厚生経済学の基本定理

厚生経済学には2つの基本的な定理があります。1つ目は、経済均衡において、完全な市場、完全な情報、完全競争の集合はパレート最適（それ以上の交換によってある人がより良くなることはなく、他の人がより悪くなることもないという意味で）になるというものです。完全競争の要件は次のとおりです。^{[ 1 ]}

1. 外部性はなく、各行為者は完全な情報を持っている。
2. 企業や消費者は価格を所与のものとして受け入れる（いかなる経済主体または経済主体のグループも市場支配力を持たない）。

この定理は、アダム・スミスの「見えざる手」原理、すなわち競争市場が資源の効率的な配分を保証するという原理を分析的に裏付けるものとみなされることがある。しかし、パレート最適市場の結果が公平であるとは限らない。なぜなら、望ましさの異なる多くのパレート効率的な資源配分が存在するからである（例えば、一人がすべてを所有し、他の全員が何も所有しない場合もある）。^{[ 2 ]}

第2定理は、任意のパレート最適解は、ある初期賦存量に対して競争均衡として維持できると述べている。これは、任意の望ましいパレート最適解が維持できることを意味する。つまり、初期富の任意の再分配によってパレート効率性を達成できる。ただし、分配を修正しようとすると歪みが生じる可能性があり、再分配によって完全な最適性が達成できない場合もある。^{[ 3 ]}

これらの定理は、単純な純粋交換経済の場合、エッジワース・ボックス図を用いて視覚的に表現することができる。

原則として、基本定理には一般的に見られる2つのバージョンがあり、1つは外生的に賦存物が与えられる交換経済に関するもので、もう1つは生産が行われる経済に関するものである。生産経済はより一般的であり、追加の仮定を伴う。これらの仮定はすべて、標準的な大学院レベルのミクロ経済学の教科書に基づいている。^{[ 36 ]}

基本定理は一般に、平衡点の存在や一意性を保証するものではない。

第一基本定理は一般的な条件下で成り立つ。^{[ 39 ]}正式な記述は次のとおりである。選好が局所的に飽和していない場合、そして${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} ,\mathbf {p} )}$移転を伴う価格均衡の場合、配分${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$パレート最適である。 この意味での均衡は、交換経済のみに関連するか、企業が資源配分と生産において効率的であることを前提としており、これは完全競争的な要素市場と生産市場から導かれることが示される。^{[ 39 ]}

集合が与えられた${\displaystyle G}$実ベクトル空間で作業する商品の種類${\displaystyle G}$、$\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$ベクトル値変数には太字を使用します。たとえば、${\displaystyle G=\lbrace {\text{バター}},{\text{クッキー}},{\text{牛乳}}\rbrace }$それから$\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$3次元ベクトル空間であり、ベクトル${\displaystyle \langle 1,2,3\rangle }$これは、バター1単位、クッキー2単位、牛乳3単位を含む商品の束を表す。

消費者iが富を持っていると仮定する${\displaystyle w_{i}}$そのため${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} +\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$どこ${\displaystyle \mathbf {e} }$は財の総賦存量（すなわち、すべての消費者賦存量と生産者賦存量の合計）であり、${\displaystyle \mathbf {y_{j}^{*}} }$これは企業jの生産量です。

選好の最大化（移転を伴う価格均衡の定義から）は、（${\displaystyle >_{i}}$消費者iの選好関係を表すために):

もし${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$それから$\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$

言い換えれば、ある財の束が厳密に好ましい場合、${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$値段が高す​​ぎて手が出せないに違いない${\displaystyle \mathbf {p} }$局所的な非飽和性は、さらに以下のことを意味する。

もし$\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$それから${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}}$

その理由を知るには、次のように想像してみてください。$\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$しかし$\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} <w_{i}}$すると、局所的非飽和により、${\displaystyle \mathbf {x'_{i}} }$任意に近く${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$（そして依然として手頃な価格）だが、厳密には${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$。 しかし${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$これは選好最大化の結果であるため、矛盾している。

割り当てはペアです${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$どこ$\displaystyle \mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}}$そして${\displaystyle \mathbf {Y} \in \Pi _{j\in J}\mathbb {R} ^{G}}$つまり${\displaystyle \mathbf {X} }$は、i番目の列が消費者iに割り当てられた商品の束である「行列」（行/列は無限に増える可能性がある）であり、${\displaystyle \mathbf {Y} }$は、 j番目の列が企業jの生産量である「行列」です。我々は、消費者が不足している財を販売したり、生産者が不足している財を消費したりしないような、実現可能な配分にのみ注目します。つまり、すべての財とすべての消費者について、消費者の初期保有量と純需要の合計が正でなければならず、生産者についても同様です。

次に、配分について考えてみましょう。${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$パレートが支配する${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,Y^{*})}$これはつまり$\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$すべての私と${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$あるiに対して。上記より、${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}}$すべての私と$\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$あるiについて。合計すると、次のようになる。

${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$。

なぜなら${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$利益最大化であることは分かっています${\displaystyle \Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}}$、 それで${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}} }$しかし、財は保存されなければならないので${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}} }$したがって、${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$実現不可能である。すべてのパレート優位な配分が実現不可能であるため、${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$それ自体がパレート最適でなければならない。^{[ 39 ]}

事実として、${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$利益最大化は定理の記述において単純に仮定されているだけであり、その結果は、そのような利益最大化生産配分が可能な範囲でのみ有用／興味深い。幸いなことに、生産配分の制約がどのようなものであっても、${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$そして、限界価格が 0 から離れた閉集合に価格を限定します。例えば、可能な生産量をパラメータ化するための任意の適切な連続関数を選択すれば、そのような最大値が存在します。これは、最小限界価格と有限の富が最大実行可能生産量を制限すること（0 が最小値を制限すること）と、チホノフの定理によりこれらのコンパクト空間の積がコンパクトになることが保証され、任意の連続関数の最大値が存在することが保証されることから導かれます。

第２定理は、すべての生成集合が${\displaystyle Y_{j}}$凸であり、すべての選好関係${\displaystyle \geq _{i}}$が凸で局所的に飽和しない場合、任意の望ましいパレート効率的な配分は、移転を​​伴う価格準均衡として支持される。^{[ 39 ]}移転を伴う価格均衡についてこの主張を証明するには、さらなる仮定が必要である。

証明は2段階で進められる。まず、任意のパレート効率的な配分は移転を伴う価格準均衡として成り立つことを証明する。次に、価格準均衡が価格均衡でもあるための条件を示す。

移転を伴う価格準均衡を配分として定義しよう${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$価格ベクトルpと富のレベルのベクトルw (一括移転によって達成される) があり、${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*}}$（どこ${\displaystyle \omega }$は財の総賦存量であり、${\displaystyle y_{j}^{*}}$は企業jの生産量であり、以下の条件を満たす。

私。${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$すべての人々のために${\displaystyle y_{j}\in Y_{j}}$（企業は生産することで利益を最大化する）${\displaystyle y_{j}^{*}}$）

ii. すべてのiについて、もし${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$それから${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$（もし${\displaystyle x_{i}}$は、${\displaystyle x_{i}^{*}}$そうすれば、以下より安くはならない${\displaystyle x_{i}^{*}}$）

iii.${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$（予算制約を満たしました）

この定義と移転を伴う価格均衡の標準的な定義との唯一の違いは、ステートメント（ii）にある。ここでは不等式は弱い（${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$）価格準均衡となる。後ほど、これを強化して価格均衡にする。^{[ 39 ]} 定義${\displaystyle V_{i}}$厳密に優先されるすべての消費バンドルの集合であること${\displaystyle x_{i}^{*}}$消費者iによるものとし、V をすべての合計とする。${\displaystyle V_{i}}$。 ${\displaystyle V_{i}}$選好関係の凸性により凸である${\displaystyle \geq _{i}}$Vは凸である。 なぜなら、${\displaystyle V_{i}}$凸である。同様に${\displaystyle Y+\{\omega \}}$すべての生産セットの連合${\displaystyle Y_{i}}$総賦存量を加えると凸になるのは、${\displaystyle Y_{i}}$は凸である。また、Vと${\displaystyle Y+\{\omega \}}$空でなければならない。そうでなければ、厳密に優先されるバンドルが存在することを意味するからである。${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$誰にとっても手頃な価格である。これはパレート最適性によって排除される。${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$。

これら2つの凸で交わらない集合により、分離超平面定理を適用できます。この定理は、価格ベクトルが存在することを示しています。${\displaystyle p\neq 0}$そして、ある数rが存在し、${\displaystyle p\cdot z\geq r}$すべての${\displaystyle z\in V}$そして${\displaystyle p\cdot z\leq r}$すべての${\displaystyle z\in Y+\{\omega \}}$言い換えれば、2つの凸集合を完全に分離する超平面を定義する価格ベクトルが存在する。

次に、もし${\displaystyle x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}}$その時私は${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$これは局所的な非飽和によるものです。束が存在しなければなりません。${\displaystyle x'_{i}}$任意に近く${\displaystyle x_{i}}$それは、${\displaystyle x_{i}^{*}}$そのため、${\displaystyle V_{i}}$、 それで${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r}$極限をとると${\displaystyle x'_{i}\rightarrow x_{i}}$弱い不等式は変更されないので、${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$同様です。言い換えれば、${\displaystyle x_{i}}$Vの閉包に含まれる。

この関係式を用いると、次のことがわかる。${\displaystyle x_{i}^{*}}$自体${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r}$また、私たちは次のことも知っています。${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}}$、 それで${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r}$同様に。これらを組み合わせると、次のことがわかります。${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$この式を使って、${\displaystyle (x^{*},y^{*},p)}$これは、移転を​​伴う価格準均衡の定義に合致する。

なぜなら${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$そして${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$任意の企業 j について、次のことがわかっています。

${\displaystyle p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})}$のために${\displaystyle h\neq j}$

これはつまり${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$同様に、以下のこともわかっています。

${\displaystyle p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})}$のために${\displaystyle k\neq i}$

これはつまり${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}}$これらの2つの記述は、パレート最適における配分の実現可能性と相まって、富の水準によって支えられる移転を伴う価格準均衡の3つの条件を満たしている。${\displaystyle w_{i}=p\cdot x_{i}^{*}}$すべてのiについて。

次に、価格準均衡が価格均衡でもある条件、言い換えれば、「もし${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$それから${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$「if を暗示する」${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$それから${\displaystyle p\cdot x_{i}>w_{i}}$「。これが真実であるためには、消費セットが${\displaystyle X_{i}}$凸であり、選好関係${\displaystyle \geq _{i}}$は連続である。そして、消費ベクトルが存在する場合${\displaystyle x'_{i}}$そのため${\displaystyle x'_{i}\in X_{i}}$そして${\displaystyle p\cdot x'_{i}<w_{i}}$価格準均衡は価格均衡である。

その理由を知るには、反対のことを仮定してみましょう。${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$そして${\displaystyle p\cdot x_{i}=w_{i}}$、 そして${\displaystyle x_{i}}$存在する。次に凸性により${\displaystyle X_{i}}$バンドルがあります${\displaystyle x''_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}\in X_{i}}$と${\displaystyle p\cdot x''_{i}<w_{i}}$継続性によって${\displaystyle \geq _{i}}$のために${\displaystyle \alpha }$1に近い${\displaystyle \alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$これは矛盾です。なぜなら、このバンドルは以下よりも好ましいからです。${\displaystyle x_{i}^{*}}$そして、より安価です${\displaystyle w_{i}}$。

したがって、価格準均衡が価格均衡となるためには、消費集合が凸であること、選好関係が連続であること、そして常に「より安価な」消費バンドルが存在することがあれば十分である。${\displaystyle x'_{i}}$このような資産束の存在を保証する一つの方法は、一定の富水準を要求することである。${\displaystyle w_{i}}$すべての消費者にとって厳密にプラスであることi。^{[ 39 ]}

• 凸型選好
• バリアンの定理― 競争均衡はパレート効率的かつ羨望のない状態である。
• 一般均衡理論