壁の法則

流体力学において、壁の法則（対数壁法則とも呼ばれる）は、ある点における乱流の平均速度は、その点から「壁」、つまり流体領域の境界までの距離の対数に比例すると述べている。この壁の法則は、ハンガリー系アメリカ人の数学者、航空宇宙技術者、物理学者である セオドア・フォン・カルマンによって1930年に初めて発表された。^[1]これは、自然の流れの速度プロファイル全体に対する良い近似ではあるが、技術的には壁に近い部分（流れの高さの20%未満）にのみ適用可能である。^[2]

壁の対数法則は、壁と平行な平均速度に対する自己相似解であり、高レイノルズ数の流れ（ほぼ一定のせん断応力を持つ重なり領域で、壁から（直接的な）粘性効果が無視できるほど遠い場合）に有効である：^[3]

${\displaystyle u^{+}={\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+},}$  と​  ${\displaystyle y^{+}={\frac {y\,u_{\tau }}{\nu }},}$   ${\displaystyle u_{\tau }={\sqrt {\frac {\tau _{w}}{\rho }}}}$    ${\displaystyle u^{+}={\frac {u}{u_{\tau }}}}$

どこ

実験から、フォン・カルマン定数は滑らかな壁に対してはとなることが分かっています。 ^[3]${\displaystyle \kappa \approx 0.41}$${\displaystyle C^{+}\approx 5.0}$

次元を考慮すると、壁の対数法則は次のように表される。^[4]

${\displaystyle {u}={\frac {u_{\tau }}{\kappa }}\ln \,{\frac {y}{y_{0}}}\ }$

ここで、y _{0 は、}壁の法則によって与えられた理想化された速度がゼロになる境界からの距離です。これは、壁の法則によって定義された乱流速度プロファイルが層流サブレイヤーには適用されないため、必然的にゼロではありません。ゼロになる壁からの距離は、層流サブレイヤーの厚さと、それが流れる表面の粗さを比較することによって決定されます。厚さ の壁近くの層流サブレイヤーと特徴的な粗さの長さスケールの場合、^[2]${\displaystyle \delta _{\nu }}$${\displaystyle k_{s}}$

直感的に言えば、これは、粗さ要素が層流サブレイヤー内に隠れている場合、流れの主要部分に突き出ている場合と比べて、壁面速度プロファイルの乱流法則に非常に異なる影響を与えることを意味します。

これは境界レイノルズ数 でより正式に定式化されることが多く、ここで ${\displaystyle Re_{w}}$

${\displaystyle Re_{w}={\frac {u_{\tau }k_{s}}{\nu }}.\ }$

流れは では水力学的に滑らか、 では水力学的に粗く、中間の値では遷移的である。^[2]${\displaystyle Re_{w}$${\displaystyle Re_{w}>100}$

の値は次のように与えられる: ^{[2] [5]}${\displaystyle y_{0}}$

中間値は一般的に経験的に導かれたニクラス図によって与えられますが^[2]、この範囲を解くための解析的手法も提案されています^{[6] 。}

自然の河川システムのような粒度境界のある水路の場合、

${\displaystyle k_{s}\approx 3.5D_{84},\ }$

ここで、これは河床材料の粒子の84番目に大きいパーセンタイルの平均直径である。^[7]${\displaystyle D_{84}}$

バレンブラットらの研究は、壁の対数法則（レイノルズ数が無限大になる極限）の他に、レイノルズ数に依存するべき乗法則の解が存在することを示した。 ^{[8] [9]} 1996年、シプラはこれらのべき乗法則の記述を裏付ける実験的証拠を提出した。^[10]この証拠自体は、他の専門家に完全には受け入れられていない。^{[11] 2001年、オーバーラックは、}リー群アプローチの対称性を利用して、レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式から直接、壁の対数法則とべき乗法則の両方を導出したと主張した。^{[3] [12]}しかし、2014年にフリューワーら^[13]はこれらの結果を否定した。

スカラー（特に温度）については、壁の自己相似対数法則が理論化され（最初にBA Kader ^[14]によって定式化）、実験的および計算的研究で観察されています。^{[15] [16] [17] [18]}多くの場合、圧縮性、可変特性、および実流体効果を考慮するには、壁の元の法則の定式化（通常は積分変換による）の拡張が一般的に必要です。

壁の法則が適用される領域より下では、摩擦速度に関する他の推定値が存在する。^[19]

粘性サブレイヤーと呼ばれる 5 壁単位未満の領域では、 の変化はおよそ1:1 であり、次のようになります。 ${\displaystyle u^{+}}$${\displaystyle y^{+}}$

のために ${\displaystyle y^{+}$

${\displaystyle u^{+}=y^{+}}$

どこ、

この近似値は 5 壁ユニット以上でも使用できますが、誤差は 25% 以上になります。 ${\displaystyle y^{+}=12}$

バッファ層（5 壁ユニットから 30 壁ユニットまで）では、どちらの法則も当てはまりません。

のために ${\displaystyle 5<y^{+}$

${\displaystyle u^{+}\neq y^{+}}$

${\displaystyle u^{+}\neq {\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+}}$

どちらの法則からも最も大きな変化は、2 つの方程式が交差する 付近で発生します。つまり、11 壁単位より前では線形近似の方が正確で、11 壁単位より後では対数近似を使用する必要がありますが、どちらも 11 壁単位では比較的正確ではありません。 ${\displaystyle y^{+}=11}$

平均流速プロファイルは、壁近傍の乱流運動エネルギー関数とvan Driest混合長方程式に基づく渦粘性定式化により改善されます。完全に発達した乱流チャネル流のDNSデータとの比較では、良好な一致が見られました。^[20]${\displaystyle u^{+}}$${\displaystyle y^{+}$ ${\displaystyle \kappa^{+}}$${\displaystyle 109<Re_{\tau }<2003}$

• Chanson, H. (2009)、応用流体力学：理想流体と実流体の入門、CRC Press、Taylor & Francis Group、ライデン、オランダ、478ページ、ISBN 978-0-415-49271-3
• シュリヒティング、ヘルマン。 Gersten, K. (2000)、境界層理論(第 8 改訂版)、Springer、ISBN 3-540-66270-7

• Buschmann, Matthias H.; Gad-el-Hak, Mohamed (2009)、「乱流チャネルおよびパイプ流の非対数的挙動の証拠」、AIAA Journal、47 (3): 535、Bibcode :2009AIAAJ..47..535B、doi :10.2514/1.37032

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