インパルス不変性

インパルス不変性は、連続時間フィルタから離散時間無限インパルス応答(IIR) フィルタを設計する手法であり、連続時間システムのインパルス応答をサンプリングして離散時間システムのインパルス応答を生成します。離散時間システムの周波数応答は、連続時間システムの周波数応答のシフトされたコピーの合計になります。連続時間システムがサンプリングのナイキスト周波数未満の周波数にほぼ帯域制限されている場合、離散時間システムの周波数応答は、ナイキスト周波数未満の周波数ではほぼそれと同じになります。

連続時間システムのインパルス応答 は、サンプリング周期でサンプリングされ、離散時間システムのインパルス応答 が生成されます。 ${\displaystyle h_{c}(t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle h[n]=Th_{c}(nT)\,}$

したがって、2つのシステムの周波数応答は次のように関係している。

${\displaystyle H(e^{j\omega })={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{TH_{c}\left(j{\frac {\omega }{T}}+j{\frac {2{\pi }}{T}}k\right)}\,}$

連続時間フィルタが近似的に帯域制限されている場合（つまり、のとき）、離散時間システムの周波数応答は、サンプルあたりπラジアン未満（ナイキスト周波数1/(2 T ) Hz未満）の周波数に対して、連続時間システムの周波数応答と近似します。 ${\displaystyle H_{c}(j\Omega )<\delta }$${\displaystyle |\Omega |\geq \pi /T}$

${\displaystyle H(e^{j\omega })=H_{c}(j\omega /T)\,}$のために${\displaystyle |\omega |\leq \pi \,}$

エイリアシングが発生することに注意してください。これには、ナイキスト周波数より低いエイリアシングも含まれ、連続時間フィルタの応答がその周波数より上ではゼロ以外になります。双線形変換は、インパルス不変性の代替手段であり、インパルス不変性のように円形の重なりで周波数を線形にマッピングするのではなく、連続時間システムの周波数応答を無限周波数まで離散時間の場合のナイキスト周波数までの周波数範囲にマッピングする異なるマッピングを使用します。

における連続極の場合、システム関数は部分分数展開で次のように表される。 ${\displaystyle s=s_{k}}$

${\displaystyle H_{c}(s)=\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{s-s_{k}}}\,}$

したがって、逆ラプラス変換を用いると、インパルス応答は

${\displaystyle h_{c}(t)={\begin{cases}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}t}},&t\geq 0\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

対応する離散時間システムのインパルス応答は次のように定義される。

${\displaystyle h[n]=Th_{c}(nT)\,}$

${\displaystyle h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}u[n]}\,}$

離散時間インパルス応答にZ変換を実行すると、次の離散時間システム関数が生成されます。

${\displaystyle H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}\,}$

したがって、連続時間システム関数の極は、z = e ^{s _k T}の極に変換されます。ゼロが存在する場合、それほど単純にはマッピングされません。^{[説明が必要]}

システム関数に極だけでなく零点がある場合、それらは同じ方法でマッピングできますが、結果はもはやインパルス不変性の結果ではありません。離散時間インパルス応答は、連続時間インパルス応答のサンプルと単純に等しくありません。この方法は、マッチド Z 変換法、または極零点マッピングとして知られています。

連続時間システムのs = s _kにおける極は、離散時間システムの z = exp( s _k T ) における極に変換されるため、 s平面の左半分の極はz平面の単位円の内側にマッピングされます。したがって、連続時間フィルタが因果的で安定している場合、離散時間フィルタも因果的で安定していることになります。

因果連続時間インパルス応答が で不連続性を持つ場合、上記の式は矛盾します。^[1] これは、の右極限と左極限が異なり、 は実際にはその平均値、つまり右の値の半分のみ に寄与するはずであるためです。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle h_{c}(0)}$${\displaystyle h_{c}(0_{+})}$${\displaystyle h[0]}$

この修正により

${\displaystyle h[n]=T\left(h_{c}(nT)-{\frac {1}{2}}h_{c}(0_{+})\delta [n]\right)\,}$

${\displaystyle h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}}\left(u[n]-{\frac {1}{2}}\delta [n]\right)\,}$

離散時間インパルス応答にZ変換を実行すると、次の離散時間システム関数が生成されます。

${\displaystyle H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}-{\frac {T}{2}}\sum _{k=1}^{N}A_{k}}.}$

不連続性のないフィルターの場合、2 番目の合計はゼロになります。そのため、これを無視しても安全であることが多いです。

• 双一次変換
• マッチドZ変換法