CCR 代数と CAR 代数

数学と物理学 において、CCR代数（正準交換関係に倣って）とCAR代数（正準反交換関係に倣って）は、それぞれボソンとフェルミオンの量子力学的研究から生まれ、量子統計力学^[1]と量子場の理論で重要な役割を果たしている。

を、特異でない実反対称双線型形式（すなわち、シンプレクティックベクトル空間）を備えた実ベクトル空間とする。の元によって生成される単位*-代数は、関係 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

の任意の に対して、正準交換関係 (CCR) 代数と呼ばれる。が有限次元の場合のこの代数の表現の一意性は、ストーン–フォン・ノイマンの定理で議論されている。 ${\displaystyle f,~g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

が代わりに特異でない実対称双線型形式を備えている場合、関係式に従う の要素によって生成される単位*-代数は、${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg+gf=(f,g),\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

の任意の に対しては、正準反交換関係 (CAR) 代数と呼ばれます。 ${\displaystyle f,~g}$${\displaystyle V}$

CCR代数には、CCR C*代数と呼ばれる、異なるが密接に関連した意味がある。を非特異シンプレクティック形式 を持つ実シンプレクティックベクトル空間とする。作用素代数の理論では、 上のCCR代数は、 を条件とする 要素によって生成される単位C*代数である。${\displaystyle H}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \{W(f):~f\in H\}}$

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f).\,}$

これらは、正準交換関係のワイル形式と呼ばれ、特に、それぞれがユニタリであり、であることを意味します。CCR代数は、（シンプレティック形式が退化していない限り）単純な非可分代数であり、同型性を除いて一意であることはよく知られています。^[2]${\displaystyle W(f)}$${\displaystyle W(0)=1}$

が複素ヒルベルト空間で、が内積の虚数部で与えられるとき、CCR代数は対称フォック空間上で次のよう に忠実に表現される。${\displaystyle H}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),}$

任意の に対して となる。 それぞれの に対して、 の場の作用素は、対称フォック空間上の1パラメータユニタリ群の生成子として定義される。 これらは自己随伴非有界作用素であるが、形式的には ${\displaystyle f,g\in H}$${\displaystyle B(f)}$${\displaystyle f\in H}$${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\operatorname {Im} \langle f,g\rangle .}$

割り当ては実線型なので、演算子はセクション 1 の意味で CCR 代数を定義します。${\displaystyle f\mapsto B(f)}$${\displaystyle B(f)}$${\displaystyle (H,2\operatorname {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

をヒルベルト空間とする。作用素環論においてCAR環は、関係 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}}$

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}$

任意の に対して、となる。が可分な場合、CAR代数はAF代数となり、 が無限次元となる特別な場合にはと表記されることが多い。^[3]${\displaystyle f,g\in H}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}$

を 上の反対称フォック空間とし、を反対称ベクトルへの直交射影とします。 ${\displaystyle F_{a}(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P_{a}}$

${\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,}$

CAR代数は、次のように設定することで 忠実に表現される。${\displaystyle F_{a}(H)}$

${\displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,}$

すべてのおよび に対して成り立つ 。これらがC*-代数を形成するのは、反対称フォック空間上の生成および消滅作用素が真に有界な作用素 であるという事実による。さらに、体作用素は${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$

${\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,}$

第1条との関係を示す。

を、特異でない反対称双線型超形式（すなわち）を備えた実数次数ベクトル空間とし、またはのいずれかが偶数元であれば は実数、両方が奇数元であれば は虚数となるものとする。 の元によって生成される単位*-代数は、関係 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle (g,f)=-(-1)^{|f||g|}(f,g)}$${\displaystyle (f,g)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg-(-1)^{|f||g|}gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,~g^{*}=g\,}$

内の任意の 2 つの純粋元に対しては、 CCR と CAR を統合する明らかな超代数の一般化が成り立ちます。つまり、すべての純粋元が偶数の場合は CCR が得られ、すべての純粋元が奇数の場合は CAR が得られます。 ${\displaystyle f,~g}$${\displaystyle V}$

数学では、複素数だけでなく任意の体上の CCR 代数と CAR 代数の抽象構造は、ワイル代数とクリフォード代数という名前で研究されており、多くの重要な結果が得られています。その 1 つは、ワイル代数とクリフォード代数の次数付き一般化により、シンプレクティックおよび対称非退化双線型形式に関して、標準的な交換関係と反交換関係の基底フリー定式化が可能になることです。さらに、この次数付きワイル代数のバイナリ要素は、シンプレクティックおよび不定直交リー代数の交換関係の基底フリーバージョンを提供します。^[4]

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