表面重力

天体の表面重力 g は、その天体の赤道面において、自転の影響を含めて受ける重力加速度のことです。表面重力は、天体の表面に非常に近い位置にある、質量が無視できるほど小さい仮想的な試験粒子が受ける重力加速度として理解できます。表面が大気圏の深部にあり、半径が明確に定義されていない天体の場合、表面重力は、大気中の 1 bar の圧力レベルで与えられます。

表面重力は加速度の単位で測定され、SI単位系ではメートル毎秒二乗です。また、地球の標準表面重力の倍数として表すこともできます。標準表面重力は^{[ 3 ]}に等しいです。

天体物理学では、表面重力は次のように表される。${\displaystyle \log g}$これは、まず重力をcgs単位で表し、加速度と表面重力の単位をセンチメートル毎秒二乗（cm/s² ^）として、次に表面重力のcgs値の常用対数を取ることによって得られます。 ^{[ 4 ]}したがって、地球の表面重力はcgs単位で次のように表すことができます。980.665  cm/s ^{2 で}あり、次に 980.665 の常用対数(「log g」) を取ると、2.992 が「log g」として得られます。  

白色矮星の表面重力は非常に高く、中性子星の表面重力はさらに高い。白色矮星の表面重力は約 100,000 g (10 ⁶  m/s ² )、一方、中性子星のコンパクトさにより、表面重力は最大で7 × 10 ¹²  m/s ²、典型的な値はオーダーで10 ¹²  m/s ^{2 。これは地球の 10 11}倍以上です。このような巨大な重力の結果、中性子星の脱出速度は約100,000 km/sで、光速の約 3 分の 1 です。ブラックホールには表面がないため、その表面重力は定義されていません。

ニュートン力学では、物体が及ぼす重力はその質量に比例します。つまり、質量が2倍の物体は、2倍の重力を及ぼします。ニュートン力学では、重力は逆二乗法則に従うため、物体を2倍の距離に移動させると重力は4分の1になり、10倍の距離に移動させると100分の1になります。これは光の強さにも似ており、光の強さも逆二乗法則に従います。つまり、距離が離れるにつれて光は弱くなります。一般的に言えば、これは点光源からの放射が3次元空間に拡散する際の幾何学的な希釈として理解できます。

惑星や恒星のような大きな天体は、通常、ほぼ球形になり、静水圧平衡（表面上のすべての点が同じ量の重力ポテンシャルエネルギーを持つ状態）に近づきます。小規模では、地形の高い部分が侵食され、侵食された物質が地形の低い部分に堆積します。大規模では、惑星や恒星自体が変形して平衡に達します。^{[ 6 ]}ほとんどの天体の場合、結果として、問題の惑星や恒星は、回転速度が低いときにほぼ完全な球体として扱うことができます。しかし、若い大質量の恒星の場合、赤道方位角速度は非常に高くなる可能性があり、最大で 200  km/s 以上になり、かなりの量の赤道膨らみを引き起こします。このような高速回転する恒星の例には、アケルナル、アルタイル、レグルス A、ベガなどがあります。

多くの大きな天体がほぼ球形であるという事実は、それらの表面重力を計算することを容易にします。シェル定理によれば、球対称な物体の外側の重力は、その質量全体が中心に集中している場合と同じです。これは、アイザック・ニュートン卿によって確立されました。^{[ 7 ]}したがって、与えられた質量を持つ惑星または恒星の表面重力は、その半径の2乗にほぼ反比例し、与えられた平均密度を持つ惑星または恒星の表面重力は、その半径にほぼ比例します。たとえば、最近発見された惑星グリーゼ581cは、少なくとも地球の5倍の質量を持っていますが、表面重力が5倍である可能性は低いです。予想どおり、その質量が地球の5倍以下である場合^{[ 8 ]}、大きな鉄の核を持つ岩石惑星である場合、その半径は地球の半径の約50%大きいはずです。^{[ 9 ] [ 10 ]}そのような惑星の表面の重力は、地球の約2.2倍になるだろう。氷や水でできた惑星であれば、半径は地球の2倍にもなる可能性があり、その場合、表面の重力は地球の1.25倍以下になるかもしれない。^{[ 10 ]}

これらの比例関係は、次の式で表すことができます。 $${\displaystyle g\propto {\frac {m}{r^{2}}}}$$ どこ${\displaystyle g}$は物体の表面重力であり、地球の重力の倍数として表される。${\displaystyle m}$は地球の質量の倍数として表される質量である（5.976 × 10 ²⁴  kg）および${\displaystyle r}$その半径は、地球の（平均）半径（6,371  km）の倍数として表される。^{[ 11 ]}例えば、火星の質量は6.4185 × 10 ²³  kg  =  0.107 地球質量、平均半径 3,390  km  =  0.532 地球半径。^{[ 12 ]}したがって、火星の表面重力はおよそ $${\displaystyle {\frac {0.107}{0.532^{2}}}=0.38}$$ 地球の重力の倍。地球を基準体として使用しない場合、表面重力はニュートンの万有引力の法則から直接計算することもでき、その式は次のようになる 。$${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}}$$ どこ${\displaystyle M}$は物体の質量であり、${\displaystyle r}$は半径であり、${\displaystyle G}$は重力定数です。${\displaystyle \rho =M/V}$は物体の 平均密度を表し、次のように書くこともできます。$${\displaystyle g={\frac {4\pi }{3}}G\rho r}$$ したがって、平均密度が一定の場合、表面重力は${\displaystyle g}$半径に比例する ${\displaystyle r}$質量について解くと、この方程式は次のように書ける。 $${\displaystyle g=G\left({\frac {4\pi \rho }{3}}\right)^{2/3}M^{1/3}}$$ しかし、密度は一定ではなく、惑星が大きくなるにつれて増加します。なぜなら、それらは非圧縮性物体ではないからです。そのため、表面重力と質量の実験的な関係は 1/3 ではなく 1/2 に増加します。^{[ 13 ]}$${\displaystyle g\propto M^{1/2}}$$ ここに${\displaystyle g}$地球の表面重力と${\displaystyle M}$地球の質量の何倍か。実際、前述の関係を満たすことが確認された系外惑星は岩石惑星であることがわかっている。^{[ 13 ]}したがって、岩石惑星の場合、密度は質量とともに増加し、 ${\displaystyle \rho \propto M^{1/4}}$。

木星、土星、天王星、海王星などの巨大ガス惑星の場合、表面重力は大気中の1バールの圧力レベルで与えられます。^{[ 14 ]}地球の100倍までの質量を持つ巨大惑星の場合、表面重力は1バールと非常に似ており、1に近いことがわかっています。${\displaystyle g}$重力プラトーとして知られる領域。^{[ 13 ]}

実際の天体のほとんどは、完全な球対称ではありません。その理由の一つは、天体が回転しているため、重力と遠心力の複合的な影響を受けるからです。このため、恒星や惑星は扁平になり、表面重力は極よりも赤道の方が小さくなります。この効果は、ハル・クレメントのSF小説『重力の使命』で利用されました。この小説では、重力が赤道よりも極でずっと大きい、巨大で高速回転する惑星が描かれています。

物体の内部質量分布が対称モデルと異なる場合、測定された表面重力から物体の内部構造について推測することができる。この事実は、1915年から1916年にかけて、ローランド・エトヴェシュのねじり天秤がエグベル市（現在のスロバキア、グベリ）近郊の石油探査に使用された時から実用化されている。 ^{[ 15 ] : 1663 [ 16 ] : 223} 1924年には、ねじり天秤がテキサス州のナッシュドーム油田の位置特定に使用された。^{[ 16 ] : 223}

自然界には存在しない単純な仮想物体の表面重力を計算することは、時に有用である。無限平面、管、線、中空殻、円錐、さらにはより非現実的な構造物の表面重力は、実際の構造物の挙動を理解するための手がかりとなる可能性がある。

相対性理論では、ニュートン力学における加速度の概念は明確ではないことが判明する。相対論的に扱わなければならないブラックホールの場合、表面が存在しないため、試験体がその物体の表面で受ける加速度として表面重力を定義することはできない。事象の地平線は自然な代替候補ではあるが、ブラックホールの事象の地平線における試験体の加速度は相対論では無限大となるため、これも問題となる。このため、非相対論的極限におけるニュートン力学の値に対応する再規格化された値が用いられる。一般的に用いられる値は、局所固有加速度（事象の地平線で発散する）に重力時間膨張係数（事象の地平線でゼロになる）を乗じたものである。シュワルツシルトの場合、この値はすべての非ゼロ値に対して数学的に良好な振る舞いを示す。${\displaystyle r}$そして ${\displaystyle M}$。

ブラックホールの表面重力について語る場合、ニュートン力学における表面重力と類似した振る舞いをする概念を定義していることになるが、それは全く同じものではない。実際、一般的なブラックホールの表面重力は明確に定義されていない。しかし、事象の地平線がキリング地平線であるブラックホールの表面重力を定義することは可能である。

表面重力${\displaystyle \kappa }$静止したキリング地平線の場合、地平線上の物体を維持するために無限遠で加えられる加速度は、数学的には、$\displaystyle k^{a}}$は適切に正規化されたキリングベクトルであり、表面重力は次のように定義される。 $${\displaystyle k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b},}$$ ここで、方程式は地平線で評価される。静的で漸近的に平坦な時空の場合、正規化は次のように選択する必要がある。${\displaystyle k^{a}k_{a}\to -1}$として$\displaystyle r\to \infty }$それで$\displaystyle \kappa \geq 0$シュヴァルツシルト解については、$\displaystyle k^{a}}$時間翻訳キリングベクトル$${\textstyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}}$$、より一般的には、カー・ニューマン解については、$${\textstyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$$、時間並進と軸対称キリングベクトルの線形結合であり、地平線ではゼロとなる。${\displaystyle \Omega }$は角速度です。

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