信号処理で使用される数学関数
ハン関数（左）とその周波数応答（右） ハン 関数はオーストリアの気象学者 ユリウス・フォン・ハン にちなんで名付けられました 。これは ハンスムージング を実行するために使用される ウィンドウ関数 です。 [1] 長さと振幅を 持つ関数は 次のように与えられます 。
ら
{\displaystyle L}
1
/
ら 、
{\displaystyle 1/L,}
わ
0
（ x ） ≜
{
1 ら
（
1 2
+
1 2
コス
（
2 π x
ら
）
）
=
1 ら
コス
2
（
π x
ら
）
、
| x |
≤ ら
/
2
0 、
| x |
> ら
/
2
}
。
{\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}}.}
[あ] デジタル信号処理 の場合 、関数は対称的に（間隔 と振幅で ）サンプリングされます 。
ら
/
いいえ
{\displaystyle L/N}
1
{\displaystyle 1}
わ [ ん ] = ら ⋅
わ
0
（
ら いいえ
（ ん − いいえ
/
2 ）
）
=
1 2
[
1 − コス
（
2 π ん
いいえ
）
]
=
罪
2
（
π ん
いいえ
）
}
、 0 ≤ ん ≤ いいえ 、
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(nN/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\}},\quad 0\leq n\leq N,}
これはサンプルのシーケンスであり 、 偶数または奇数になります。（ § ハンウィンドウとハミングウィンドウを参照）これは、 レイズドコサインウィンドウ 、 ハンフィルタ 、 フォンハンウィンドウ など とも呼ばれます。 [2] [3]
いいえ + 1
{\displaystyle N+1}
いいえ
{\displaystyle N}
上: 16 サンプルの DFT 偶数 Hann ウィンドウ。下: 離散時間フーリエ変換 (DTFT) と離散フーリエ変換 (DFT) の 3 つのゼロ以外の値。 の フーリエ 変換 は次のように表されます。
わ
0
（ x ）
{\displaystyle w_{0}(x)}
わ
0
（ ふ ） =
1 2
シンク （ ら ふ ）
（ 1 −
ら
2
ふ
2
）
=
罪 （ π ら ふ ）
2 π ら ふ （ 1 −
ら
2
ふ
2
）
{\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}}
[b] 導出 オイラーの公式 を使って 余弦項を展開すると、 次のように書けます 。
わ
0
（ x ） 、
{\displaystyle w_{0}(x),}
わ
0
（ x ） =
1 ら
（
1 2
長方形 （ x
/
ら ） +
1 4
e
私 2 π x
/
ら
長方形 （ x
/
ら ） +
1 4
e
− 私 2 π x
/
ら
長方形 （ x
/
ら ）
）
、
{\displaystyle w_{0}(x)={\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{-i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)\right),}
これは変調された長方形ウィンドウ の線形結合です 。
1 ら
長方形 （ x
/
ら ）
⟷
フーリエ変換
シンク （ ら ふ ） ≜
罪 （ π ら ふ ）
π ら ふ
。
{\displaystyle {\tfrac {1}{L}}\operatorname {rect} (x/L)\quad {\stackrel {\text{フーリエ変換}}{\longleftrightarrow }}\quad \operatorname {sinc} (Lf)\triangleq {\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}.}
各項を変換します :
わ
0
（ ふ ）
=
1 2
シンク （ ら ふ ） +
1 4
シンク （ ら （ ふ − 1
/
ら ） ） +
1 4
シンク （ ら （ ふ + 1
/
ら ） ）
=
1 2
罪 （ π ら ふ ）
π ら ふ
+
1 4
罪 （ π （ ら ふ − 1 ） ）
π （ ら ふ − 1 ）
+
1 4
罪 （ π （ ら ふ + 1 ） ）
π （ ら ふ + 1 ）
=
1
2 π
（
罪 （ π ら ふ ）
ら ふ
−
1 2
罪 （ π ら ふ ）
ら ふ − 1
−
1 2
罪 （ π ら ふ ）
ら ふ + 1
）
=
罪 （ π ら ふ ）
2 π
（
1
ら ふ
+
1 2
1
1 − ら ふ
−
1 2
1
1 + ら ふ
）
=
罪 （ π ら ふ ）
2 π
⋅
1
ら ふ （ 1 − ら ふ ） （ 1 + ら ふ ）
=
1 2
シンク （ ら ふ ）
（ 1 −
ら
2
ふ
2
）
。
{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(f)&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {sinc} (Lf)+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f-1/L))+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f+1/L))\\&={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf-1))}{\pi (Lf-1)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf+1))}{\pi (Lf+1)}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf-1}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf+1}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\left({\frac {1}{Lf}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1-Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1+Lf}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{Lf(1-Lf)(1+Lf)}}={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}.\end{aligned}}}
長さ、時間シフトされたシーケンスの離散 時間フーリエ変換 (DTFT) は 、フーリエ級数によって定義されます。これは、フーリエ変換の導出と同様に導出される 3 項の同等物も持っています 。
N
+
1
{\displaystyle N+1}
F
{
w
[
n
]
}
≜
∑
n
=
0
N
w
[
n
]
⋅
e
−
i
2
π
f
n
=
e
−
i
π
f
N
[
1
2
sin
(
π
(
N
+
1
)
f
)
sin
(
π
f
)
+
1
4
sin
(
π
(
N
+
1
)
(
f
−
1
N
)
)
sin
(
π
(
f
−
1
N
)
)
+
1
4
sin
(
π
(
N
+
1
)
(
f
+
1
N
)
)
sin
(
π
(
f
+
1
N
)
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}
切り捨てられたシーケンスは、 DFT 偶数 ( 周期的 ) ハン ウィンドウです 。切り捨てられたサンプルの値はゼロなので、フーリエ級数の定義から DTFT が同等であることは明らかです。ただし、上記のアプローチでは、見た目は大きく異なりますが、同等の 3 項式 が得られます 。
{
w
[
n
]
,
0
≤
n
≤
N
−
1
}
{\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}
F
{
w
[
n
]
}
=
e
−
i
π
f
(
N
−
1
)
[
1
2
sin
(
π
N
f
)
sin
(
π
f
)
+
1
4
e
−
i
π
/
N
sin
(
π
N
(
f
−
1
N
)
)
sin
(
π
(
f
−
1
N
)
)
+
1
4
e
i
π
/
N
sin
(
π
N
(
f
+
1
N
)
)
sin
(
π
(
f
+
1
N
)
)
]
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}
ウィンドウ関数の N 長さ DFT は、整数値の周波数で DTFT をサンプリングします。 上記 の 式 から、N DFT 係数のうち 3 つだけがゼロでないことが簡単にわかります。また、もう 1 つの式から、すべてが実数値であることがわかります。これらの特性は、ウィンドウ付き変換とウィンドウなし (矩形ウィンドウ) 変換の両方を必要とするリアルタイム アプリケーションにとって魅力的です。なぜなら、ウィンドウ付き変換は、 畳み込み によってウィンドウなし変換から効率的に導出できるからです。 [4] [c] [d]
f
=
k
/
N
,
{\displaystyle f=k/N,}
k
.
{\displaystyle k.}
名前 この関数は、気象データに3項加重平均平滑化手法を使用したフォン・ハンにちなんで名付けられました。 [5] [2]しかし、 ハニング 関数 という用語も慣例的に使用されています。 [6]これは、 信号をハニングする という用語が、信号にハンウィンドウを適用することを意味するために使用された 論文に由来しています。 [7] [8]この混乱は、 リチャード・ハミング にちなんで名付けられた 同様の ハミング関数 から生じました。
参照
ページ引用
^ ナットル 1981、p 84 (3) ^ ナットル 1981、p 86 (17) ^ ナットル 1981、p 85 ^ ハリス 1978、p 62
参考文献
^ Essenwanger, OM (Oskar M.) (1986). 統計分析の要素 . Elsevier. ISBN
0444424261 . OCLC 152410575.
^ ab Kahlig, Peter (1993)、「現代気候学への Julius von Hann の貢献のいくつかの側面」、McBean、GA; Hantel, M. (eds.)、「 地球気候サブシステム間の相互作用: Hann の遺産」 、地球物理学モノグラフシリーズ、第 75 巻、アメリカ地球物理学連合、pp. 1–7、 doi :10.1029/gm075p0001、 ISBN
9780875904665 、 2019-07-01 取得 、 Hann は、現在「ハニング」または「Hann スムージング」と呼ばれている特定のデータ スムージング手順を発明したようです。基本的に、これは不均等な重み (1/4、1/2、1/4) を持つ 3 項移動平均 (実行平均) です。
^ Smith, Julius O. (Julius Orion) (2011). スペクトルオーディオ信号処理。スタンフォード大学。音楽と音響のコンピューター研究センター。スタンフォード大学。音楽学部。[スタンフォード、カリフォルニア州?]: W3K。ISBN
9780974560731 . OCLC 776892709.
^ 米国特許 6898235、Carlin,Joe、Collins,Terry、Hays,Peter 他、「ハイパーチャネライゼーションを使用した広帯域通信傍受および方向探知デバイス」、1999 年 12 月 10 日公開、2005 年 5 月 24 日発行 、https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf でも入手可能
^ von Hann, Julius (1903). Handbook of Climatology. Macmillan. p. 199. b の下の数字は、 両側に 5° 離れた緯線を考慮して決定されます。したがって、たとえば、緯度 60° の場合は ½[60 + (65 + 55)÷2] となります。
^ Harris, Fredric J. (1978 年 1 月)。「離散フーリエ変換による調和解析のための Windows の使用について」 (PDF) 。Proceedings of the IEEE。66 ( 1): 51–83。CiteSeerX 10.1.1.649.9880。doi : 10.1109 /PROC.1978.10837。このウィンドウの正しい名前 は「Hann」です。このレポートでは 、 慣例的な使用法を反映するために「Hanning」という用語を使用しています。派生語の「Hann'd」も広く使用されています。
^ Blackman, RB ; Tukey, JW (1958). 「通信工学の観点から見たパワースペクトルの測定 - パート I」. The Bell System Technical Journal . 37 (1): 273. doi :10.1002/j.1538-7305.1958.tb03874.x. ISSN 0005-8580.
^ Blackman, RB (Ralph Beebe) ; Tukey, John W. (John Wilder) (1959). 通信工学の観点から見たパワースペクトルの測定。ニューヨーク: Dover Publications。pp. 98。LCCN 59-10185 。
Nuttall, Albert H. (1981 年 2 月)。「サイドローブ動作が非常に良好なウィンドウ」 IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing 29 ( 1): 84–91. doi :10.1109/TASSP.1981.1163506。
外部リンク 
.svg/500px-Window_function_and_its_Fourier_transform_%E2%80%93_Hann_(n_=_0...N).svg.png){kind=spacer}
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(nN/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\}},\quad 0\leq n\leq N,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b723018aa0923be6327c07fed4753f1ed7d033)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2 \pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin (\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\ pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac) {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac) {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833f432fd5ae9ae88eb7ef4247952f92c7aef4ae)
![{\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1c0e1f3c303a9cac460a10ca4b6e00339befb1)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac { \sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N( f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}} \右]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366f2cccda229534d868deeaa79031fef7368df7)
