ブロッホ方程式

物理学および化学、特に核磁気共鳴（NMR）、磁気共鳴画像法（MRI）、および電子スピン共鳴（ESR）において、ブロッホ方程式は、緩和時間 $T$ $1$ および $T$ $2$ が存在する場合に、時間の関数として核磁化 $M = (M x 、 M y 、 M z)$ を計算するために使用される一連の巨視的方程式です。これらは、1946 年にフェリックス・ブロッホによって導入された現象論的方程式です。 ^[¹^]時には、核磁化の運動方程式と呼ばれることもあります。これらは、マクスウェル・ブロッホ方程式に類似しています。

実験室（静止）座標系において

$核磁化をM (t) = (M x (t), M y (t), M z (t))$ とすると、ブロッホ方程式は次のようになる。

${\begin{aligned}{\frac {dM_{x}(t)}{dt}}&=\gamma \left(\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)\right)_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}\\[1ex]{\frac {dM_{y}(t)}{dt}}&=\gamma \left(\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)\right)_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}\\[1ex]{\frac {dM_{z}(t)}{dt}}&=\gamma \left(\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)\right)_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}\end{aligned}}$

ここで、 $γは磁気回転比であり、B(t) = (Bx(t), By($ $t$ ) , B0 $+ ΔBz (t)) は原子核が受ける磁場である。磁場 B の$ z成分は、 $2$ $つ$ $の$ 項から構成される場合がある $。$

1つは $B0 で$ 、時間的に一定です。
もう一方の $ΔBz (t) は時間依存性を$ 持つ可能性がある。これは磁気共鳴画像法に存在し、NMR信号の空間解読に役立つ。

$M (t) \times B (t)は$ $、$ これら 2 つのベクトルの外積です $。M0は$ 定常状態の核磁化 (つまり、例えば $t \to \infty のとき) であり、$ z方向です。

身体的背景

緩和がない場合（つまり、 $T 1$ と $T 2 の両方が\to \infty の$ 場合）、上記の式は次のように簡略化されます。

${\begin{aligned}{\frac {dM_{x}(t)}{dt}}&=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}\\[1ex]{\frac {dM_{y}(t)}{dt}}&=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}\\[1ex]{\frac {dM_{z}(t)}{dt}}&=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}\end{aligned}}$

または、ベクトル表記では：

${\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt}}=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)$

これは、外部磁場 $B$ における核磁化 $Mの$ ラーモア歳差運動の式です。

緩和条件、

$\left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}\right)$

$核磁化M$ の横緩和と縦緩和の確立された物理的プロセスを表す。

巨視的な方程式として

これらの式は微視的なものではありません。個々の核磁気モーメントの運動方程式を記述するものではないのです。それらは量子力学の法則によって支配され、記述されます。

ブロッホ方程式は巨視的なものであり、試料中のすべての核磁気モーメントを合計することによって得られる巨視的な核磁化の運動方程式を記述する。

代替形式

ブロッホ方程式のベクトル積の括弧を開くと、次のようになる。

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}M_{x}(t)&=\gamma \left(M_{y}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{y}(t)\right)-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}\\[1ex]{\frac {d}{dt}}M_{y}(t)&=\gamma \left(M_{z}(t)B_{x}(t)-M_{x}(t)B_{z}(t)\right)-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}\\[1ex]{\frac {d}{dt}}M_{z}(t)&=\gamma \left(M_{x}(t)B_{y}(t)-M_{y}(t)B_{x}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}\end{aligned}}$

上記の形式は、以下の仮定に基づいてさらに簡略化されています。

$M_{xy}=M_{x}+iM_{y}\;\;{\text{ and }}\;\;B_{xy}=B_{x}+iB_{y}\,$

ここで $i = \sqrt -1 で$ ある。いくつかの代数計算の後、次の式が得られる。

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}&=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}{T_{2}}}\\[1ex]{\frac {dM_{z}(t)}{dt}}&=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)}}-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}.\end{aligned}}$

どこ

${\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}.$

$M xy は$ $M$ $xy$ の複素共役です。M $xy$ の実部と虚部はそれぞれ $M$ $x$ と $M$ $y$ に対応します。M $xy$ $は$ 横方向核磁化と呼ばれることもあります。

マトリックス形式

ブロッホ方程式は、行列ベクトル表記で次のように書き換えることができる。 ${\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{z}&-\gamma B_{y}\\-\gamma B_{z}&-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{x}\\\gamma B_{y}&-\gamma B_{x}&-{\frac {1}{T_{1}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{pmatrix}}$

回転座標系において

回転座標系では、核磁化Mの挙動を理解しやすくなります。これがその動機です。

T ₁、T ₂ → ∞の場合のブロッホ方程式の解

以下のことを前提とする。

$t = 0 の$ とき、横方向の核磁化 $M xy (0)$ は一定の磁場 $B (t) = (0, 0, B 0)$ を経験します。
$B 0$ は正の値です。
縦緩和と横緩和は存在しない（つまり、 $T 1$ と $T 2 \to \infty$ である）。

すると、ブロッホ方程式は以下のように簡略化される。

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}M_{xy}(t)&=-i\gamma M_{xy}(t)B_{0},\\[1ex]{\frac {d}{dt}}M_{z}(t)&=0.\end{aligned}}$

これらは（連立していない）2つの線形微分方程式です。その解は次のとおりです。

${\begin{aligned}M_{xy}(t)&=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t},\\M_{z}(t)&=M_{0}={\text{const}}\,.\end{aligned}}$

したがって、横磁化 $M xy$ は、z軸を中心に角周波数 $ω 0 = γB 0$ で時計回りに回転します (これは指数の負の符号によるものです)。縦磁化 $M z$ は時間的に一定です。これは、実験室座標系(つまり静止した観測者)から見た横磁化の見え方でもあります。

$M xy (t)は、$ $M x (t)$ および $M y (t)$ の観測可能な量に次のように変換されます。

${\begin{aligned}M_{xy}(t)&=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{z0}t}\\[1ex]&=M_{xy}(0)\left[\cos(\omega _{0}t)-i\sin(\omega _{0}t)\right]\end{aligned}}$

それから

${\begin{aligned}M_{x}(t)&=\operatorname {Re} \left(M_{xy}(t)\right)=M_{xy}(0)\cos(\omega _{0}t),\\M_{y}(t)&=\operatorname {Im} \left(M_{xy}(t)\right)=-M_{xy}(0)\sin(\omega _{0}t),\end{aligned}}$

ここで、 $Re(z)$ と $Im(z)は$ 複素数 $z$ の実部と虚部を返す関数です。この計算では、 $M xy (0)は$ 実数であると仮定しました。

回転座標系への変換

前のセクションの結論は次のとおりです。z軸に沿った一定の磁場 $B₀では、$ 横磁化 $Mxy$ $は$ この軸を中心に角周波数 $ω₀$ で時計回りに回転します。観測者が同じ軸を中心に角周波数Ωで時計回りに回転している場合 $、$ $Mxy$ は $角$ $周波数$ $ω₀$ $-Ω$ で回転しているように見えます。具体的には、観測者が同じ軸を中心に角周波数 $ω₀$ で時計回りに回転している場合、横磁化 $Mxy$ $は$ 観測者には静止しているように見えます_。

これは数学的に次のように表現できます。

$(x, y, z)を実験$ 室（または静止）座標系のデカルト座標系とし、
$(x', y', z') = (x', y', z)は、角周波数$ $Ω$ で実験室座標系のz軸を中心に回転するデカルト座標系です。これを回転座標系と呼びます。この座標系における物理量はプライム記号で表されます。

明らかに：

$M_{z}'(t)=M_{z}(t)\,.$

$M xy' (t)$ とは何か？このセクションの冒頭の議論を数学的に表現すると次のようになる。

$M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)\,.$

回転座標系における横磁化の運動方程式

$M xy' (t)$ の運動方程式は何ですか?

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)\\[1ex]&=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)\\[1ex]&=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'(t)\end{aligned}}$

実験室座標系におけるブロッホ方程式から代入する：

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=e^{i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy}B_{z}-M_{z}B_{xy}\right)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'\\[1ex]&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}e^{i\Omega t}B_{z}-M_{z}B_{xy}e^{i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}e^{i\Omega t}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'\\[1ex]&=-i\gamma \left(M_{xy}'B_{z}-M_{z}B_{xy}'\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}$

しかし、前のセクションの仮定により、 $B z' (t) = B z (t) = B 0 + Δ B z (t)$ および $M z (t) = M z' (t)$ となります。上記の式に代入すると、次のようになります。

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=-i\gamma \left(M_{xy}'(B_{0}+\Delta B_{z})-M_{z}'B_{xy}'\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\[1ex]&=-i\gamma B_{0}M_{xy}'-i\gamma \Delta B_{z}M_{xy}'+i\gamma B_{xy}'M_{z}'+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\[1ex]&=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'-i\gamma \Delta B_{z}M_{xy}'+i\gamma B_{xy}'M_{z}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}$

この等式の右辺にある各項の意味は以下のとおりです。

$i (Ω - ω 0) M xy' (t)$ は、角周波数 Ω で回転する参照フレームにおけるラーモア項です。Ω $= ω 0$ のとき、この項はゼロになることに注意してください。
$- i γ Δ B z (t) M xy' (t)$ という項は、磁場不均一性（ $Δ B z (t)$ で表される）が横方向の核磁化に及ぼす影響を表しており、 T ₂^*を説明するために用いられます。また、 MRI の背後にある項でもあり、勾配コイルシステムによって生成されます。
$i γ B xy' (t) M z (t)$ は、RF 磁場 ( $B xy' (t)$ 因子) が核磁化に及ぼす影響を表します。例については下記を参照してください。
$- M xy' (t) / T 2$ は、横磁化のコヒーレンスの喪失を表します。

同様に、回転座標系における Mzの運動方程式は_{次のようになる。} ${\frac {dM_{z}'(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}{\overline {B'_{xy}}}-{\overline {M'_{xy}}}B'_{xy}\right)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}$

回転座標系における方程式の時間非依存形式

外部フィールドの形式が次のようになっている場合：

${\begin{aligned}B_{x}(t)&=B_{1}\cos \omega t\\B_{y}(t)&=-B_{1}\sin \omega t\\B_{z}(t)&=B_{0}\end{aligned}}$

定義： ${\displaystyle \epsilon$ とすると、（行列ベクトル表記では）次のようになります。

${\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{T_{2}}}&\Delta &0\\-\Delta &-{\frac {1}{T_{2}}}&\epsilon \\0&-\epsilon &-{\frac {1}{T_{1}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{pmatrix}}$

シンプルな解決策

横方向核磁化M _xyの緩和

以下のことを前提とする。

核磁化はz方向の一定の外部磁場 $B z' (t) = B z (t) = B 0$ にさらされる。したがって $ω 0 = γB 0$ および $Δ B z (t) = 0となる$ 。
RFは存在しない、つまり $B xy' = 0$ である。
回転座標系は角周波数 $Ω = ω 0$ で回転する。

すると、回転座標系では、横方向核磁化 $M xy'(t)$ の運動方程式は次のように簡略化される。

${\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}$

これは線形常微分方程式であり、その解は

$M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}.$

ここで、 $M xy'(0)$ は時刻 $t = 0$ における回転座標系での横方向核磁化である。これは微分方程式の初期条件である。

回転座標系がラーモア周波数で正確に回転する場合（これは上記の仮定 $Ω = ω 0$ の物理的意味です）、横方向核磁化ベクトル $M xy (t)$ は静止しているように見えることに注意してください。

縦方向核磁化の緩和M _z

以下のことを前提とする。

核磁化はz方向の一定の外部磁場 $B z' (t) = B z (t) = B 0$ にさらされる。したがって $ω 0 = γB 0$ および $Δ B z (t) = 0となる$ 。
RFは存在しない、つまり $B xy' = 0$ である。
回転座標系は角周波数Ω = ω ₀で回転する。

すると、回転座標系では、縦方向の核磁化 $M z (t)$ の運動方程式は次のように簡略化される。

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=-{\frac {M_{z}(t)-M_{z,\mathrm {eq} }}{T_{1}}}$

これは線形常微分方程式であり、その解は

$M_{z}(t)=M_{z,\mathrm {eq} }-[M_{z,\mathrm {eq} }-M_{z}(0)]e^{-t/T_{1}}$

ここで、M _z (0) は時刻t = 0 における回転座標系での縦方向の核磁化である。これは微分方程式の初期条件である。

90°および180°のRFパルス

以下のことを前提とする。

核磁化はz方向の一定の外部磁場 $B z' (t) = B z (t) = B 0$ にさらされる。したがって $ω 0 = γB 0$ および $Δ B z (t) = 0となる$ 。
$t = 0$ において、一定の振幅と周波数 ω ₀の RF パルスが印加されます。つまり、 $B' xy (t) = B' xy$ は一定です。このパルスの持続時間は τ です。
回転座標系は角周波数Ω = ω ₀で回転する。
$T 1$ と $T 2 \to \infty$ 。実際には、これは $τ ≪ T 1$ と $T 2$ を意味します。

そして、 $0 \leq t \leq τ$ の場合：

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=i\gamma B_{xy}'M_{z}(t)\\[1ex]{\frac {dM_{z}(t)}{dt}}&=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}(t){\overline {B'_{xy}}}-{\overline {M'_{xy}}}(t)B'_{xy}\right)\end{aligned}}$

参考文献

↑ Bloch, F. (1946). "核誘導". Physical Review . 70 : 4604– 73. doi : 10.1103/PhysRev.70.460 . ISSN 0031-899X .
↑ Torrey, HC (1956). "拡散項を含むブロッホ方程式". Physical Review . 104 (3): 563– 565. Bibcode : 1956PhRv..104..563T . doi : 10.1103/PhysRev.104.563 .

さらに読む

チャールズ・キッテル著、『固体物理学入門』、ジョン・ワイリー＆サンズ社、第8版（2004年）、ISBN 978-0-471-41526-8第13章は磁気共鳴についてです。

[1] Bloch, F. (1946). "核誘導". Physical Review . 70 : 4604– 73. doi : 10.1103/PhysRev.70.460 . ISSN 0031-899X .

[2] Torrey, HC (1956). "拡散項を含むブロッホ方程式". Physical Review . 104 (3): 563– 565. Bibcode : 1956PhRv..104..563T . doi : 10.1103/PhysRev.104.563 .

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