ホモトピー結合代数

数学において、のような代数は、その結合性が明確に定義されている乗法を持つ。これは、任意 の実数に対して、${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)-(a\cdot b)\cdot c=0}$。

しかし、必ずしも結合的ではない代数があり、つまり、 ${\displaystyle R}$${\displaystyle a,b,c\in R}$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)-(a\cdot b)\cdot c\neq 0}$

一般に、 -代数と呼ばれる代数の概念があり、これは依然として最初の関係のように動作する乗算に関する特性を持ちます。つまり、結合性は保持されますが、ホモトピーまでしか保持されません。これは、代数内の情報を「圧縮」する操作の後、乗算が結合的であると言う方法です。つまり、2 番目の方程式、つまり不等式の 1 つに似たものが得られますが、代数内の情報を「圧縮」した後は実際には等式が得られます。 ${\displaystyle A_{\infty}}$

-代数の研究はホモトピー代数のサブセットであり、ここでは、乗算演算を伴う微分​​次数代数と、乗算が結合的でないことを規定する一連のより高次のホモトピーを介した結合代数のホモトピー概念が存在します。大まかに言えば、 -代数^{[1] は}、 の - 次テンソル冪に対する一連の演算を伴う、体上の - 次数ベクトル空間です。 は連鎖複素微分に対応し、は乗算写像であり、より高次のは の結合性の失敗の尺度です。基礎となるコホモロジー代数 を見ると、写像は結合写像であるはずです。次に、これらの高次の写像は高次のホモトピーとして解釈されるはずです。ここで、 はが結合的でないこと、 は が高次の結合的でないこと、などです。その構造はもともとジム・スタシェフ^{[2] [3]が}A∞空間を研究しているときに発見されましたが、後に純粋に代数的な構造として解釈されました。これらはホモトピーまでしか結合しない写像を備えた空間であり、A∞構造はこれらのホモトピー、ホモトピーのホモトピーなどを追跡します。 ${\displaystyle A_{\infty}}$${\displaystyle A_{\infty}}$ ${\displaystyle (A^{\bullet },m_{i})}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A^{\bullet }}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle H(A^{\bullet },m_{1})}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{3},m_{4},\ldots }$${\displaystyle m_{3}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{4}}$${\displaystyle m_{3}}$

これらは、ホモトピー結合構造のみを持つ カラビ・ヤウ多様体上のD ブレーンの深谷カテゴリの構造を定義する上で必要なため、ホモロジーミラー対称性において遍在します。

固定体に対して、-代数[ ^1]は-次数付きベクトル空間 である。${\displaystyle k}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }A^{p}}$

に対して次数, -線型写像 が存在する${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle 2-d}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle m_{d}\colon (A^{\bullet })^{\otimes d}\to A^{\bullet }}$

これは一貫性条件を満たす:

${\displaystyle \sum _{\begin{matrix}1\leq p\leq d\\0\leq q\leq d-p\end{matrix}}(-1)^{\alpha }m_{d-p+1}(a_{d},\ldots ,a_{p+q+1},m_{p}(a_{p+q},\ldots ,a_{q+1}),a_{q},\ldots ,a_{1})=0}$、

どこ。 ${\displaystyle \alpha =(-1)^{{\text{deg}}(a_{1})+\cdots +\deg(a_{q})-q}}$

一貫性の条件は、低い次数の場合は簡単に記述できます^{[1] 583～584ページ}。

これは 、${\displaystyle d=1}$

${\displaystyle m_{1}(m_{1}(a_{1}))=0}$、

と を与えるからです。これら 2 つの不等式はコヒーレンス条件を強制するため、 の唯一の入力は からになります。したがって、は微分を表します。 ${\displaystyle 1\leq p\leq 1}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle 0\leq q\leq d-1}$${\displaystyle m_{d-p+1}=m_{1}}$${\displaystyle m_{1}(a_{1})}$${\displaystyle m_{1}}$

のコヒーレンス条件を解くと次数写像が得られる。その合計には不等式がある。 ${\displaystyle d=2}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}1\leq p\leq 2\\0\leq q\leq 2-p\end{matrix}}}$

となる。コヒーレンス和を解くと、次の関係が得られる。 ${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle (1,0),(1,1),(2,0)}$

${\displaystyle m_{2}(a_{2},m_{1}(a_{1}))+(-1)^{\deg(a_{1})-1}m_{2}(m_{1}(a_{2}),a_{1})+m_{1}(m_{2}(a_{1},a_{2}))=0}$、

これを書き直すと

${\displaystyle (-1)^{\deg a}m_{1}(a)=d(a)}$そして${\displaystyle (-1)^{\deg a_{1}}m_{2}(a_{2},a_{1})=a_{2}\cdot a_{1}}$

微分と乗算のように、

${\displaystyle d(a_{2}\cdot a_{1})=(-1)^{\deg(a_{1})}d(a_{2})\cdot a_{1}+a_{2}\cdot d(a_{1})}$、

これは微分次数代数に対するライプニッツの規則です。

この次数で結合性構造が明らかになる。 のとき、微分次数代数構造が存在することに注意する。これは、コヒーレンス条件を展開し、適切な係数 を掛けると明らかになる。コヒーレンス条件は次のようになる。 ${\displaystyle m_{3}=0}$${\displaystyle (-1)^{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{2}(m_{2}(a\otimes b)\otimes c)-m_{2}(a\otimes m_{2}(b\otimes c))=&\pm m_{3}(m_{1}(a)\otimes b\otimes c)\\&\pm m_{3}(a\otimes m_{1}(b)\otimes c)\\&\pm m_{3}(a\otimes b\otimes m_{1}(c))\\&\pm m_{1}(m_{3}(a\otimes b\otimes c)).\end{aligned}}}$

式の左辺は、 が結合性代数であることの失敗であることに注目してください。は微分なので、最初の 3 つのマップの入力の 1 つは共境界です。したがって、コホモロジー代数では、 なのでこれらの要素はすべて消えます。これには、共境界でもある最後の項も含まれ、コホモロジー代数では 0 要素になります。これらの関係から、マップは の結合性に関する失敗、つまりホモトピーに関してのみ結合性がある、 と解釈できます。${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{3}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle (H^{*}(A^{\bullet },m_{1}),[m_{2}])}$${\displaystyle m_{1}(a)=m_{1}(b)=m_{1}(c)=0}$${\displaystyle m_{1}(m_{3}(a\otimes b\otimes c))}$${\displaystyle m_{3}}$${\displaystyle m_{2}}$

さらに、 の高次の項、すなわち については、コヒーレント条件は、連続する の文字列を に結合し、その項を要素 の残りの とともにに挿入することで、多くの異なる項を生成します。項を結合すると、 の右側の項と同様に解釈されるコヒーレンス条件の部分があり、つまり、項があります。 ${\displaystyle d\geq 4}$${\displaystyle a_{p+i},\ldots ,a_{p+1}}$${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle m_{d-p+1}}$${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle a_{d},\ldots ,a_{1}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle d=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\pm m_{d}(a_{d},\ldots ,a_{2},m_{1}(a_{1}))\\&\pm \cdots \\&\pm m_{d}(m_{1}(a_{d}),a_{d-1},\ldots ,a_{1})\\&\pm m_{1}(m_{d}(a_{d},\ldots ,a_{1})).\end{aligned}}}$

次数的には、他の項は次のように書き表される。 ${\displaystyle d=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\pm m_{3}(m_{2}(a_{4},a_{3}),a_{2},a_{1})\\&\pm m_{3}(a_{4},m_{2}(a_{3},a_{2}),a_{1})\\&\pm m_{3}(a_{4},a_{3},m_{2}(a_{2},a_{1}))\\&\pm m_{2}(m_{3}(a_{4},a_{3},a_{2}),a_{1})\\&\pm m_{2}(a_{4},m_{3}(a_{3},a_{2},a_{1})),\end{aligned}}}$

との像の要素がどのように相互作用するかを示します。これは、 の像にある要素からホモトピー入力となる要素の乗算を引いたものも含め、要素のホモトピーが境界によって異なることを意味します。より高次の の場合、これらの中間の項は、中間のマップが別の高次のホモトピー マップの像から来る項に対して どのように動作するかを見ることができます。${\displaystyle m_{3}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle d>4}$${\displaystyle m_{2},\ldots ,m_{d-1}}$

^{Algebra+Homotopy=Operad [4]}には、この高次のホモトピーを視覚的に考える方法を説明した、代数の優れた図式的形式があります。この直感は上記の代数的議論にカプセル化されていますが、視覚化することも有用です。

すべての結合代数は、に対しておよびを定義することにより、-無限大構造を持ちます。したがって、-代数は結合代数を一般化します。 ${\displaystyle (A,\cdot )}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle m_{2}(a,b)=a\cdot b}$${\displaystyle m_{i}=0}$${\displaystyle i\neq 2}$${\displaystyle A_{\infty }}$

すべての微分次数代数は、-代数^[1]として標準構造を持ち、ここでおよび は乗法写像である。他のすべての高次の写像は に等しい。極小モデルの構造定理を用いると、次数付きコホモロジー代数には、元の微分次数代数の準同型構造を保存する標準 -構造が存在する。このような dga の一般的な例の 1 つは、正則なシーケンスから生じるKoszul 代数である。これは、ホモトピー カテゴリの同値性への道を開くため、重要な結果である。${\displaystyle (A^{\bullet },d)}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle m_{1}=d}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle HA^{\bullet }}$

${\displaystyle {\text{Ho}}({\text{dga}})\simeq {\text{Ho}}(A_{\infty }{\text{-alg}})}$

微分次数代数と- 代数の。 ${\displaystyle A_{\infty }}$

-代数の動機となる例の1つは、H-空間の研究から来ています。位相空間がH-空間であるときはいつでも、それに関連する特異鎖複体は、H-空間としての構造から標準的な-代数構造を持ちます。^[3]${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{*}(X)}$${\displaystyle A_{\infty }}$

が次数ベクトルで張られ、が次数ベクトルで張られる特性体上の次数代数を考える。^{[5] [6]}この単純な例でも、あらゆる可能な次数で微分を与える非自明な -構造が存在する。これは、に階数の次数ベクトル空間を与える次数ベクトルが存在するという事実に部分的に起因している。微分を次のように 定義する。${\displaystyle V^{\bullet }=V_{0}\oplus V_{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle v_{1},v_{2}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle w}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (V^{\bullet })^{\otimes k}}$${\displaystyle m_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(v_{0})=w\\m_{1}(v_{1})=w,\end{aligned}}}$

そして${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes k}\otimes v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)-k})&=(-1)^{k}s_{d}v_{1}&0\leq k\leq d-2\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)}\otimes v_{2})&=s_{d+1}v_{1}\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-1)})&=s_{d+1}w,\end{aligned}}}$

ここで、上に挙げていない任意の写像上では、となる。次数 なので、乗法写像では、となり 、上記の関係式 では、となる。${\displaystyle m_{n}=0}$${\displaystyle s_{n}=(-1)^{(n-1)(n-2)/2}}$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{2}(v_{1},v_{1})&=-v_{1}\\m_{2}(v_{1},v_{2})&=v_{1}\\m_{2}(v_{1},w)&=w.\end{aligned}}}$${\displaystyle d=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{3}(v_{1},v_{1},w)&=v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{1})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{2})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,w)&=-w.\end{aligned}}}$

これらの方程式を結合性の破れと関連付けると、非ゼロ項が存在します。たとえば、 のコヒーレンス条件は、結合性がまったく成り立たない非自明な例を与えます。コホモロジー代数では、は微分 によって消去されるため、次数項のみが存在することに注意してください。 ${\displaystyle v_{1},v_{2},w}$${\displaystyle H^{*}(V^{\bullet },[m_{2}])}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle v_{1},v_{2}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle m_{1}}$

-代数の重要な性質の一つは、正しい仮定のもとでその構造を他の代数的対象に転用できることである。この性質の初期の表現は次の通りである。-代数と複体のホモトピー同値性 が与えられたとき、${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle A^{\bullet }}$

${\displaystyle f\colon B^{\bullet }\to A^{\bullet }}$、

と上の異なる仮定に基づくこのタイプの定理は複数存在し、そのいくつかは、 上の構造のホモトピーまでの一意性や写像 上の厳密性など、より強力な結果をもたらす。[ 7 ^]${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle B^{\bullet }}$${\displaystyle A^{\bullet }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle B^{\bullet }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B^{\bullet }}$${\displaystyle f}$

-代数の重要な構造定理の1つは、極小モデルの存在と一意性である。極小モデルは、微分写像がゼロである -代数として定義される。 -代数のコホモロジー代数を微分からとると、次数付き代数として、 ${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle m_{1}=0}$${\displaystyle HA^{\bullet }}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle A^{\bullet }}$${\displaystyle m_{1}}$

${\displaystyle HA^{\bullet }={\frac {{\text{ker}}(m_{1})}{m_{1}(A^{\bullet })}}}$、

乗算写像 を持つ。この次数付き代数は、標準的に -構造を備えることができることが分かる。 ${\displaystyle [m_{2}]}$${\displaystyle A_{\infty }}$

${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )}$、

これは -代数の準同型を除いて一意である。^[8]実際、この主張はさらに強力である。つまり、 -代数の標準的-射 が存在する。${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle A_{\infty }}$

${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )\to A^{\bullet }}$、

これは の恒等写像を持ち上げます。これらの高次の積はMassey 積によって与えられることに注意してください。 ${\displaystyle A^{\bullet }}$

この定理は、もともと環のホモトピー理論を研究するために導入されたため、微分次数代数の研究にとって非常に重要です。コホモロジー演算はホモトピー情報を殺し、すべての微分次数代数がそのコホモロジー代数に準同型であるわけではないので、この演算を行うことで情報が失われます。しかし、極小モデルを使用すると、微分を忘れたまま準同型類を回復できます。Maxim KontsevichとYan SoibelmanによるA∞カテゴリに対する類似の結果があり、微分次数層のチェフ双複体の全複体によって与えられる特性と射の体上の非特異多様体上の連接層のコチェーン複体からなるdgカテゴリのコホモロジーカテゴリ上のA∞カテゴリ構造を与えています^{[1] pg 586-593}。この場合、カテゴリ内の次数射はによって与えられます。 ${\displaystyle H^{*}(D_{\infty }^{b}(X))}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathcal {Hom}}^{\bullet }({\mathcal {F}}^{\bullet },{\mathcal {G}}^{\bullet })}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H^{*}(D_{\infty }^{b}(X))}$${\displaystyle {\text{Ext}}({\mathcal {F}}^{\bullet },{\mathcal {G}}^{\bullet })}$

この定理にはいくつかの応用があります。特に、ド・ラーム代数 やホックシルト・コホモロジー代数などの dg 代数が与えられた場合、それらには -構造を備えることができます。 ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(X),d,\wedge )}$${\displaystyle A_{\infty }}$

微分次数代数が与えられた場合、その-代数としての最小モデルはマッシー積を用いて構築される。つまり、 ${\displaystyle (A^{\bullet },d)}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{3}(x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\m_{4}(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\&\cdots &\end{aligned}}}$

上の任意の -代数構造はこの構成と密接に関係していることがわかる。上の別の -構造と写像を考えると、関係式^{[9]が存在する。}${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle HA^{\bullet }}$${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle HA^{\bullet }}$${\displaystyle m_{i}'}$

${\displaystyle m_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle +\Gamma }$、

どこ

${\displaystyle \Gamma \in \sum _{j=1}^{n-1}{\text{Im}}(m_{j})}$。

したがって、コホモロジー代数上のそのようなすべての-enrichment は互いに関連しています。 ${\displaystyle A_{\infty }}$

もう一つの構造定理は、外代数から代数を再構築するというものである。連結された次数代数が与えられたとき

${\displaystyle A=k_{A}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }$、

それは正準的に結合代数である。そのExt代数と呼ばれる結合代数は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})}$、

ここで、乗算は米田積によって与えられます。すると、との間には -準同型が存在します。この同一視は、すべての導来カテゴリがアフィン 導来であることを示す方法を与えるため重要です。つまり、それらは何らかの代数の導来カテゴリと同型です。 ${\displaystyle A_{\infty }}$${\displaystyle (A,0,m_{2},0,\ldots )}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})}$

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