ポリヘックス（数学）

娯楽数学において、ポリヘックスとは、正六角形(または略して「ヘックス」) を基本形とし、1 つ以上の六角形を結合して構築される多面体です。特定の形式は、六角形の数によって、モノヘックス、ダイヘックス、トライヘックス、テトラヘックスなどと名付けられます。これらは、調査したDavid Klarnerによって命名されました。

それぞれの個別のポリヘックス タイルおよびテッセレーション ポリヘックスは、正六角形のタイリング上に描画できます。

六角形を結合するルールは異なる場合があります。ただし、一般的には次のルールが適用されます。

1. 2 つの六角形は共通の辺に沿ってのみ結合することができ、その辺全体を共有する必要があります。
2. 2 つの六角形が重なり合うことはできません。
3. ポリヘキサは接続されている必要があります。切断された基本ポリゴンの構成は、ポリヘキサとして適格ではありません。
4. 非対称ポリヘックスの鏡像は、別個のポリヘックスとは見なされません (ポリヘックスは「両面」です)。

5 個未満の六角形を持つすべてのポリヘキサスは、少なくとも 1 つの規則的な平面タイリングを形成できます。

さらに、ダイヘックスと直線ポリヘックスの平面タイリングは、ダイヘックスの長軸に平行または垂直な 180 度回転または反射に対して不変です (2 次回転対称性と 4 次反射対称性)。また、六角形タイリングと他のポリヘックス (下記の 1 つの穴があるヘキサヘックスなど) は、60 度、120 度、または 180 度回転に対して不変です (6 次回転対称性と反射対称性)。

さらに、六角形はヘキシアダイヤモンドなので、すべてのポリヘキサも異なるポリアダイヤモンドです。また、正三角形は六角形と 3 つの小さな正三角形であるため、任意のポリヘキサに大きなポリアダイヤモンドを重ねて、各ポリヘキサに対応する 2 つのポリアダイヤモンドを作成することができます。これは、六角形をどんどん小さな六角形に無限に分割する (非反復タイリング) か、六角形と三角形に無限に分割する基礎として使用されます。

ポリオミノと同様に、ポリヘキサは、自由ポリヘキサ（回転と反射が同じ形状としてカウントされる）、固定ポリヘキサ（異なる方向は異なるものとしてカウントされる）、および片面ポリヘキサ（鏡像は異なるものとしてカウントされるが、回転は同一としてカウントされる）として列挙される。また、穴があるかどうかによって区別されることもある。n  = 1、2、3、…の場合の自由nヘキサの数は、1、1、3、7、22、82、333、1448、…（ OEISのシーケンスA000228）である。穴がある自由ポリヘキサの数は、 OEIS : A038144で与えられる。穴がない自由ポリヘキサの数は、OEIS : A018190で与えられる。片面ポリヘキサの数は、OEIS : A006535で与えられる。固定ポリヘキサの数はOEIS :A001207で与えられている。^{[1] [2]}

ヘキサヘックスまでのポリヘックスのうち、モノヘックスと穴のあるヘキサヘックスの 2 つは 6 回回転と反射対称性 (したがって 3 回および 2 回対称性もある) を持ち、他の 3 つは 3 回回転 (コンパクトなトライヘックス、プロペラ テトラヘックス、正三角形のように見えるヘキサヘックス) と 3 回反射対称性を持ち、他の 9 つは 2 回回転と反射を持ち、8 つは 2 回回転のみ、16 は 2 回反射のみを持ち、残りの 78 (テトラヘックス、ペンタヘックス、またはヘキサヘックスのほとんど) は非対称です。反射対称ポリヘックスのほとんどのタイリングは、ポリヘックスの長さと同じ順序のすべり反射に対しても不変です。

モノヘックスは 1 つあります。平面を正六角形のタイリングとしてタイル張りします。

空いているダイヘックスが 1 つあります。

3 つのフリーおよび両面トライヘックスがあります。

7つの自由四面体と両面四面体があり、それぞれバー、ワーム、ピストル、プロペラ、アーチ、ビー、ウェーブという名前が付けられています。^[3]

22 個の自由ペンタヘクスと両面ペンタヘクスがあります。

自由六角形と両面六角形は 82 個あります。

ウィキメディア・コモンズには、ポリヘキセズに関連するメディアがあります。

• テッセレーション
• 浸透理論
• ポリアモンド– 正三角形のタイル
• ポリオミノ– 正方形のタイル
• 多環芳香族炭化水素– ポリヘキサを基本構造とする炭化水素
• 爬虫類タイル– 自分自身の小さなコピーで作られた形のタイル