カテゴリーの同等性

抽象数学の一分野である圏論において、圏の同値性は、2 つの圏が「本質的に同じ」であることを確立する関係です。数学の多くの分野から、圏の同値性の例は数多くあります。同値性を確立するには、関係する数学的構造間の強い類似性を示す必要があります。場合によっては、これらの構造は表面的または直感的なレベルでは無関係であるように見えるため、この概念はかなり強力です。つまり、異なる種類の数学的構造間で定理を「翻訳」する機会が生まれ、翻訳によってそれらの定理の本質的な意味が保持されることが分かります。

あるカテゴリが別のカテゴリの反対（または双対）と同等である場合、カテゴリの双対性について語り、2 つのカテゴリは双対的に同等であると言います。

カテゴリの同値は、関係するカテゴリ間の関数から成り、関数には「逆」関数が必要です。ただし、代数設定での同型性によくある状況とは対照的に、関数とその「逆」の合成は、必ずしも恒等写像ではありません。代わりに、各オブジェクトがこの合成の下でそのイメージに自然に同型であれば十分です。したがって、関数は「同型性まで逆」であると説明できます。確かに、厳密な形式の逆関数が必要なカテゴリの同型性の概念がありますが、これは同値の概念ほど実用的ではありません。

正式には、2 つのカテゴリCとDが与えられた場合、カテゴリの同値は、関数F  : C → D、関数G  : D → C、および 2 つの自然同型 ε: FG → I _Dと η : I _C → GFで構成されます。ここで、FG : D → DとGF : C → C はそれぞれFとGの合成を表し、I _C : C → CとI _D : D → D は、各オブジェクトと射をそれ自体に割り当てる、 CとD上の恒等関数を表します。 FとG が反変関数である場合は、代わりにカテゴリの双対性について語ります。

上記のデータをすべて指定しないことがよくあります。たとえば、カテゴリCとDの間に同値(それぞれ双対性) が存在する場合、カテゴリ C と D は同値 (それぞれ双対同値)であると言います。さらに、逆関数Gと上記のような自然同型が存在する場合、 F はカテゴリの同値であると言います。ただし、 Fの知識だけでは、通常、 Gと自然同型を再構築するのに十分ではないことに注意してください。選択肢は多数ある可能性があります (以下の例を参照)。

関数F  : C → Dがカテゴリの同値性をもたらすのは、次の条件が同時に満たされる場合のみです。

• 完全、すなわち、 Cの任意の2つのオブジェクトc ₁とc _{2に対して、} Fによって誘導されるマップ Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ )は射影的である。
• 忠実、すなわち、 Cの任意の2つのオブジェクトc ₁とc _{2に対して、} Fによって誘導される写像 Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ )は単射である。
• 本質的には射影的（稠密）であり、すなわち、 D内の各オブジェクトd は、 C内のcに対して、形式Fcのオブジェクトと同型である。^[1]

これは非常に有用で、よく適用される基準です。なぜなら、「逆」Gと、 FG、GFと恒等関数間の自然同型を明示的に構築する必要がないためです。一方、上記の特性はカテゴリ同値の存在を保証しますが (基礎となる集合論の選択公理の十分に強いバージョンが与えられている場合)、欠落しているデータは完全には指定されておらず、多くの場合、選択肢は多数あります。可能な限り、欠落している構成を明示的に指定することをお勧めします。この状況のた​​め、これらの特性を持つ関数は、カテゴリの弱い同値と呼ばれることがあります。 (残念ながら、これはホモトピー理論の用語と矛盾します。)

は随伴関数 の概念とも密接な関係があり、ここでは はの左随伴関数である、あるいは同様にG はFの右随伴関数である、と表現します。すると、CとDが同値であるためには (上で定義したように、 FGからI _DおよびI _CからGFへの自然同型が存在する)、かつFとGが両方とも完全かつ忠実である必要があります。 ${\displaystyle F\dashvG}$${\displaystyle F:C\rightarrow D}$${\displaystyle G:D\rightarrow C}$${\displaystyle F\dashvG}$

随伴関数が完全かつ忠実ではない場合、随伴関係はカテゴリの「より弱い形式の同値性」を表すものと見なすことができます。随伴の自然変換が与えられていると仮定すると、これらすべての定式化により、必要なデータの明示的な構築が可能になり、選択原理は必要ありません。ここで証明する必要がある重要な特性は、随伴の余単位が同型であるためには、右随伴が完全かつ忠実な関数である必要があるということです。 ${\displaystyle F\dashvG}$

• 1 つのオブジェクトと 1 つの射を持つカテゴリと、2 つのオブジェクトと 4 つの射(2 つの恒等射、2 つの同型射と) を持つカテゴリを考えます。カテゴリと は同値です。たとえば、を にマップし、の両方のオブジェクトを にマップし、すべての射を にマップすることができます。${\displaystyle C}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 1_{c}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle 1_{d_{1}}}$${\displaystyle 1_{d_{2}}}$${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2}}$${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 1_{c}}$
• 対照的に、単一のオブジェクトと単一の射を持つカテゴリは、2 つのオブジェクトと 2 つの恒等射のみを持つカテゴリと同等ではありません。 の 2 つのオブジェクトは、それらの間に射がないため同型ではありません。したがって、 から への任意の関数は 本質的に射影的ではありません。${\displaystyle C}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C}$${\displaystyle E}$
• 1 つのオブジェクトと 2 つの射 を持つカテゴリを考えます。をおよびセット上の恒等射とします。もちろん、はそれ自身と同値であり、これは関数 とそれ自身との間の必要な自然同型の代わりにを取ることで示せます。しかし、 が から 自体への自然同型を生成することも真です。したがって、恒等関数がカテゴリの同値を形成するという情報があれば、この例では各方向に対して 2 つの自然同型から選択することができます。${\displaystyle C}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 1_{c},f\colon c\to c}$${\displaystyle 1_{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f\circ f=1}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 1_{c}}$${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$
• 集合と部分関数のカテゴリは、尖端集合と点保存写像のカテゴリと同等であるが同型ではない。 ^[2]
• 有限次元実ベクトル空間のカテゴリと、すべての実行列のカテゴリ（後者のカテゴリは加法カテゴリの記事で説明されています）を考えます。すると、とは次のようになります。 のオブジェクトをベクトル空間に、また の行列を対応する線型写像に写像する関数は、完全かつ忠実で、本質的に射影的です。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G\colon D\to C}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle D}$
• 代数幾何学の中心テーマの 1 つは、アフィン スキームのカテゴリと可換環のカテゴリの双対性です。 関数は、すべての可換環に、そのスペクトル、つまり環の素イデアルによって定義されるスキームを関連付けます。 その随伴関数は、すべてのアフィン スキームに、その大域セクションの環を関連付けます。${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$
• 関数解析において、恒等関数を持つ可換C*-代数のカテゴリは、コンパクトハウス ドルフ空間のカテゴリと反変的に同値です。この双対性の下では、すべてのコンパクト ハウスドルフ空間は上の連続複素数値関数の代数に関連付けられ、すべての可換 C*-代数はその最大イデアルの空間に関連付けられます。これがゲルファント表現です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 格子理論には、特定の格子のクラスを位相空間のクラスに結び付ける表現定理に基づく、いくつかの双対性があります。 おそらく、この種の定理の中で最もよく知られているのは、ブール代数に対するストーンの表現定理であり、これはストーン双対性の一般的な枠組みにおける特別な例です。 各ブール代数は、の超フィルタの集合上の特定の位相にマッピングされます。 逆に、任意の位相について、閉開部分集合 (つまり、閉部分集合と開部分集合) はブール代数を生成します。 ブール代数のカテゴリ (準同型を含む) とストーン空間(連続マッピングを含む) の間には双対性が得られます。 ストーン双対性の別の例は、有限部分順序と有限分配格子の間の双対性を述べるバーコフの表現定理です。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$
• 無点位相幾何学では、空間場所のカテゴリは、厳密な空間のカテゴリの双対と同等であることが知られています。
• 2つの環 RとSの場合、積カテゴリ R - Mod × S - Modは( R × S ) -Modに等しい。^[要出典]
• どのカテゴリもそのスケルトンと同等です。

経験則として、カテゴリの同値はすべての「カテゴリ」概念とプロパティを保持します。F  : C → Dが同値である場合、次のステートメントはすべて真です。

• Cのオブジェクトcが始点オブジェクト(または終点オブジェクト、ゼロオブジェクト)である場合、かつその場合に限り、Fc はDの始点オブジェクト(または終点オブジェクト、ゼロオブジェクト)である。
• Cの射 αが単射(またはエピモーフィズム、同型)である場合と、Fα がDの単射 (またはエピモーフィズム、同型 ) である場合に限ります。
• 関数H  : I → Cが極限(または余極限) lを持つのは、関数FH  : I → Dが極限 (または余極限) Fl を持つ場合のみです。これは、イコライザー、積、余積などにも適用できます。これをカーネルとコカーネルに適用すると、同値Fが正確な関数であることがわかります。
• Cがデカルト閉カテゴリ(またはトポス)であるのは、 Dがデカルト閉 (またはトポス) である場合に限ります。

双対性は「すべての概念を一変させます」。つまり、初期オブジェクトを終端オブジェクトに、単射をエピモーフィズムに、核を余核に、極限を余極限になど変えます。

F  : C → D がカテゴリの同値であり、G ₁とG _2がFの2つの逆である場合、G ₁とG ₂は自然に同型です。

F  : C → Dがカテゴリの同値であり、Cが前加法カテゴリ（または加法カテゴリ、またはアーベルカテゴリ）である場合、D は前加法カテゴリ（または加法カテゴリ、またはアーベルカテゴリ）に変換され、F は加法関数になります。 一方、加法カテゴリ間の同値性は必ず加法になります。（後者のステートメントは前加法カテゴリ間の同値性には当てはまらないことに注意してください。）

カテゴリCの自己同値は、同値F  : C → Cです。自然に同型である 2 つの自己同値が同一であると見なすと、Cの自己同値は合成によってグループを形成します。このグループは、 Cの本質的な「対称性」を捉えます。(注意点が 1 つあります。Cが小さなカテゴリでない場合、 Cの自己同値は集合ではなく適切なクラスを形成する可能性があります。)

• 数学的構造の同等の定義
• アナファンクター