嫉妬のなさ

嫉妬のなさ、または非嫉妬は、公平な分配の基準です。これは、平等な権利を持つ人々の間で資源が分配されるとき、各人が受け取る分け前は、少なくとも他の主体が受け取る分け前と同等であるべきだというものです。言い換えれば、誰も嫉妬を感じるべきではないということです。

あるリソースが複数のエージェント間で分割され、各エージェントがシェアを受け取るとします。各エージェントは、さまざまな可能なシェアに対して個人的な選好関係を持っています。すべてのおよびに対して次の条件が満たされる場合、この分割は羨望のない( EF )と呼ばれます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \succeq _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle X_{i}\succeq _{i}X_{j}}$

嫉妬のなさの別の言い方は、嫉妬なし（NE）です。

エージェントの好みが価値関数によって表される場合、この定義は次の式と同等になります。 ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle V_{i}(X_{i})\geq V_{i}(X_{j})}$

言い換えると、エージェントが自分のピースよりも のピースを好む場合、エージェントはエージェントを羨むと言います。つまり、${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle X_{i}\prec_{i}X_{j}}$

${\displaystyle V_{i}(X_{i})<V_{i}(X_{j})}$

どのエージェントも他のエージェントを羨んでいない場合、その部門は羨望のない部門と呼ばれます。

嫉妬のなさの概念は、 1958 年にジョージ・ガモフとマーヴィン・スターンによって導入されました。 ^{[1]彼らは、異なる嗜好を持つ}n人の子供たちの間でケーキ(異質なリソース)を、どの子供も他のケーキを嫉妬しないように分割することが常に可能かどうかを尋ねました。n =2 人の子供の場合、これは分割して選択するアルゴリズムで実行できますが、 n >2 の場合、問題ははるかに難しくなります。嫉妬のないケーキカットを参照してください。

ケーキカットでは、EF は各子供が自分の取り分が少なくとも他の取り分と同じくらい大きいと信じていることを意味します。家事の分担では、EFは各エージェントが自分の取り分が少なくとも他の取り分と同じくらい小さいと信じていることを意味します(どちらの場合も重要な点は、どのエージェントも自分の取り分を他のエージェントと交換したくないということです)。家事の分担を参照してください。

嫉妬のない状態は、1967年にダンカン・フォーリーによって資源配分の経済学的問題に導入されました。 ^[2]この問題では、単一の異質な資源ではなく、複数の同質な資源が存在します。嫉妬のない状態は、各人に各資源の1/ n を与えるだけで簡単に達成できます。経済的観点からの課題は、それをパレート効率と組み合わせることです。この課題は、デイビッド・シュメイドラーとメナヘム・ヤアリによって初めて定義されました。^[3]効率的な嫉妬のない分割を参照してください。

分割するリソースが個別（分割不可能）である場合、リソースが 1 つで人が 2 人いても、嫉妬のない状態は達成できない可能性があります。この問題に対処するには、さまざまな方法があります。

• 参加者間でお金を移動して、価値の低いアイテムを取得した人に補償します。この解決策は、たとえば、レンタル調和問題や羨望のない価格設定で使用されます。
• 少数のアイテムを共有する。これは、たとえば調整された勝者手順で行われます。
• ほぼ公平な割り当てを見つける。羨望のないアイテム割り当てを参照してください。
• 可能な限り大きい部分的なエンヴィフリー割り当てを見つけます。エンヴィフリーマッチングを参照してください。
• ランダム化を使用して、期待値（「事前」）において羨望のない割り当てを見つけます。「公平なランダム割り当て」を参照してください。

強い嫉妬のなさは、各エージェントが自分のバンドルを他のバンドルよりも厳密に好むことを要求する。^[4]

超嫉妬フリーは、各エージェントが自分のバンドルを合計値の1/ nより厳密に好み、他のバンドルのそれぞれを1/ nより厳密に好むことを要求する。 ^{[4] [5]}明らかに、超嫉妬フリーは強い嫉妬フリーを意味し、それは嫉妬フリーを意味する。

集団の嫉妬のなさ（連合の嫉妬のなさとも呼ばれる）は嫉妬のなさを強化したもので、参加者のグループすべてが、自分に割り当てられたシェアが、同じ規模の他のグループのシェアと少なくとも同等であると感じることを要求する。より弱い要件は、各個人エージェントが他のエージェントの連合を嫉妬しないことであり、厳密な嫉妬のなさと呼ばれることもある。 ^[6]

確率的優位性羨望のなさ（SD-羨望のなさ、必要羨望のなさとも呼ばれる）は、エージェントがアイテムの順序順位を報告する設定での羨望のなさの強化です。順序順位と互換性のあるすべての加法的な評価に関して羨望のなさが維持される必要があります。言い換えると、各エージェントは、アイテムの順序順位の応答セット拡張に従って、自分のバンドルが他のエージェントのバンドルと少なくとも同等に優れていると信じる必要があります。SD-EF のおおよその変形である SD-EF1（1 つのアイテムまでの SD-EF）は、ラウンドロビン アイテム割り当て手順によって達成できます。

正当な羨望がないということは、二面性市場における「羨望がない」という状態が弱まることです。二面性市場では、エージェントと「商品」の両方が反対側に対して好みを持っています。たとえば、学生と学校をマッチングする市場などです。学生 A が学生 B に割り当てられた学校を好み、同時に、学生 B に割り当てられた学校が学生 A を好む場合、学生 A は学生 B に対して 正当な羨望を感じます。

事前の嫉妬のなさは、公平なランダム割り当ての設定で使用される嫉妬のなさを弱めたものです。この設定では、各エージェントはアイテムのくじを受け取ります。どのエージェントも他のエージェントのくじを好まない場合、つまりどのエージェントも他のエージェントのくじに高い期待効用を割り当てない場合、くじの割り当ては事前の嫉妬のなさと呼ばれます。すべての結果が嫉妬のなさである場合、割り当ては事後的な嫉妬のなさと呼ばれます。明らかに、事後の嫉妬のなさは事前の嫉妬のなさを意味しますが、その逆は真ではない可能性があります。

局所的な嫉妬のなさ^{[7] [8]}（ネットワーク化された嫉妬のなさ^[9]または社会的嫉妬のなさ^{[10] [11]とも呼ばれる）は、}社会的ネットワークに基づく嫉妬のなさの弱体化である。これは、人々がネットワーク内の隣人の割り当てのみを認識しており、したがって隣人のみを嫉妬できると仮定している。標準的な嫉妬のなさは、ネットワークが完全なグラフである社会的嫉妬のなさの特殊なケースである。

メタ嫉妬フリーとは、エージェントが最終的な割り当てに関してだけでなく、プロトコルにおける目標に関してもお互いを嫉妬しないことを要求する。^[12]対称公平なケーキカットを参照。

羨望の最小化は、羨望のなさが不可能な場合でも、羨望の量 (さまざまな方法で定義できます) を最小化することを目的とする最適化問題です。分割できないオブジェクトを割り当てるときに使用される羨望のなさのおおよそのバリエーションについては、羨望のないアイテムの割り当てを参照してください。

比例性(PR) と嫉妬のなさ (EF) は 2 つの独立した特性ですが、場合によっては、一方が他方を暗示することがあります。

すべての評価が加法的な集合関数であり、ケーキ全体が分割される場合、次の意味が成り立ちます。

• パートナーが 2 人の場合、PR と EF は同等です。
• パートナーが 3 人以上の場合、EF は PR を意味しますが、その逆は当てはまりません。たとえば、3 人のパートナーがそれぞれ主観的な意見では 1/3 を受け取る可能性があるが、アリスの意見ではボブの取り分は 2/3 の価値がある。

評価が部分加法のみである場合、 EF は依然として PR を意味しますが、パートナーが 2 人の場合でも PR は EF を意味しません。アリスの取り分は彼女の目には 1/2 の価値があるかもしれませんが、ボブの取り分はさらに価値がある可能性があります。逆に、評価が超加法のみである場合、 PR は依然として 2 人のパートナーがいる場合でも EF を意味しますが、パートナーが 2 人の場合でも EF は PR を意味しません。アリスの取り分は彼女の目には 1/4 の価値があるかもしれませんが、ボブの取り分はさらに価値が低い可能性があります。同様に、すべてのケーキを分割しない場合は、 EF は PR を意味しなくなります。意味は次の表にまとめられています。

• 不平等回避
• 公平な分割実験。嫉妬のなさの相対的な重要性とその他の公平性の基準を研究します。