マッチドZ変換法

マッチドZ変換法は、極零マッピング^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}または極零マッチング法^{[ 3 ]}とも呼ばれ、MPZまたはMZT ^{[ 4 ]}と略される、連続時間フィルタ設計を離散時間フィルタ（デジタルフィルタ）設計に変換する手法である。

この方法は、 s平面設計のすべての極と零点をz平面の位置にマッピングすることによって機能します。 $z=e^{sT}$ サンプル間隔の場合 $T=1/f_{\mathrm {s} }$ ^{[ 5 ]} したがって、伝達関数を持つアナログフィルタは次のようになります。

H(s)=k_{\mathrm {a} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-\xi _{i})}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}

デジタル伝達関数に変換される

H(z)=k_{\mathrm {d} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(1-e^{\xi _{i}T}z^{-1})}{\prod _{i=1}^{N}(1-e^{p_{i}T}z^{-1})}}

利益 $k_{\mathrm {d} }$ 目的のゲインを正規化するために調整する必要があり、通常はDCでのアナログフィルタのゲインに合わせるように設定して、 $s=0$ そして $z=1$ そして解く $k_{\mathrm {d} }$ [ ³^]^[⁶^]

マッピングはs平面を包み込むので $j\omega$ z平面の単位円の周りの軸を繰り返し動かすと、ナイキスト周波数よりも大きい零点（または極）はエイリアシングされた位置にマッピングされます。^{[ 7 ]}

（一般的な）アナログ伝達関数が零点よりも極が多い場合、零点は $s=\infty$ オプションでナイキスト周波数にシフトするには、 $z=-1$ 伝達関数は $z\rightarrow -1$ 双一次変換(BLT)とほぼ同じ方法で。^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

この変換は安定性と最小位相を維持するが、時間領域応答も周波数領域応答も維持しないため、広く使用されていない。^{[ 8 ]}^{[ 7 ]} より一般的な方法としては、BLT 法とインパルス不変法がある。^{[ 4 ]}ただし、MZT 法は BLT 法よりも高周波応答の誤差が少ないため、ゼロを追加することで修正しやすく、これを MZTi (「改良」の略) と呼ぶ。^{[ 9 ]}

デジタル制御分野におけるマッチドZ変換法の具体的な応用例として、アッカーマンの公式が挙げられます。これは、制御可能なシステムの極を、一般的には不安定な位置（またはその近傍）から安定した位置へと変更するものです。

参考文献

1 2 Won Young Yang (2009). Signals and Systems with MATLAB . Springer. p. 292. ISBN 978-3-540-92953-6。
↑ Bong Wie (1998).宇宙機の力学と制御. AIAA. p. 151. ISBN 978-1-56347-261-9。
1 2 3アーサー・G・O・ムタンバラ（1999）。制御システムの設計と解析。CRC Press。p. 652。ISBN 978-0-8493-1898-6。
1 2 Al-Alaoui, MA (2007 年 2 月)「アナログ-デジタル変換への新しいアプローチ」IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers . 54 (2): 338–350 . doi : 10.1109/tcsi.2006.885982 . ISSN 1549-8328 . S2CID 9049852 .
↑ SV Narasimhan および S. Veena (2005).信号処理: 原理と実装. Alpha Science Int'l Ltd. p. 260. ISBN 978-1-84265-199-5。
1 2フランクリン、ジーン F. (2015)。動的システムのフィードバック制御。パウエル、J. デビッド、エマミ=ナイニ、アッバス (第 7版)。ボストン: ピアソン。ページ607–611。ISBN 978-0133496598. OCLC 869825370 .物理システムは零点よりも極が多いことが多いため、z = -1 に零点を任意に追加することが有用です。
1 2 3ラビナー、ローレンス R; ゴールド、バーナード (1975).デジタル信号処理の理論と応用. ニュージャージー州エングルウッド・クリフス: プレンティス・ホール. pp. 224–226 . ISBN 0139141014デジタルシステムにz = -1の位置に人工的にゼロを追加するという便宜的な方法が提案されているが、この場当たり的な手法はせいぜい一時しのぎの対策に過ぎない。一般に、インパルス不変変換または双線形変換の使用は、マッチドz変換よりも好ましい。
↑ジャクソン、リーランド B. (1996).デジタルフィルタと信号処理. Springer Science & Business Media. p. 262. ISBN 9780792395591この方法で完全に使用可能なフィルタを設計することは可能ですが、この変換によって特別な時間領域または周波数領域の特性が保持されることはなく、広く使用されていません。
↑ Ojas, Chauhan; David, Gunness (2007-09-01). "スピーカーイコライゼーションのためのマッチドZ変換フィルタ（"MZTi")）の振幅応答の最適化" . Audio Engineering Society . 2019年7月27日にオリジナルからアーカイブ済み。代替URL

[:3-1] 1 2 Won Young Yang (2009). Signals and Systems with MATLAB . Springer. p. 292. ISBN 978-3-540-92953-6。

[2] Bong Wie (1998).宇宙機の力学と制御. AIAA. p. 151. ISBN 978-1-56347-261-9。

[:1-3] 1 2 3アーサー・G・O・ムタンバラ（1999）。制御システムの設計と解析。CRC Press。p. 652。ISBN 978-0-8493-1898-6。

[:4-4] 1 2 Al-Alaoui, MA (2007 年 2 月)「アナログ-デジタル変換への新しいアプローチ」IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers . 54 (2): 338–350 . doi : 10.1109/tcsi.2006.885982 . ISSN 1549-8328 . S2CID 9049852 .

[5] SV Narasimhan および S. Veena (2005).信号処理: 原理と実装. Alpha Science Int'l Ltd. p. 260. ISBN 978-1-84265-199-5。

[:2-6] 1 2フランクリン、ジーン F. (2015)。動的システムのフィードバック制御。パウエル、J. デビッド、エマミ=ナイニ、アッバス (第 7版)。ボストン: ピアソン。ページ607–611。ISBN 978-0133496598. OCLC 869825370 .物理システムは零点よりも極が多いことが多いため、z = -1 に零点を任意に追加することが有用です。

[:0-7] 1 2 3ラビナー、ローレンス R; ゴールド、バーナード (1975).デジタル信号処理の理論と応用. ニュージャージー州エングルウッド・クリフス: プレンティス・ホール. pp. 224–226 . ISBN 0139141014デジタルシステムにz = -1の位置に人工的にゼロを追加するという便宜的な方法が提案されているが、この場当たり的な手法はせいぜい一時しのぎの対策に過ぎない。一般に、インパルス不変変換または双線形変換の使用は、マッチドz変換よりも好ましい。

[8] ジャクソン、リーランド B. (1996).デジタルフィルタと信号処理. Springer Science & Business Media. p. 262. ISBN 9780792395591この方法で完全に使用可能なフィルタを設計することは可能ですが、この変換によって特別な時間領域または周波数領域の特性が保持されることはなく、広く使用されていません。

[9] Ojas, Chauhan; David, Gunness (2007-09-01). "スピーカーイコライゼーションのためのマッチドZ変換フィルタ（"MZTi")）の振幅応答の最適化" . Audio Engineering Society . 2019年7月27日にオリジナルからアーカイブ済み。代替URL

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