エクセカント

外割関数（略称exsecant、記号はexsec）は、割関数に基づいて定義される三角関数です。

$${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta =\sec \theta -1={\frac {1}{\cos \theta }}-1.}$$

これは1855年にアメリカの土木技師チャールズ・ハスレットによって導入され、彼はこれを既存の正弦関数と組み合わせて、鉄道の円形断面の設計と測定に使用しました。^[3]これは米国の測量士と土木技師によって鉄道と道路の設計に採用され、20世紀初頭以来、アメリカの三角法の教科書や汎用工学マニュアルで簡単に言及されることがありました。^[4]完全性を期すために、いくつかの本では、余角の正割線である共割線または余割線関数（ coexsecまたはexcscと表記）も定義しましたが、^{[5] [6]}実際には使用されませんでした。正割線は時折他の用途に使用されていますが、今日ではあまり知られておらず、主に歴史的な関心の対象となっています。^[7]${\displaystyle \operatorname {vers} \theta =1-\cos \theta ,}$${\displaystyle \operatorname {coexsec} \theta ={}}$${\displaystyle \csc \theta -1,}$

線分として、円の外割線は円周上に 1 つの端点を持ち、そこから外側に放射状に伸びます。この線分の長さは、円の半径に、線分の内側の端点と外側の端点を通り円に 接する線の接点との間の中心角の三角関数の割線を掛け合わせたものです。

セカントという言葉はラテン語で「切る」という意味から来ており、一般的なセカント線は円を「切る」もので、円と2回交差します。この概念は古代に遡り、ユークリッドの『原論』第3巻に交差セカント定理などで使用されています。18世紀のラテン語の文献では、円周上に端点を持つ円の外部の非接線部分をセカンス外部と呼んでいました。^[8]

三角関数の割線は、トーマス・フィンケ（1583）によって名付けられ、より具体的には、一方の端点が円の中心にあり、もう一方の端点が円の外側にある線分に基づいています。円は、この線分を半径と外割線に分割します。外割線分は、ガリレオ・ガリレイ（1632）によって割線という名前で使用されました。^[9]

19 世紀、ほとんどの鉄道線路は、単純曲線と呼ばれる円弧で構築されていました。^{[10]鉄道で働く}測量士や土木技師は、円形の線路部分を測定および計画するために、多くの反復的な三角法計算を行う必要がありました。測量、およびより一般的には実用幾何学では、特定の計算に応じて、「自然な」三角関数とその常用対数の両方の表が使用されました。対数を使用すると、多桁の数の高価な乗算がより安価な加算に変換され、三角関数表の対数バージョンは、必要な表参照の数を減らすことでさらに労力を節約しました。^[11]

曲線軌道セクションの外部セカントまたは外部距離は、軌道と円弧の両端からの接線の交点との間の最短距離であり、これは、円弧によって囲まれる中心角の半分の三角関数のエクセカントの半径積に等しくなります。 ^[12]比較すると、曲線軌道セクションのバースサインは、長弦（端点間の線分）から軌道までの最長距離です^[13]（Sagittaを参照）これは、半径と中心角の半分の三角関数のバースサイン積に等しくなります。これらは両方とも、円弧を測量するときに測定または計算する自然な量であり、後で他の量で乗算または除算する必要があります。Charles Haslett（1855）は、エクセカントとバースサインの対数を直接調べると、以前に利用可能だった三角表にある値から同じ量を計算する場合と比較して、労力が大幅に節約され、より正確な結果が得られることを発見しました。^[3]同じアイデアは、Searles（1880）などの他の著者によっても採用されました。^[14] 1913年までにハスレットのアプローチはアメリカの鉄道業界で広く採用され、その文脈では「外割線と正弦の表は割線表よりも一般的でした」。^[15]${\displaystyle R\operatorname {exsec} {\tfrac {1}{2}}\Delta .}$${\displaystyle R\operatorname {vers} {\tfrac {1}{2}}\Delta .}$

19世紀後半から20世紀にかけて、鉄道はオイラー螺旋の弧を、異なる曲率の直線または円形区間の間の線路遷移曲線として使い始めました。これらの螺旋曲線は、エクセカントとバーサインを使って近似的に計算することができます。^{[15] [16]}

運河^[17]や道路の円形断面を測量する際にも同じタイプの問題を解く必要があり、20世紀半ばの道路測量に関する書籍では依然としてエクセカントが使用されていました。^[18]

エクセカントはビーム理論^[19]やワイヤーによる深度測定^{[20]などの他の用途にも使用されることがある。}

近年、計算機やコンピュータの普及により、このような特殊な関数の三角関数表は不要になりました。^{[21]エクセカントは一般に計算機やコンピューティング環境に直接組み込まれていません（ただし、}ソフトウェアライブラリに含まれていることもあります）^[22] 。また、計算全般は以前よりもはるかに安価になり、面倒な手作業は不要になりました。

式(正弦) と(正割)を単純に評価すると、2 つのほぼ等しい量の差を計算すると壊滅的な相殺が発生する小さな角度に対して問題が生じます。各量のほとんどの桁が同じであるため、減算で相殺され、精度の低い結果が生成されます。 ${\displaystyle 1-\cos \theta }$${\displaystyle \sec \theta -1}$${\displaystyle \sec \theta \approx \cos \theta \approx 1.}$

たとえば、1°の正割はsec 1° ≈1.000 152、先頭の数桁はゼロで無駄になっているが、 1°の正割の常用対数はlog exsec 1° ≈−3.817 220 ^[23]の数字はすべて意味を持つ。六角表で正割線を調べ、そこから1を引くこと、その差はsec 1° − 1 ≈0.000 152には有効数字が3桁しかなく、対数を計算すると3桁だけが正しいので、 log(sec 1° − 1) ≈  ​−3.81 8 156。 ^[24]さらに小さな角度では精度の低下はさらに悪化します。

超正割関数の表やコンピュータ実装が利用できない場合、超正割は次のように正確に計算できます。または、正弦を使用して計算できます。正弦自体は次のように計算できます。ハスレットはこれらの恒等式を使用して、1855 年の超正割表と正弦表を計算しました。^{[25] [26]}${\textstyle \operatorname {exsec} \theta =\tan \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta {\vphantom {\Big |}},}$${\textstyle \operatorname {exsec} \theta =\operatorname {vers} \theta \,\sec \theta ,}$${\textstyle \operatorname {vers} \theta =2{\bigl (}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}{\vphantom {\Big |}}={}}$${\displaystyle \sin \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta \,{\vphantom {\Big |}}}$

十分に小さい角度の場合、円弧はほぼ放物線のような形になり、正弦と正割線はほぼ等しく、どちらも弧の長さの2乗に比例します。^[27]

逆三角関数の逆関数はarcexsecと表記されることもあるが[ 6 ] ^、その引数またはが他の逆三角関数（角度に ラジアンを使用）で表現できる場合は明確に定義されている。${\displaystyle y\geq 0}$${\displaystyle y\leq -2}$

$${\displaystyle \operatorname {arcexsec} y=\operatorname {arcsec}(y+1)={\begin{cases}{\arctan }{\bigl (}\!{\textstyle {\sqrt {y^{2}+2y}}}\,{\bigr )}&{\text{if}}\ \ y\geq 0,\\[6mu]{\text{undefined}}&{\text{if}}\ \ {-2}}y<0,\\[4mu]\pi -{\arctan }{\bigl (}\!{\textstyle {\sqrt {y^{2}+2y}}}\,{\bigr )}&{\text{if}}\ \ y\leq {-2};\\\end{cases}}_{\vphantom {.}}}$$

逆正接表現は小さな角度に対しては適切に動作する。^[28]

超正割の歴史的使用は微積分に明示的に関係するものではなかったが、その微分と不定積分（xはラジアン）は次の通りである。^[29]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {exsec} x&=\tan x\,\sec x,\\[10mu]\int \operatorname {exsec} x\,\mathrm {d} x&=\ln {\bigl |}\sec x+\tan x{\bigr |}-x+C,{\vphantom {\int _{|}}}\end{aligned}}}$$

ここで、ln は自然対数です。正割関数の積分も参照してください。

角度の2倍の正割は次のようになる: ^[6]

$${\displaystyle \operatorname {exsec} 2\theta ={\frac {2\sin ^{2}\theta }{1-2\sin ^{2}\theta }}.}$$

• 弦（幾何学） - 円周上に端点を持つ線分。歴史的には三角法で使用されていた。
• 指数マイナス1 – この関数は小さな入力の精度を向上させるためにも使用されます${\displaystyle x\mapsto e^{x}-1,}$