条件付き独立性

確率論において、条件付き独立とは、仮説の確実性を評価する際に、ある観測が無関係または冗長である状況を指します。これは条件付き依存性の反対です。条件付き独立は通常、条件付き確率の観点から定式化され、情報を持たない観測が与えられた場合の仮説の確率が、観測がない場合の確率と等しいという特殊なケースとして扱われます。${\displaystyle A}$仮説は、${\displaystyle B}$そして${\displaystyle C}$観察結果から、条件付き独立性は等式として表すことができる。

${\displaystyle P(A\mid B,C)=P(A\mid C)}$

どこ${\displaystyle P(A\mid B,C)}$確率は${\displaystyle A}$両方を考慮すると${\displaystyle B}$そして${\displaystyle C}$確率は${\displaystyle A}$与えられた${\displaystyle C}$確率と同じ${\displaystyle A}$両方を考慮すると${\displaystyle B}$そして${\displaystyle C}$この等式は、${\displaystyle B}$確実性には何の貢献もしない${\displaystyle A}$。 この場合、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$条件付き独立であると言われる${\displaystyle C}$記号で表すと次のようになります。${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$。

条件付き独立性の概念は、グラフベースの統計的推論理論にとって不可欠であり、条件文の集合とグラフイドとの間の数学的な関係を確立する。

させて${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、 そして${\displaystyle C}$イベントである。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$条件付き独立であると言われる${\displaystyle C}$かつその場合に限り${\displaystyle P(C)>0}$そして${\displaystyle P(A\mid B,C)=P(A\mid C)}$この性質は対称であり（これについては後述）、しばしば次のように表記されます。${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$と読むべきである${\displaystyle ((A\perp \!\!\!\perp B)\vert C)}$。

同様に、条件付き独立性は次のように表現できます。${\displaystyle P(A,B|C)=P(A|C)P(B|C)}$どこ${\displaystyle P(A,B|C)}$の同時確率は${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$与えられた${\displaystyle C}$この別の表現では、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$独立事象である、${\displaystyle C}$。

それは、${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$と同等${\displaystyle (B\perp \!\!\!\perp A\mid C)}$。

2つの離散確率変数${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$第三の離散確率変数が与えられた場合、条件付きで独立である${\displaystyle Z}$条件付き確率分布が独立である場合に限る${\displaystyle Z}$つまり、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$条件付き独立である${\displaystyle Z}$任意の値が与えられた場合に限り、${\displaystyle Z}$確率分布${\displaystyle X}$すべての値に対して同じです${\displaystyle Y}$そして確率分布${\displaystyle Y}$すべての値に対して同じです${\displaystyle X}$正式には：

どこ${\displaystyle F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=\Pr(X\leq x,Y\leq y\mid Z=z)}$は、​${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$与えられた${\displaystyle Z}$。

2つのイベント${\displaystyle R}$そして${\displaystyle B}$σ代数が与えられた場合、条件付きで独立である${\displaystyle \Sigma }$もし

${\displaystyle \Pr(R,B\mid \Sigma )=\Pr(R\mid \Sigma )\Pr(B\mid \Sigma ){\text{ as}}}$

どこ${\displaystyle \Pr(A\mid \Sigma )}$は、事象の指示関数の条件付き期待値を表す。${\displaystyle A}$、$\displaystyle \chi _{A}}$シグマ代数が与えられた場合${\displaystyle \Sigma }$つまり、

${\displaystyle \Pr(A\mid \Sigma ):=\operatorname {E} [\chi _{A}\mid \Sigma ].}$

2つの確率変数${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$σ代数が与えられた場合、条件付き独立である${\displaystyle \Sigma }$上記の式がすべての場合に成り立つ場合${\displaystyle R}$で${\displaystyle \sigma (X)}$そして${\displaystyle B}$で${\displaystyle \sigma (Y)}$。

2つの確率変数${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$確率変数が与えられた場合、条件付き独立である${\displaystyle W}$σ ( W )が与えられた場合、それらが独立である場合、σ代数は次のように生成される。${\displaystyle W}$これは一般的に次のように表記されます。

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid W}$または

${\displaystyle X\perp Y\mid W}$

これは「${\displaystyle X}$独立している${\displaystyle Y}$与えられた${\displaystyle W}$";条件は文全体に適用されます: "(${\displaystyle X}$独立している${\displaystyle Y}$与えられた${\displaystyle W}$「。

${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$

この表記法は拡張する${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$のために "${\displaystyle X}$独立している${\displaystyle Y}$。

もし${\displaystyle W}$可算集合の値を仮定すると、これは次の形式の事象に対するXとYの条件付き独立性に相当します。${\displaystyle [W=w]}$2つ以上の事象、または2つ以上の確率変数の条件付き独立性も同様に定義される。

以下の2つの例は、${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$意味も意味もせず、また意味されない。${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$。

まず、${\displaystyle W}$確率0.5で0、それ以外の場合は1となる。W = 0の場合、  ${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それぞれが独立しており、確率0.99で値0を持ち、それ以外の場合は値1を持つ。${\displaystyle W=1}$、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$これらは再び独立していますが、今回は確率0.99で値1をとります。${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$。 しかし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$Pr( X  =  0) < Pr( X  =  0| Y  =  0 ) であるため、両者は従属関係にあります。これは、Pr( X  =  0) =  0.5 ですが、Y  = 0 の場合、 W = 0 である可能性が非常に高く、したがってX = 0 である可能性も高いため、Pr( X = 0| Y = 0) > 0.5 となるためです。          

2番目の例では、${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$それぞれが確率0.5で0と1の値を取るとする 。${\displaystyle W}$製品である${\displaystyle X\cdot Y}$その時${\displaystyle W=0}$Pr( X  =  0)  =  2/3 ですが、Pr( X  =  0| Y  =  0)  =  1/2 なので、${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$これは偽です。これも説明による否定の一例です。ケビン・マーフィーのチュートリアル^{[ 3 ]}を参照してください。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$「頭が良い」と「運動神経が良い」という価値観を取り上げます。

2つのランダムベクトル${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{l})^{\mathrm {T} }}$そして${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{m})^{\mathrm {T} }}$第三のランダムベクトルが与えられた場合、条件付きで独立である${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }}$条件付き累積分布が独立である場合に限る${\displaystyle \mathbf {Z} }$正式には：

どこ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{l})^{\mathrm {T} }}$、${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{m})^{\mathrm {T} }}$そして${\displaystyle \mathbf {z} =(z_{1},\ldots ,z_{n})^{\mathrm {T} }}$条件付き累積分布は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{l}\leq x_{l},Y_{1}\leq y_{1},\ldots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\\[6pt]F_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{l}\leq x_{l}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\\[6pt]F_{\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {y} )&=\Pr(Y_{1}\leq y_{1},\ldots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\end{aligned}}}$

pを、今後の国民投票で「賛成」票を投じる有権者の割合とする。世論調査では、母集団からn 人の有権者を無作為に選ぶ。i = 1, ..., nに対して、 X _i = 1 または 0は、それぞれi番目の選ばれた有権者が「賛成」票を投じるか投じないかに対応する。      

統計的推論の頻度論的アプローチでは、pに確率分布を割り当てることはありません(確率が何らかの事象の発生の相対頻度またはある母集団の割合として解釈できる場合を除く)。そして、 X ₁、 ...、X _nは独立した確率変数であると言います。

対照的に、統計的推論に対するベイズ的アプローチでは、そのような「頻度」解釈が存在しないかどうかにかかわらず、pに確率分布を割り当て、確率が割り当てられた任意の区間にpが存在するという確信の度合いとして確率を解釈します。このモデルでは、確率変数X ₁、...、X _{n は}独立ではありませんが、 pの値が与えられた場合、条件付きで独立です。特に、多数のXが 1 に等しいことが観測された場合、その観測が与えられた場合、pが 1 に近いという条件付き確率が高く、したがって、その観測が与えられた場合、次に観測されるXが 1 に等しいという条件付き確率も高くなります。  

条件付き独立性の記述を規定する一連の規則は、基本定義から導き出されている。^{[ 4 ] [ 5 ]}

これらの規則は、グラフにおいて成り立つため、パールとパズによって「グラフ公理」と呼ばれた^{[ 6 ]。}${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A\mid B}$これは、「 XからAへのすべての経路は集合Bによって遮断される」という意味に解釈される。^{[ 7 ]}

• グラフォイド
• 条件付き依存性
• デ・フィネッティの定理
• 条件付き期待値

• ウィキメディア・コモンズにある条件付き独立に関するメディア