パリティ（数学）

数学において、偶奇性とは、整数が偶数か奇数かを示す性質のことです。整数は、 2で割り切れる場合は偶数、割り切れない場合は奇数です。^[¹^]例えば、-4、0、82は偶数であり、-3、5、23は奇数です。

上記のパリティの定義は整数にのみ適用されるため、1 / 2や4.6978のような分数や小数を含む数には適用できません。パリティの概念をより広い「数」のクラスや、その他のより一般的な設定に拡張する方法については、「高等数学」の項を参照してください。

偶数と奇数は、例えば 22 (偶数) と 13 (奇数) のように、パリティが逆になります。特に、0 のパリティは偶数です。^{[ 2 ]}連続する 2 つの整数は、パリティが逆になります。10進数表記の整数は、末尾の桁が偶数か奇数かによって偶数か奇数かが決まります。つまり、末尾の桁が 1、3、5、7、または 9 の場合は奇数、それ以外の場合は偶数です。偶数の末尾の桁は 0、2、4、6、または 8 だからです。^{[ 3 ]}

この概念は、偶数基数システムであればどれでも適用されます。2進数システムで表現された整数は、末尾の桁が 1 の場合は奇数、末尾の桁が 0 の場合は偶数です。奇数基数では、その数が偶数になるのは、桁の合計が偶数の場合のみです。たとえば、7 基数では11 (10 基数では 8 に相当) は偶数です (なぜなら、 $\Sigma =2$ ）と 115（10 進数で 61 に相当）は奇数です（なぜなら $\Sigma =7$ ) ^{[ 3 ]}

意味

偶数は、次の形式の整数です。 $x=2k$ ここでkは整数である。^{[ 4 ]}奇数は次の形式の整数である。 $x=2k+1.$

同等の定義としては、偶数は2で割り切れる数である、というものがあります。 $2\ |\ x$ 奇数はそうではありません。 $2\not |\ x$

偶数と奇数の集合は次のように定義できます。^{[ 5 ]} $\{2k:k\in \mathbb {Z} \}$ $\{2k+1:k\in \mathbb {Z} \}$

偶数の集合は素イデアルである $\mathbb {Z}$ そして商環 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ は2 つの要素を持つ体である。パリティは、からへの一意の環準同型として定義できる。 $\mathbb {Z}$ に $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 奇数は1、偶数は0とする。この準同型写像の結果については以下で説明する。

物件

以下の法則は、割り算の性質を用いて検証できます。これらはモジュラー算術の規則の特殊なケースであり、各辺の偶奇性をテストすることで等式が正しい可能性が高いかどうかを確認するためによく使用されます。通常の算術と同様に、モジュロ2算術では乗算と加算は交換法則と結合法則を満たし、乗算は加算に対して分配法則を満たします。しかし、モジュロ2における減算は加算と同一であるため、減算もこれらの性質を持ちますが、これは通常の整数算術では当てはまりません。

足し算と引き算

偶数 ± 偶数 = 偶数; ^{[ 1 ]}
偶数±奇数＝奇数
奇数 ± 奇数 = 偶数

乗算

偶数×偶数＝偶数
偶数 × 奇数 = 偶数
奇数 × 奇数 = 奇数。

前節の構成により、構造 ({even, odd}, +, ×) は実際には2 つの要素を持つ体である。

分割

2つの整数を割っても、必ずしも整数になるとは限りません。例えば、1÷4は1/4ですが、偶数でも奇数でもありません。偶数と奇数の概念は整数にのみ適用されるからです。しかし、商が整数である場合、被除数が除数よりも2の約数が多い場合に限り、商は偶数になります。 ^[⁶^]

歴史

古代ギリシャ人は、1、つまり単元は、完全に奇数でも完全に偶数でもないと考えていた。^{[ 7 ]}この考え方の一部は19世紀まで生き残った。フリードリヒ・ヴィルヘルム・アウグスト・フレーベルの1826年の著書『人間の教育』では、教師は生徒に1は偶数でも奇数でもないという主張を徹底的に教え込むように指示しており、フレーベルはこれに哲学的な後付けを付け加えている。

ここで生徒の注意を、自然と思考の偉大な法則にすぐに向けさせるのが良いだろう。それは、二つの比較的異なる事物や概念の間には、常に一種の均衡を保ち、両者を結びつけているように見える第三の事物が存在するということである。例えば、奇数と偶数の間には、どちらにも当てはまらない一つの数（1）が存在する。同様に、形態においては、直角は鋭角と鈍角の間にあり、言語においては、半母音または気音は無音と母音の間にある。思慮深い教師と、自ら考えるように教えられた生徒は、この法則やその他の重要な法則に気づかずにはいられないだろう。^{[ 8 ]}

高等数学

より高次元およびより一般的な数のクラス

白のビショップはそれぞれ同じ偶奇性のマスにしか移動できず、黒のナイトは偶奇性が交互に異なるマスにしか移動できない。

2 次元以上のユークリッド空間における点の整数座標にもパリティがあり、通常は座標の合計のパリティとして定義されます。たとえば、面心立方格子とその高次元一般化 ( D _n格子) は、座標の合計が偶数であるすべての整数点から構成されます。^{[ 9 ]}この特徴はチェスにも現れ、マス目のパリティはその色で示されます。ビショップは同じパリティのマス目の間を移動するように制限されていますが、ナイトは移動ごとにパリティを交互に切り替えます。^{[ 10 ]}この形式のパリティは、チェス盤の破損問題の解決によく使用されました。チェス盤から対向する 2 つの角のマス目を取り除くと、各ドミノが各パリティの 1 つのマス目を覆い、一方のパリティのマス目が他方のパリティのマス目より 2 つ多いため、残りの盤面をドミノで覆うことはできません。^{[ 11 ]}

順序数の偶奇性は、その数が極限順序数であるか、極限順序数に有限の偶数を加えたものである場合は偶数、それ以外の場合は奇数と定義できる。 ^{[ 12 ]}

R を可換環とし、I を指数が2 のRのイデアルとする。剰余類の要素 $0+I$ は偶数と呼ばれるかもしれないが、剰余類の要素は $1+I$ 奇数と呼ばれることもある。例として、 $R = Z (2)$ を素イデアル(2)におけるZの局所化とする。このとき、 Rの要素が偶数または奇数であるのは、その分子がZにおいて偶数または奇数である場合に限る。

数論

偶数は整数環においてイデアルを形成するが^[¹³^]、奇数は形成しない。これは、加算の単位元であるゼロが偶数のみの要素であるという事実から明らかである。整数は、このイデアルを法として0と合同である場合、つまり2を法として0と合同である場合に偶数であり、2を法として1と合同である場合に奇数である。

素数はすべて奇数ですが、例外が1つあります。それは素数2です。^{[ 14 ]}既知の完全数はすべて偶数です。奇数の完全数が存在するかどうかは不明です。^{[ 15 ]}

ゴールドバッハ予想は、2より大きいすべての偶数は2つの素数の和として表すことができるというものである。現代のコンピュータ計算では^、この予想は少なくとも4 × 10¹⁸までの整数に対して真であることが示されているが、一般的な証明はまだ見つかっていない。^[¹⁶^]

群論

（抽象代数学で定義される）順列の偶奇性とは、順列を分解できる転置の数の偶奇性のことである。 ^[¹⁷^]例えば、（ABC）から（BCA）への順列は、AとBを入れ替え、次にCとAを入れ替えることで（2回の転置）できるため、偶数である。偶数と奇数の両方の転置で分解できる順列は存在しないことが示される。したがって、上記の定義は適切である。ルービックキューブ、メガミンクス、その他のツイストパズルでは、パズルの動きによってパズルピースの偶数順列しか許されないため、これらのパズルの構成空間を理解する上で偶奇性は重要である。^[¹⁸^]

フェイト・トンプソンの定理は、有限群の位数が奇数であれば、その群は常に解けることを述べている。これは、奇数が高度な数学定理において役割を果たしている例であり、「奇数位数」という単純な仮説の適用方法は決して自明ではない。^{[ 19 ]}

分析

関数の偶奇性とは、引数をその否定と交換したときにその値がどのように変化するかを表します。偶関数（変数の偶数乗など）は、どの引数に対してもその否定と同じ結果を与えます。奇関数（変数の奇数乗など）は、どの引数に対しても、その引数の否定を与えたときの結果の否定を与えます。関数が奇関数でも偶関数でもない場合や、f ( x ) = 0 の場合は奇関数と偶関数の両方になる場合もあります。^{[ 20 ]}偶関数のテイラー級数には指数が偶数である項のみが含まれており、奇関数のテイラー級数には指数が奇数である項のみが含まれています。^{[ 21 ]}

組み合わせゲーム理論

組み合わせゲーム理論では、邪悪な数とは、その二進数表現に偶数個の 1 を持つ数であり、忌まわしい数とは、その二進数表現に奇数個の 1 を持つ数です。これらの数は、ゲームKaylesの戦略において重要な役割を果たします。^{[ 22 ]}パリティ関数は、数をその二進数表現の 1 の数に 2 を法として写像するため、邪悪な数の場合はその値が 0 になり、忌まわしい数の場合は 1 になります。無限に続く 0 と 1 の数列である Thue–Morse 数列では、 iが邪悪な数の場合は位置iに 0 があり、 iが忌まわしい数の場合はその位置に 1 があります。^[²³^]

その他の用途

情報理論では、2進数に付加されたパリティビットは、最も単純な形式の誤り検出符号を提供する。結果の値の1ビットが変更されると、正しいパリティではなくなる。元の数値の1ビットを変更すると、記録されたパリティとは異なるパリティになり、パリティビットを変更しても、その数値の元となった数値を変更しないと、再び誤った結果が生じる。このようにして、すべての1ビット伝送エラーを確実に検出できる。^{[ 24 ]}より高度な誤り検出符号の中には、元の符号化値のビットのサブセットに複数のパリティビットを使用することに基づいているものもある。^{[ 25 ]}

円筒形の管を持ち、マウスピースのクラリネットのように片端が実質的に閉じている管楽器では、発生する倍音は基本周波数の奇数倍です。（両端が開いている円筒形の管、例えばオープンダイアパソンなどのオルガンストップで使用される管では、倍音は与えられた管の長さに対して同じ周波数の偶数倍ですが、これにより基本周波数が2倍になり、この基本周波数のすべての倍音が生成されることになります。）倍音列（音楽）を参照。^[²⁶^]

国によっては、通りの片側の家屋には偶数、反対側の家屋には奇数が割り当てられるように家屋番号が付けられている。 ^{[ 27 ]}同様に、米国の番号付き高速道路では、偶数は主に東西方向の高速道路を示し、奇数は主に南北方向の高速道路を示している。^{[ 28 ]}航空便の便名では、偶数は通常、東行きまたは北行きの便を識別し、奇数は通常、西行きまたは南行きの便を識別する。^{[ 29 ]}

参考文献

1 2ヴィジャヤ、AV;ロドリゲス、ドーラ、『数学の理解』 、ピアソンエデュケーションインド、 20–21ページ、ISBN 9788131703571。
↑ Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory , World Scientific, p. 178, ISBN 9789814335232。
1 2オーウェン、ルース L. (1992)、「基数による可除性」(PDF)、ペンタゴン：学生のための数学雑誌、51 (2): 17–20、2015年3月17日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。
↑バサリアー、トム（2010）、『小学校教師のための数学』、センゲージラーニング、198ページ、ISBN 9780840054630。
↑サイドボサム、トーマス H. (2003)、『数学のAからZ：基本ガイド』 、ジョン・ワイリー＆サンズ、 181ページ、 ISBN 9780471461630。
↑ Pólya, George ; Tarjan, Robert E. ; Woods, Donald R. (2009), Notes on Introductory Combinatorics , Springer, pp. 21–22 , ISBN 9780817649524。
↑タンカ（2006）『古代ギリシア哲学：タレスからゴルギアスまで』ピアソン・エデュケーション・インディア、126ページ、ISBN 9788177589399。
↑フリードリヒ・フレーベル (1885)『人間の教育』、ジョセフィン・ジャービス訳、ニューヨーク：A・ラヴェル社、240頁
↑ジョン・H・コンウェイ； Sloane、NJA (1999)、球のパッキング、格子および群、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基礎]、vol. 290 (第 3版)、ニューヨーク: Springer-Verlag、p. 10、ISBN 978-0-387-98585-5MR 1662447 。
↑パンドルフィーニ、ブルース(1995)、『チェス思考：チェスの駒の動き、ルール、戦略、概念のビジュアル辞典』 、サイモン＆シュスター、 273～ 274ページ、ISBN 9780671795023。
↑メンデルソーン、NS（2004）「ドミノを使ったタイル張り」、カレッジ数学ジャーナル、35（2）：115–120、doi：10.2307/4146865、JSTOR 4146865 。
↑ Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997), Real Analysis , ClassicalRealAnalysis.com, p. 37, ISBN 978-0-13-458886-5。
↑スティルウェル、ジョン（2003）、『数論の基礎』、シュプリンガー、199ページ、ISBN 9780387955872。
↑ Lial, Margaret L.; Salzman, Stanley A.; Hestwood, Diana (2005), Basic College Mathematics (7th ed.), Addison Wesley, p. 128, ISBN 9780321257802。
↑ダドリー、アンダーウッド(1992)、「完全数」、Mathematical Cranks、MAA Spectrum、ケンブリッジ大学出版局、pp. 242–244、ISBN 9780883855072。
↑ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2013), "偶数ゴールドバッハ予想の経験的検証と素数ギャップの計算、最大 4 · 10 ¹⁸ ", Mathematics of Computation , 83 (288): 2033– 2060, doi : 10.1090/s0025-5718-2013-02787-1印刷中。
↑キャメロン、ピーター J. (1999)、『順列群』、ロンドン数学会学生テキスト、第45 巻、ケンブリッジ大学出版局、26-27頁、ISBN 9780521653787。
↑ジョイナー、デイビッド (2008)、「13.1.2 パリティ条件」、Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys、JHU Press、pp. 252–253、ISBN 9780801897269。
↑ベンダー、ヘルムート；グラウバーマン、ジョージ (1994)、「奇数位定理の局所解析」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第188巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-45716-3MR 1311244 ; Peterfalvi, Thomas (2000), Character theory for the odd order theorem , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 272, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64660-4MR 1747393 。
↑ Gustafson, Roy David; Hughes, Jeffrey D. (2012), College Algebra (11th ed.), Cengage Learning, p. 315, ISBN 9781111990909。
↑ Jain, RK; Iyengar, SRK (2007), Advanced Engineering Mathematics , Alpha Science Int'l Ltd., p. 853, ISBN 9781842651858。
↑ガイ、リチャード K. (1996)、「公平なゲーム」、Games of no chance (バークレー、カリフォルニア州、1994)、Math. Sci. Res. Inst. Publ.、第29 巻、ケンブリッジ: Cambridge Univ. Press、pp. 61–78、MR 1427957 特に68ページを参照。
↑ Bernhardt, Chris (2009), "邪悪な双子と嫌悪すべき双子が交互に現れる" (PDF) , Mathematics Magazine , 82 (1): 57– 62, doi : 10.4169/193009809x469084 , JSTOR 27643161 。
↑ Moser, Stefan M.; Chen, Po-Ning (2012), A Student's Guide to Coding and Information Theory , Cambridge University Press, pp. 19–20 , ISBN 9781107015838。
↑ Berrou, Claude (2011), Codes and turbo codes , Springer, p. 4, ISBN 9782817800394。
↑ランドール、ロバート H. (2005)、『音響学入門』、ドーバー出版、181 ページ、ISBN 9780486442518。
↑ Cromley, Ellen K.; McLafferty, Sara L. (2011), GIS and Public Health (第2版), Guilford Press, p. 100, ISBN 9781462500628。
↑スウィフト、アール（2011）、『ビッグロード：アメリカのスーパーハイウェイを創り出したエンジニア、先見者、開拓者たちの知られざる物語』 、ホートン・ミフリン・ハーコート、 95ページ、 ISBN 9780547549132。
↑ラウアー、クリス（2010）『サウスウエスト航空』『世界を変えた企業』ABC-CLIO、90ページ、ISBN 9780313378638。

[rod-1] 1 2ヴィジャヤ、AV;ロドリゲス、ドーラ、『数学の理解』 、ピアソンエデュケーションインド、 20–21ページ、ISBN 9788131703571。

[2] Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory , World Scientific, p. 178, ISBN 9789814335232。

[:0-3] 1 2オーウェン、ルース L. (1992)、「基数による可除性」(PDF)、ペンタゴン：学生のための数学雑誌、51 (2): 17–20、2015年3月17日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。

[4] バサリアー、トム（2010）、『小学校教師のための数学』、センゲージラーニング、198ページ、ISBN 9780840054630。

[5] サイドボサム、トーマス H. (2003)、『数学のAからZ：基本ガイド』 、ジョン・ワイリー＆サンズ、 181ページ、 ISBN 9780471461630。

[6] Pólya, George ; Tarjan, Robert E. ; Woods, Donald R. (2009), Notes on Introductory Combinatorics , Springer, pp. 21–22 , ISBN 9780817649524。

[7] タンカ（2006）『古代ギリシア哲学：タレスからゴルギアスまで』ピアソン・エデュケーション・インディア、126ページ、ISBN 9788177589399。

[8] フリードリヒ・フレーベル (1885)『人間の教育』、ジョセフィン・ジャービス訳、ニューヨーク：A・ラヴェル社、240頁

[9] ジョン・H・コンウェイ； Sloane、NJA (1999)、球のパッキング、格子および群、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基礎]、vol. 290 (第 3版)、ニューヨーク: Springer-Verlag、p. 10、ISBN 978-0-387-98585-5MR 1662447 。

[10] パンドルフィーニ、ブルース(1995)、『チェス思考：チェスの駒の動き、ルール、戦略、概念のビジュアル辞典』 、サイモン＆シュスター、 273～ 274ページ、ISBN 9780671795023。

[11] メンデルソーン、NS（2004）「ドミノを使ったタイル張り」、カレッジ数学ジャーナル、35（2）：115–120、doi：10.2307/4146865、JSTOR 4146865 。

[12] Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997), Real Analysis , ClassicalRealAnalysis.com, p. 37, ISBN 978-0-13-458886-5。

[13] スティルウェル、ジョン（2003）、『数論の基礎』、シュプリンガー、199ページ、ISBN 9780387955872。

[14] Lial, Margaret L.; Salzman, Stanley A.; Hestwood, Diana (2005), Basic College Mathematics (7th ed.), Addison Wesley, p. 128, ISBN 9780321257802。

[15] ダドリー、アンダーウッド(1992)、「完全数」、Mathematical Cranks、MAA Spectrum、ケンブリッジ大学出版局、pp. 242–244、ISBN 9780883855072。

[16] Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2013), "偶数ゴールドバッハ予想の経験的検証と素数ギャップの計算、最大 4 · 10 ¹⁸ ", Mathematics of Computation , 83 (288): 2033– 2060, doi : 10.1090/s0025-5718-2013-02787-1印刷中。

[17] キャメロン、ピーター J. (1999)、『順列群』、ロンドン数学会学生テキスト、第45 巻、ケンブリッジ大学出版局、26-27頁、ISBN 9780521653787。

[18] ジョイナー、デイビッド (2008)、「13.1.2 パリティ条件」、Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys、JHU Press、pp. 252–253、ISBN 9780801897269。

[19] ベンダー、ヘルムート；グラウバーマン、ジョージ (1994)、「奇数位定理の局所解析」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第188巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-45716-3MR 1311244 ; Peterfalvi, Thomas (2000), Character theory for the odd order theorem , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 272, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64660-4MR 1747393 。

[20] Gustafson, Roy David; Hughes, Jeffrey D. (2012), College Algebra (11th ed.), Cengage Learning, p. 315, ISBN 9781111990909。

[21] Jain, RK; Iyengar, SRK (2007), Advanced Engineering Mathematics , Alpha Science Int'l Ltd., p. 853, ISBN 9781842651858。

[22] ガイ、リチャード K. (1996)、「公平なゲーム」、Games of no chance (バークレー、カリフォルニア州、1994)、Math. Sci. Res. Inst. Publ.、第29 巻、ケンブリッジ: Cambridge Univ. Press、pp. 61–78、MR 1427957 特に68ページを参照。

[23] Bernhardt, Chris (2009), "邪悪な双子と嫌悪すべき双子が交互に現れる" (PDF) , Mathematics Magazine , 82 (1): 57– 62, doi : 10.4169/193009809x469084 , JSTOR 27643161 。

[24] Moser, Stefan M.; Chen, Po-Ning (2012), A Student's Guide to Coding and Information Theory , Cambridge University Press, pp. 19–20 , ISBN 9781107015838。

[25] Berrou, Claude (2011), Codes and turbo codes , Springer, p. 4, ISBN 9782817800394。

[26] ランドール、ロバート H. (2005)、『音響学入門』、ドーバー出版、181 ページ、ISBN 9780486442518。

[27] Cromley, Ellen K.; McLafferty, Sara L. (2011), GIS and Public Health (第2版), Guilford Press, p. 100, ISBN 9781462500628。

[28] スウィフト、アール（2011）、『ビッグロード：アメリカのスーパーハイウェイを創り出したエンジニア、先見者、開拓者たちの知られざる物語』 、ホートン・ミフリン・ハーコート、 95ページ、 ISBN 9780547549132。

[29] ラウアー、クリス（2010）『サウスウエスト航空』『世界を変えた企業』ABC-CLIO、90ページ、ISBN 9780313378638。

[

[ 2 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[

[ 14 ]

[ 15 ]

[

[

[

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[

[ 24 ]

[ 25 ]

[

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

意味

物件