GF(2)

$GF(2)$ （別名 $\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 、 $Z /2 Z$ または $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ) は2 つの要素を持つ有限体です。^{[ 1 ]}^{[ a ]}

$GF(2)$ は要素数が最小の体であり、加法単位元と乗法単位元がそれぞれと表記される場合に一意となる。0と1、いつものように。

$GF(2)$ の要素は、ビットの2つの可能な値と、ブール値の真と偽に対応するものとみなすことができる。したがって、 $GF(2)は$ コンピュータ科学とその論理的基礎において基本的かつ遍在的なものである。

意味

GF(2)は2つの要素を持つ唯一の体である。その加法単位元と乗法単位元はそれぞれ次のように表される。0と1 .

その加算は、通常の整数の加算を法2で計算したものとして定義され、以下の表に対応します。

GF(2)の要素をブール値とみなすと、加算は論理XOR演算と同じになります。各要素は反対の値と等しいので、減算は加算と同じ演算になります。

GF(2) の乗算は通常の乗算であり (下の表を参照)、ブール変数に対しては論理 AND演算に対応します。

GF(2)は、整数の法の体と同一視できる。2、つまり、整数環Zをすべての偶数のイデアル2 Zで割った商環GF(2) = Z / 2 Z。

表記 $Z 2$ および $\mathbb {Z} _{2}$ 遭遇する可能性があるが、以下の表記と混同される可能性がある。2進整数。

物件

GF(2)は体であるため、有理数や実数といった数体系の多くの馴染み深い性質が保持される。

加算には、すべての要素に対して単位元（0）と逆元が存在する。
乗法には単位元（1）と、0以外のすべての要素に対する逆元が存在する。
加算と乗算は交換法則と結合法則を満たす。
乗算は加算に対して分配法則が成り立つ。

実際の数値からは馴染みのない特性には、以下のようなものがあります。

GF(2) のすべての要素x は $x + x = 0$ を満たし、したがって $- x = x$ となります。これは、GF(2) の特性が 2 であることを意味します。
GF(2) のすべての要素xは $x 2 = x$ を満たします(つまり、乗法に関して冪等です)。これはフェルマーの小定理の一例です。GF(2) はこの性質を持つ唯一の体です (証明: $x 2 = x$ の場合、 $x = 0$ または $x \neq 0$ のいずれかです。後者の場合、xは乗法逆元を持つ必要があり、その場合、両辺をxで割ると $x = 1$ になります。より大きな体はすべて 0 と 1 以外の要素を含み、それらの要素はこの性質を満たすことができません)。

アプリケーション

上記の代数的性質により、 $GF(2)$ においても他の分野と同様に、多くの馴染み深く強力な数学的手法が機能します。例えば、行列の逆行列を含む行列演算は、 $GF(2)$ の要素を持つ行列に適用できます（行列環を参照）。

任意の群 $(V, +)は、$ $V$ のすべての $v$ に対して $v + v = 0 という$ 性質を持つため、必ずアーベル群であり、 $V$ のすべての $vに対して$ $0$ $v$ $= 0$ および $1$ $v$ $=$ $v$ と定義することで、自然な方法で $GF(2)$ 上のベクトル空間に変換できます。このベクトル空間は基底を持ち、 $V$ の要素の数は2 のべき乗 (または無限大) でなければならないことを意味します。

現代のコンピュータでは、データはマシンワードと呼ばれる固定長のビット列で表現されます。これらは $GF(2)$ 上のベクトル空間の構造を持ちます。このベクトル空間の加算は、XOR （排他的論理和）と呼ばれるビット演算です。ビットごとのANDは、このベクトル空間に対する別の演算であり、これによりブール代数、つまりすべてのコンピュータ科学の基礎となる構造が形成されます。これらの空間は、乗算演算を追加することで体 $GF(2$ $n$ $)$ に拡張することもできますが、乗算演算はビット演算であってはなりません。n $が$ 2のべき乗である場合、乗算演算はnim乗算になります。あるいは、任意の $n$ に対して、既約多項式を法とする $GF(2)上の$ 多項式の乗算を使用することもできます（たとえば、Advanced Encryption Standard暗号の説明における体 $GF(2$ $8$ $)$ の場合など）。

$GF(2)$ 上のベクトル空間と多項式環は、符号理論、特に誤り訂正符号や現代暗号において広く用いられています。例えば、多くの一般的な誤り訂正符号（BCH 符号など）は、 $GF(2)$ 上の線形符号（ $GF(2)$ 上のベクトル空間から定義される符号）または多項式符号（ $GF(2)$ 上の多項式環の商として定義される符号）です。

代数的閉包

他の体と同様に、GF(2) も代数閉包を持ちます。これは、GF(2) を部分体として含む体Fであり、 GF(2) 上で代数的であり(つまり、Fのすべての要素は GF(2) の係数を持つ多項式の根であり)、かつ代数的に閉じています ( Fの係数を持つ定数でない多項式はすべてFに根を持ちます)。体Fは、これらの性質によって、体自己同型を除いて (つまり、本質的にはその要素の表記を除いて) 一意に決定されます。

Fは可算であり、有限体 GF(2 ⁿ )のそれぞれを 1 つずつ含んでいます。GF(2 ⁿ )のコピーがGF(2 ^m )のコピーに含まれるのは、 n がmを割り切る場合に限ります。体Fは可算であり、これらすべての有限体の和集合です。

コンウェイは、F が以下の順序数の体と同型であることを証明した。 $\omega ^{\omega ^{\omega }}$ 加算と乗算の演算はそれぞれ数加算と数乗算で定義されます。^{[ 2 ]}この分野での加算は簡単に実行でき、レンストラは乗算も効率的に実行できることを示しました。^{[ 3 ]}

参考文献

↑ GF はガロア体の頭文字をとったもので、有限体の別名です。

↑リドル、ルドルフ；ニーダーライター、ハラルド（1997）。有限体。数学とその応用百科事典。第 20巻（第2 版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069 .
↑コンウェイ、ジョン・H. (2000). 『数とゲームについて』（第2版）. ウェルズリー、マサチューセッツ州. p. 61. ISBN 978-1-56881-127-7。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
↑ Lenstra, Hendrik (1977). "On the Algebraic Closure of Two" (PDF) . Indagationes Mathematicae (Proceedings) . 80 (5): 389– 396. doi : 10.1016/1385-7258(77)90053-1 .

[2] GF はガロア体の頭文字をとったもので、有限体の別名です。

[1] リドル、ルドルフ；ニーダーライター、ハラルド（1997）。有限体。数学とその応用百科事典。第 20巻（第2 版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069 .

[3] コンウェイ、ジョン・H. (2000). 『数とゲームについて』（第2版）. ウェルズリー、マサチューセッツ州. p. 61. ISBN 978-1-56881-127-7。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)

[4] Lenstra, Hendrik (1977). "On the Algebraic Closure of Two" (PDF) . Indagationes Mathematicae (Proceedings) . 80 (5): 389– 396. doi : 10.1016/1385-7258(77)90053-1 .

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[ 3 ]

GF(2)

意味

物件

アプリケーション

代数的閉包

関連項目

参考文献

関連するトピック

有限体

体であり、

加法単位元

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