簡略表記は、一対の角括弧で表されます。たとえば、任意の次元で、2次の共変テンソルMと 3次の共変テンソルTの場合、 $${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}$$$${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$$

任意の 2 次元および 3 次元では、これらは と記述できます。 ここで は一般化されたクロネッカーのデルタであり、アインシュタインの総和規則が使用されています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}$

より一般的には、次元の数に関係なく、インデックス上の反対称化は次のように表現される。 ${\displaystyle p}$$${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$$

一般に、階数 2 のすべてのテンソルは、次のように対称と反対称のペアに分解できます。 $${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).}$$

この分解は、より複雑な対称性を持つランク 3 以上のテンソルには一般に当てはまりません。

完全に反対称なテンソルには以下のものがあります。

• 当然のことながら、すべてのスカラーとベクトル (0 次と 1 次テンソル) は完全に反対称です (完全に対称でもある)。
• 電磁気学における電磁テンソル。${\displaystyle F_{\mu \nu }}$
• 擬リーマン多様体上のリーマン体積形式。

• 反対称行列 – 行列の形式Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 外代数 – 任意のベクトル空間に関連する代数
• レヴィ・チヴィタ記号 – テンソルに作用する反対称置換オブジェクト
• リッチ計算 – テンソルベースの計算のためのテンソルインデックス表記
• 対称テンソル – 作用するベクトルの順列に対してテンソル不変
• 対称化 – n 変数の任意の関数を n 変数の対称関数に変換するプロセスPages displaying wikidata descriptions as a fallback

• ペンローズ、ロジャー（2007）。『現実への道』。ヴィンテージ本。ISBN 978-0-679-77631-4。
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973).重力. WH Freeman & Co. pp. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0。

• 反対称テンソル – mathworld.wolfram.com