モーメント（数学）

数学における関数のモーメントとは、関数のグラフの形状に関連する特定の定量的尺度です。例えば、関数が質量密度を表す場合、ゼロ次モーメントは総質量、第一モーメント（総質量で正規化）は重心、第二モーメントは慣性モーメントとなります。関数が確率分布を表す場合、第一モーメントは期待値、第二中心モーメントは分散、第三標準化モーメントは歪度、第四標準化モーメントは尖度となります。

有界区間における質量分布または確率分布の場合、すべてのモーメント（0から∞までのすべての次数）の集合によって分布が一意に決定されます（ハウスドルフモーメント問題）。しかし、有界でない区間では同じことは成り立ちません（ハンバーガーモーメント問題）。

19世紀半ば、パフヌティ・チェビシェフは、確率変数のモーメントの観点から体系的に考えた最初の人物となった。^{[ 1 ]}

確率変数のn番目の生モーメント（つまり、ゼロに関するモーメント）${\displaystyle X}$密度関数${\displaystyle f(x)}$^{[ 2 ]}で定義される$${\displaystyle \mu '_{n}=\langle X^{n}\rangle ~{\overset {\mathrm {def} }{=}}~{\begin{cases}\sum _{i}x_{i}^{n}f(x_{i}),&{\text{discrete distribution}}\\[1.2ex]\int x^{n}f(x)\,dx,&{\text{continuous distribution}}\end{cases}}}$$密度関数を持つ実数値連続確率変数のn次モーメント${\displaystyle f(x)}$価値について${\displaystyle c}$積分は$${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

確率変数のモーメントは、実数値関数のモーメントよりも一般的な方法で定義できます（距離空間におけるモーメントを参照）。関数のモーメントは、特に説明がない場合、通常は上記の式を指します。${\displaystyle c=0}$2次以上のモーメントについては、分布の形状についてより明確な情報が得られるため、通常はゼロを中心としたモーメントではなく、中心モーメント（平均値を中心としたモーメント、ここでcは平均値）が使用されます。

他のモーメントも定義できます。たとえば、ゼロに関するn次逆モーメントは次のようになります。${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{-n}\right]}$そして、ゼロに関するn次対数モーメントは${\displaystyle \operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].}$

確率密度関数のゼロに関するn次モーメント${\displaystyle f(x)}$は期待値です${\displaystyle X^{n}}$これは、生モーメント、粗モーメント、母集団モーメント、または未補正モーメントと呼ばれます。^{[ 3 ] [ 4 ]}平均値に関するモーメント${\displaystyle \mu }$これらは中心モーメントと呼ばれ、並進とは無関係に関数の形状を表します。

もし${\displaystyle f}$が確率密度関数である場合、上記の積分の値は確率分布のn次モーメントと呼ばれます。より一般的に、F が任意の確率分布の累積確率分布関数であり、密度関数を持たない場合、確率分布のn次モーメントはリーマン・スティルチェス積分によって与えられます。$${\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)}$$ここで、Xはこの累積分布Fを持つ確率変数であり、Eは期待値演算子または平均です。$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty }$$モーメントは存在しないと言われます。任意の点に関するn次モーメントが存在する場合、すべての点に関する( n − 1)次モーメント (したがって、すべての低次モーメント) も存在します。任意の確率密度関数の下の面積は1 に等しくなければならないため、任意の確率密度関数のゼロ次モーメントは1です。

最初の生モーメントと、2番目と3番目の正規化されていない中心モーメントは、 XとYが独立な確率変数 である場合、次の意味で加法性を持つ。$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}}$$

（これらの条件は、独立性よりも弱い条件を満たす変数にも当てはまります。最初の条件は常に満たされます。2番目の条件が満たされる場合、変数は無相関と呼ばれます。）

これらは最初の3つのキュムラントであり、すべてのキュムラントはこの加法性という性質を共有している。

すべてのkについて、母集団のk番目の生モーメントは、 k番目の生標本モーメント を使用して推定できます。$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}}$$母集団から抽出された サンプルX ₁、 ...、X _{nに適用される。}

生標本モーメントの期待値は、標本サイズnが任意の場合において、母集団のk番目の生モーメントが存在するならば、その値に等しいことが示せる。したがって、これは不偏推定量である。これは、標本平均を用いて計算することで自由度を消費する中心モーメントの場合とは対照的である。例えば、母集団分散（第 2 次中心モーメント）の不偏推定値は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$$ ここで、前の分母nは自由度n − 1に置き換えられ、${\displaystyle {\bar {X}}}$は標本平均を指します。この母集団モーメントの推定値は、調整されていない観測標本モーメントよりも係数だけ大きくなります。${\displaystyle {\tfrac {n}{n-1}},}$これは「調整済み標本分散」または単に「標本分散」と呼ばれます。

確率分布をモーメントの列から決定する問題は、モーメント問題と呼ばれます。このような問題は、極限定理の研究に関連して、P.L.チェビシェフ（1874年）^{[ 7 ]}によって初めて議論されました。確率変数の確率分布がモーメントによって決定されるためには、${\displaystyle X}$その瞬間によって独自に定義される${\displaystyle \alpha _{k}=E\left[X^{k}\right]}$例えば、カールマンの条件が満たされれば十分である。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty }$$ 同様の結果は、ランダムベクトルのモーメントにも当てはまる。モーメントの問題は、数列の特徴付けを求めるものである。${\displaystyle {{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }}$ある関数fのモーメントの列、すべてのモーメント${\displaystyle \alpha _{k}(n)}$そのうち有限であり、各整数に対して${\displaystyle k\geq 1}$させて $${\displaystyle \alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,}$$ どこ${\displaystyle \alpha _{k}}$有限である。すると数列が存在する。${\displaystyle {\mu _{n}}'}$分布関数に弱収束する${\displaystyle \mu }$持っている${\displaystyle \alpha _{k}}$その瞬間として。瞬間が決定するならば${\displaystyle \mu }$一意に、そしてシーケンス${\displaystyle {\mu _{n}}'}$弱収束する${\displaystyle \mu }$。

部分モーメントは「片側モーメント」と呼ばれることもあります。基準点rに関するn次下側および上側部分モーメントは次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(r-x)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,}$$$${\displaystyle \mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

積分関数が収束しない場合、偏モーメントは存在しない。

部分モーメントは、1/ n乗することで正規化される。上昇ポテンシャル比は、 1次上側部分モーメントと正規化された2次下側部分モーメントの比として表すことができる。

( M , d )を距離空間とし、B ( M )をM上のボレルσ代数、すなわちMのd個の開部分集合によって生成されるσ代数とする。(技術的な理由から、 M は距離dに関して可分空間であると仮定すると便利である。) 1 ≤ p ≤ ∞とする。

可測空間( M , B( M ))上の測度μの、与えられた点x ₀ ∈ Mに関するp 番目の中心モーメントは、次のように定義される 。$${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

μは、あるx ₀ ∈ Mに対して、 x ₀に関するμのp次中心モーメントが有限である場合、有限p次中心モーメントを持つと言われます。

この尺度の用語は、通常の方法で確率変数にも適用されます。(Ω, Σ, P )が確率空間であり、X  : Ω → Mが確率変数である場合、x ₀ ∈ Mに関するXのp番目の中心モーメントは次のように定義されます。 $${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],}$$ また、Xの p 次中心モーメントが、あるx ₀ ∈ Mに対してx ₀に関する有限である場合、Xは有限のp次中心モーメントを持つ。

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• スパノス、アリス（1999）。確率論と統計的推論。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。109 ～ 130ページ。ISBN  0-521-42408-9。
• ウォーカー、ヘレン M. (1929).統計的方法の歴史に関する研究、特に特定の教育問題に関して。ボルチモア、ウィリアムズ & ウィルキンス社、 71ページ。 

• 「モーメント」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
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