合成画像フィルター

複合画像フィルタは、2 つ以上の異なるタイプの複数の画像フィルタ セクションで構成される 電子フィルタです。

フィルタ設計のイメージ法では、フィルタ セクションの特性を、同一セクションの無限チェーンでの特性を計算することによって決定します。この解析は、その基礎となる伝送線路理論と類似しています。この方法で設計されたフィルタは、イメージ パラメータ フィルタ、または単にイメージ フィルタと呼ばれます。イメージ フィルタの重要なパラメータは、イメージ インピーダンス、つまり同一セクションの無限チェーンのインピーダンスです。

基本セクションは、複数のセクションからなるラダー ネットワークに配置されます。必要なセクションの数は、主に、必要なストップバンド除去の量によって決まります。最も単純な形式では、フィルターは完全に同一のセクションで構成できます。ただし、特定のタイプによって最も適切に対処されるさまざまなパラメーターを改善するには、2 つまたは 3 つの異なるタイプのセクションからなる複合フィルターを使用する方が一般的です。最も頻繁に考慮されるパラメーターは、ストップバンド除去、フィルター スカート (遷移バンド) の急峻さ、およびフィルター終端に対するインピーダンス整合です。

画像フィルターは線形フィルターであり、実装において も常に受動的です。

フィルタを設計するイメージ法は、多数の電話チャネルを 1 本のケーブルに多重化して使用できるフィルタリングの開発に関心を持っていたAT&Tで生まれました。この研究に関わった研究者とその貢献を以下に簡単に示します。

• ジョン・カーソンは理論に数学的な基礎を与えた。彼は電話回線を多重化するために単側波帯変調を発明した。これらの信号を復元する必要があったため、高度なフィルタリング技術が必要になった。彼はまた、これらの信号を分析するために演算法（現在ではより正式な数学的形態のラプラス変換理論となっている）を使用する先駆者でもあった。 ^[1]
• ジョージ・キャンベルは1910年以降フィルタリングの研究に取り組み、定数kフィルタを発明した。^{[2]これは、}オリバー・ヘヴィサイドが発明した概念である伝送線路へのコイルの装荷に関する研究の延長と見ることができる。ちなみに、ヘヴィサイドはカーソンが使用した演算計算も発明した。^[3]
• オットー・ゾーベルはキャンベルのフィルタの理論的基礎（および名前）を提供しました。1920年に彼はm導出フィルタを発明しました。ゾーベルはまた、定数kとm導出セクションの両方を組み込んだ複合設計を発表しました。^[4]
• RSホイトも寄稿した。^{[5] [6]}

イメージ解析は、入力インピーダンスと出力インピーダンス（イメージインピーダンス）および同一セクションの無限連鎖におけるセクションの伝達関数の計算から始まります。これは、イメージインピーダンスで終端されたセクションのパフォーマンスと同等であることが示されます。 ^[7]したがって、イメージ法は、各フィルタセクションが正しいイメージインピーダンスで終端されていることを前提としています。これは、複数のセクションからなるフィルタの内部セクションでは簡単に実行できます。問題のセクションに面するセクションが同一のイメージインピーダンスを持つようにするだけでよいからです。ただし、端部セクションは問題です。これらは通常、固定抵抗で終端されますが、フィルタは特定の周波数以外では完全には一致しません。この不一致により、フィルタの終端およびセクション間の接合部で多重反射が発生します。これらの反射により、特にカットオフ周波数付近で、フィルタ応答が理論値から大幅にずれます。^[8]

複合フィルタを使用する主な理由の 1 つは、終端インピーダンスへのよりよいマッチングの要件です。良好なマッチングを実現するように設計されたセクションが終端で使用されますが、フィルタ本体には他の部分 (たとえば、ストップバンド除去またはパスバンドからストップバンドへの遷移) が設計されます。

各フィルタ セクション タイプには特定の利点と欠点があり、それぞれ特定のフィルタ パラメータを改善する機能があります。以下に説明するセクションは、ローパスセクションのプロトタイプ フィルタです。これらのプロトタイプは、目的の周波数帯域形式 (ローパス、ハイパス、バンドパス、またはバンドストップ) に合わせてスケーリングおよび変換できます。

イメージ フィルタの最小単位はL ハーフ セクションです。L セクションは対称ではないため、各サイドのイメージ インピーダンス ( ) が異なります。これらは、およびで示されます。接尾辞の T と Π は、2 つのハーフ セクションを背中合わせに接続した場合に形成されるフィルタ セクションの形状を示します。T と Π は、トポロジ チャート (以下) の図に示すように、構築できる最小の対称セクションです。問題のセクションのイメージ インピーダンスが一般的な場合と異なる場合は、セクションの種類を識別するための追加の接尾辞が追加されます。たとえば、${\displaystyle \;Z_{\mathsf {i}}\;}$${\displaystyle \;Z_{\mathsf {iT}}\;}$${\displaystyle \;Z_{\mathsf {i\Pi }}~.}$${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {iT}}\!\;m}~.}$

定数kまたはk型フィルタ セクションは、基本的なイメージ フィルタ セクションです。これは、最も単純な回路トポロジでもあります。k型は、通過帯域から阻止帯域への遷移が適度に速く、阻止帯域の除去が適度に優れています。

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  k型ローパスフィルタ半セクション
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  4つの（半分の）セクションを持つk型ローパス応答

m派生またはmタイプフィルタ セクションは、 kタイプ セクションの発展形です。 mタイプの最も顕著な特徴は、ストップバンド内のカットオフ周波数を少し過ぎたところにある減衰極です。パラメータm ( 0 < m < 1 )は、この減衰極の位置を調整します。mの値が小さいほど、極はカットオフ周波数に近づきます。mの値が大きいほど、極は遠ざかります。限界では、m が1 に近づくにつれて、極は無限大のωに近づき、セクションはkタイプ セクションに近づきます。

m型は特にカットオフが速く、カットオフ周波数で完全に通過し、極周波数で完全に停止します。極をカットオフ周波数に近づけると、カットオフを速くすることができます。このフィルタは、あらゆるフィルタ設計の中で最もカットオフが速いです。高速遷移は 1 つのセクションだけで実現され、複数のセクションは不要であることに注意してください。m 型セクションの欠点は、減衰極を過ぎるとストップバンドの除去が不十分になることです。

m =0.6 のm型フィルタには、特に有用な特性があります。これらは、通過帯域で最大限に平坦なイメージ インピーダンスを持ちます。したがって、少なくとも通過帯域ではフィルタ終端との整合に適していますが、阻止帯域は別の話です。 ${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {i}}\!\;m}\;}$

m型セクションには、直列とシャントの2 つのバリエーションがあります。これらは伝達関数は同じですが、イメージ インピーダンスが異なります。シャント ハーフ セクションのイメージ インピーダンスは、片側では一致しますが、もう片側では異なるインピーダンスになります。直列ハーフ セクションは、片側では一致しますが、もう片側では になります。 ${\displaystyle \;Z_{\mathsf {i\Pi }}\;}$${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {iT}}\!\;m}\;}$${\displaystyle \;Z_{\mathsf {iT}}\;}$${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {i\Pi }}\!\;m}\;}$

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  m型ローパスフィルタシャントハーフセクション
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  m型ローパス応答シングルハーフセクションm =0.5
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  4つの（半分の）セクションを持つm型ローパス応答m =0.5
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  m型ローパスフィルタシリーズハーフセクション
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  m型ローパス応答シングルハーフセクションm =0.75
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  m型ローパス応答シングルハーフセクションm =0.25

mm ′型セクションには、設計者が調整できる2 つの独立したパラメータ ( mとm ′ ) があります。これは、 m導出プロセスを 2 回適用することで得られます。主な利点は、 kタイプやmタイプよりも抵抗性終端とのマッチングが優れていることです。ハーフ セクションのイメージ インピーダンスは片側にあり、もう片側には別のインピーダンスがあります。mタイプと同様に、このセクションは直列またはシャント セクションとして構成でき、イメージ インピーダンスには T 型と Π 型の 2 種類があります。直列構成をシャントmタイプに適用するか、シャント構成を直列mタイプに適用します。 mm ′型フィルタの利点は、回路が複雑になることで得られるため、通常はインピーダンス マッチングの目的で使用されるのみで、フィルタ本体には使用されません。 ${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {i}}\!\;m}\;}$${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {i}}\!\;mm'}\;}$

mm ′タイプの伝達関数は、mm ′ を積mm ′に設定したmタイプと同じです。インピーダンス整合を最適にするためにmとm ′の値を選択するには、整合が正確に行われる 2 つの周波数を設計者が選択する必要があります。他の周波数では多少の偏差が生じます。したがって、選択にはいくらかの余裕がありますが、Zobel は^{[9] 、}帯域の有効部分でインピーダンスの偏差が 2% 未満になる値m =0.7230 およびm ′ =0.4134 を提案しています。mm ′ =0.3 なので、このセクションは、インピーダンス整合の代替手段であるm =0.6のmタイプよりもはるかに高速なカットオフも実現します。

m導出プロセスを繰り返して継続し、m m ′ m″タイプなどを 生成することも可能である。ただし、得られる改善は反復ごとに減少し、通常は複雑さの増加に見合うものではない。

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  mm ′型ローパスフィルタシリーズハーフセクション
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  m型ローパス応答シングルハーフセクションm =0.6
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  mm ′型ローパス応答シングルハーフセクションmm ′ =0.3

m型フィルタの別のバリエーションは、ヘンドリック・ボーデによって説明されました。このフィルタは、ミッドシリーズ m 派生フィルタをプロトタイプとして使用し、ブリッジ抵抗を追加してこれをブリッジ T トポロジに変換します。このセクションの利点は、ゾベルフィルタよりも減衰極をカットオフ周波数にはるかに近づけることができることです。ゾベルフィルタは、インダクタ抵抗のためにmの値が極めて小さいと適切に動作しなくなります。動作の説明については、等価インピーダンス変換を参照してください。 ^[10]

Zobel ネットワークフィルタの特徴は、定抵抗のイメージ インピーダンスを備えていることです。このため、定抵抗ネットワークとも呼ばれています。明らかに、Zobel ネットワーク フィルタは終端とのマッチングに問題がなく、これが主な利点です。ただし、他のフィルタ タイプは、伝達関数がより急峻で、カットオフが鋭いです。フィルタリング アプリケーションでは、Zobel ネットワークの主な役割は、イコライゼーション フィルタとしての役割です。Zobel ネットワークは、他のイメージ フィルタとは異なるグループに属します。定抵抗であるため、他のイメージ フィルタ セクションと組み合わせて使用​​すると、終端の場合と同じマッチングの問題が発生します。Zobel ネットワークには、他の同等のイメージ セクションよりもはるかに多くのコンポーネントを使用するという欠点もあります。

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  ゾーベルネットワークブリッジTハイパスフィルタセクション
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  ゾーベルネットワークローパス応答単一セクション
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  ゾーベルネットワークローパス応答5セクション

イメージ法によるフィルタ設計の結果、応答への影響を考慮する場合、終端の影響を個別に計算する必要があります。応答が予測値から最も大きく逸脱するのは、カットオフに近い通過帯域です。その理由は 2 つあります。通過帯域の奥に進むにつれて、インピーダンス整合が徐々に改善されるため、誤差が制限されます。一方、ストップバンドの波は、不整合のために終端から反射されますが、通過時にフィルタのストップバンド除去によって 2 度減衰されます。そのため、ストップバンドのインピーダンス不整合は深刻である可能性がありますが、フィルタ応答への影響は限定的です。

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  イメージインピーダンスで正しく終端された場合の理論的なk型ローパスTフィルタ（2つの半分のセクション）応答
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  固定抵抗器で終端した場合の実用的なk型ローパスTフィルタ（2つの半分のセクション）応答

いくつかの L ハーフセクションをカスケード接続して複合フィルタを形成できます。複合イメージ フィルタを構築する際の最も重要なルールは、イメージ インピーダンスが常に同一のインピーダンスに面している必要があることです。つまり、同じものは常に同じ方向に向いている必要があります。T セクションは常に T セクションに面している必要があり、Π セクションは常に Π セクションに面している必要があり、kタイプは常にkタイプに面している必要があり (またはkタイプ インピーダンスを持つmタイプの側面に面している必要があり)、mタイプは常にmタイプに面している必要があります。さらに、mの値が異なるmタイプ インピーダンスは、互いに向き合うことはできません。また、カットオフ周波数の値が異なるセクションも、互いに向き合うことはできません。

フィルタの先頭と末尾のセクションは、周波数応答の形状ではなく、終端へのインピーダンス整合のために選択されることが多い。この目的のためには、m = 0.6のmタイプセクションが最も一般的に選択される。^[11]代替案として、 m =0.7230 およびm ′ =0.4134 のmm ′タイプセクションがあるが、このタイプのセクションはほとんど使用されない。このタイプには、以下で述べるいくつかの利点があるが、より複雑になるという欠点があり、また、フィルタ本体に定数kセクションが必要な場合は、 mm ′タイプをkタイプに接続するためにmタイプセクションを含める必要がある。^[12]

フィルタの内側のセクションは、最も大きな阻止帯域減衰を生成するため、定数kに選択されるのが最も一般的です。ただし、通過帯域から阻止帯域への低下率を改善するために、1 つまたは 2 つのmタイプ セクションを含めることもできます。この目的で使用されるmタイプには、低い値のm を選択します。 mの値が低いほど、遷移は速くなりますが、同時に阻止帯域減衰が少なくなるため、追加のkタイプ セクションを使用する必要性も高まります。インピーダンス整合にmm ′タイプを使用する利点は、インピーダンス整合ではmm ′ =0.3 であるため、これらのタイプの端部セクションはいずれにしても遷移が高速になることです ( m =0.6、mタイプよりもはるかに高速です) 。そのため、これを行うためにフィルタ本体のセクションは不要になる場合があります。

フィルタ本体でmタイプを使用するもう 1 つの理由は、ストップバンドに追加の減衰極を配置するためです。極の周波数はmの値に直接依存します。 mの値が小さいほど、極はカットオフ周波数に近くなります。逆に、mの値が大きいと、極はカットオフからさらに離れ、m =1 の極が無限大になり、応答がkタイプ セクションと同じになる限界まで離れます。この極に、エンド セクションの極とは異なるmの値を選択すると、カットオフ周波数付近で良好なストップバンド除去の帯域が広がる効果があります。このようにして、mタイプ セクションはカットオフ付近で良好なストップバンド除去を提供し、 k タイプ セクションはカットオフから遠い場所で良好なストップバンド除去を提供します。あるいは、エンド セクションの値が適切でない場合は、mの異なる値を持つmタイプ セクションをフィルタ本体で使用することもできます。ここでも、mm ′タイプはインピーダンス整合に使用するといくつかの利点があります。インピーダンス整合に使用されるmm ′タイプは、極をm =0.3 に配置します。ただし、インピーダンス整合セクションのもう半分は、m =0.723のmタイプである必要があります。^{[9]これにより、自動的にストップバンド除去の良好な広がりが得られ、遷移の急峻さの問題と同様に、} mm ′タイプセクションを使用すると、本体に 追加のmタイプセクションが不要になる可能性があります。

フィルタが伝送ラインで使用される場合、通過帯域応答の平坦性を改善するために定抵抗セクションも必要になることがあります。これは、伝送ライン応答が通常、完全に平坦ではないため必要です。これらのセクションは、ラインに対して予測可能なインピーダンスを示し、また、ラインの不確定なインピーダンスをフィルタの残りの部分から隠す傾向があるため、通常はラインに最も近い場所に配置されます。セクションがまったく異なる周波数帯域で動作している場合でも、定抵抗セクションを互いに一致させることに問題はありません。すべてのセクションを、固定抵抗のまったく同じイメージ インピーダンスにすることができます。

• 定数kフィルタ
• 一般的なmn_型画像フィルタ
• ラティスフィルター
• m派生フィルタ
• mm ′型フィルター
• ゾベルネットワーク

• 画像インピーダンス
• プロトタイプフィルター
• コイルの装填

• ジョージ・キャンベル
• ジョン・レンショー・カーソン
• オリバー・ヘヴィサイド
• オットー・ツォベル