分数異方性

異方性分数 (FA)は、拡散プロセスの異方性の度合いを表す 0 から 1 の間のスカラー値です。値が 0 の場合、拡散は等方性、つまりすべての方向で制限されない (または均等に制限される) ことを意味します。値が 1 の場合、拡散は 1 つの軸に沿ってのみ発生し、他のすべての方向では完全に制限されます。FA は、拡散イメージングでよく使用される尺度で、白質の繊維密度、軸索の直径、および髄鞘形成を反映すると考えられています。FA は、3 次元の円錐断面の偏心の概念を拡張したもので、単位範囲に正規化されています。

拡散楕円体は拡散テンソルDによって完全に表されます。FAは拡散テンソルの固有値 から計算されます。^[1]固有ベクトルは楕円体の長軸の方向を示し、対応する固有値は各固有ベクトル方向のピークの大きさを示します。 ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$

${\displaystyle {\text{FA}}={\sqrt {{\frac {3}{2}}\left({\frac {(\lambda _{1}-{\hat {\lambda }})^{2}+(\lambda _{2}-{\hat {\lambda }})^{2}+(\lambda _{3}-{\hat {\lambda }})^{2}}{\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}}\right)}}}$

は固有値の平均値です 。${\displaystyle {\hat {\lambda }}=(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})/3}$

FAの同等の式は

${\displaystyle {\text{FA}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})^{2}+(\lambda _{2}-\lambda _{3})^{2}+(\lambda _{3}-\lambda _{1})^{2}}{\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}}\right)}},}$

これはさらに次と同等である: ^[2]

${\displaystyle {\text{FA}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-{\frac {1}{{\text{trace}}({\text{R}}^{2})}}\right)}}}$

ここで、R は「正規化された」拡散テンソルです。

${\displaystyle {\text{R}}={\frac {\text{D}}{{\text{trace}}({\text{D}})}}}$

すべての固有値が等しい場合 (自由水のような等方性 (球状) 拡散の場合に発生します)、 FA は0になります。 FA は最大値1に達することがあります(実際のデータではほとんど発生しません)。その場合、 D には 0 以外の固有値が 1 つだけ存在し、楕円体はその固有ベクトルの方向の線に縮小されます。つまり、拡散はその方向のみに限定されます。

これは、D の固有ベクトルと固有値によって定義される楕円体で視覚化できます。拡散は等方性であり、すべての方向に拡散する確率が等しいため、球の FA は0です。拡散テンソルの固有ベクトルと固有値は、拡散プロセスを完全に表現します。FA は楕円体の尖り具合を定量化しますが、どの方向を向いているかに関する情報は提供しません。

水を含むほとんどの液体の FA は、拡散プロセスが繊維のネットワークなどの構造によって制約されていない限り、 0であることに注意してください。測定された FA は、拡散測定の有効長さスケールに依存する場合があります。拡散プロセスが測定されているスケールで制約されていない場合 (制約が離れすぎている)、または制約が測定されたものよりも小さいスケールで方向を切り替える場合、測定された FA は減衰します。たとえば、脳は多くの繊維 (神経軸索) が浸透している液体と考えることができます。ただし、ほとんどの部分で繊維はすべての方向に伸びているため、拡散を制約しているにもかかわらず FA は0です。脳梁などの一部の領域では、繊維は十分に大きなスケール (mm のオーダー) にわたって整列しているため、磁気共鳴画像の解像度要素内で方向がほぼ一致し、これらの領域が FA 画像で際立っています。 液晶は、分子の針状または板状の形状が分子同士の滑りに影響するため、異方性拡散を示すこともあります。FA が 0 の場合、D のテンソル性質は無視されることが多く、拡散定数と呼ばれます。

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  FA値は0.7698、DT行列は対角行列([10 2 2])
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  FA値が0の場合、DT行列は対角行列([4 4 4])
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  FA値は0.6030、DT行列は対角行列([4 4 2])

拡散テンソルモデルの欠点の 1 つは、ガウス拡散プロセスしか説明できないことです。これは、人間の脳内の真の拡散プロセスを正確に表すには不十分であることが判明しています。このため、球面調和関数と方向分布関数 (ODF) を使用した高次モデルを使用して、一般化分数異方性と呼ばれる、より新しく豊富な異方性の推定を定義しました。GFA 計算では、ODF のサンプルを使用して拡散の異方性を評価します。ODF モデルの球面調和係数を使用して簡単に計算することもできます。^[3]