ブラシウス境界層

物理学と流体力学において、ブラシウス境界層（ポール・リチャード・ハインリヒ・ブラシウスにちなんで命名）は、一定の一方向の流れに平行に保たれた半無限プレート上に形成される安定した2次元層流境界層を表します。後に、フォークナーとスカンはブラシウスの解をくさび流れ（フォークナー・スカン境界層）に一般化しました。くさび流れとは、プレートが流れに平行ではない流れです。

ルートヴィヒ・プラントル^[1]は、スケーリング論を用いて、ナビエ・ストークス方程式の項の約半分は境界層流れでは無視できると主張した（プレートの前縁付近の小さな領域を除く）。これにより、境界層方程式と呼ばれる簡約された方程式群が導かれる。一定の粘性と密度を持つ定常非圧縮流れの場合、これらは次のように表される。

• 質量の連続性:${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}+{\dfrac {\partial v}{\partial y}}=0}$
• ${\displaystyle x}$-勢い:${\displaystyle u{\dfrac {\partial u}{\partial x}}+v{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial x}}+{\nu }{\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$
• ${\displaystyle y}$-勢い:${\displaystyle 0=-{\dfrac {\partial p}{\partial y}}}$

ここで、座標系は流れの方向にプレートに平行を指し、座標はプレートに垂直を指すように選択され、およびは速度成分、は圧力、は密度、は動粘性です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \nu}$

この方程式の相似解は、薄い平板上の流れなど、様々なタイプの流れに対して多数見つかっている。相似という用語は、流れの異なる位置での速度プロファイルが、スケーリング係数を除けば同じであるという特性を指す。相似スケーリング係数は、偏微分方程式のセットを、比較的簡単に解ける非線形常微分方程式のセットに簡約する。プラントルの学生の一人であるポール・リチャード・ハインリッヒ・ブラシウス^[2]は、薄い平板に沿った 圧力勾配/が境界層領域の圧力勾配と比較して無視できる場合の流れに対応する相似モデルを開発した。${\displaystyle {\partial p}}$${\displaystyle {\partial x}}$

ブラシウスは、 の場合、プラントル運動量方程式は自己相似解を持つことを示した。自己相似解が存在するのは、方程式と境界条件が変換に対して不変であるためである。 ${\displaystyle {\partial p}/{\partial x}=0}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}}}$$

ここで は任意の正の定数である。彼は自己相似変数を導入した。 ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \eta ={\dfrac {y}{\delta (x)}}=y{\sqrt {\dfrac {U}{\nu x}}},\quad \psi ={\sqrt {\nu Ux}}f(\eta )}$$

ここで、は境界層の厚さ、は自由流の速度、は流れ関数です。流れ関数は正規化関数に正比例しており、これは相似厚さ変数の関数のみです。これは速度成分に直接つながります。^{[3] : 136}${\textstyle \delta (x)\propto {\sqrt {\nu x/U}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle f(\eta )}$

$${\displaystyle u(x,y)={\dfrac {\partial \psi }{\partial y}}=Uf'(\eta ),\quad v(x,y)=-{\dfrac {\partial \ psi }{\partial x}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\nu U}{x}}}[\eta f'(\eta )-f(\eta )]}$$

ここで、プライムは に関する微分を表す。これを-運動量方程式に代入すると、ブラシウス方程式が得られる。 ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle 2f^{(3)}+f''f=0}$$

境界条件は、滑りなし条件、壁の不浸透性、境界層外の自由流速度 である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,0)&=0&\rightarrow &&f'(0)&=0\\v(x,0)&=0&\rightarrow &&f(0)&=0\\u(x,\infty )&=U&\rightarrow &&f'(\infty )&=1\end{aligned}}}$$

これは、例えば射撃法を用いて数値的に解くことができる3 次非線形常微分方程式です。

の解とその導関数がわかれば、プラントルの運動量方程式を無次元化して整理し、圧力勾配/ を次のように得ることができる^{[4] :46}${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\partial p}}$${\displaystyle {\partialy}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{U^{2}\delta ^{*}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial y}}\quad =\quad {\frac {1}{2}}\eta f^{(3)}\;+\;{\frac {1}{2}}f''\;-\;{\frac {1}{4}}ff'\;+\;{\frac {1}{4}}\eta f'^{2}\;+\;{\frac {1}{4}}\eta ff''\quad ,}$$ ここで、Blasius 変位厚さです。 ${\displaystyle \delta^{*}}$

ブラシウス法線速度と- 圧力勾配は、大きな-値でそれぞれ 0.86 と 0.43 に漸近しますが、自由流速度に漸近します。がゼロに近づくにつれて、スケールされた- 圧力勾配は 0.16603 になります。 ${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle y}$

小さいの限定形は ${\displaystyle \eta \ll 1}$

$${\displaystyle f(\eta )={\frac {1}{2}}\alpha \eta ^{2}+O(\eta ^{5}),\qquad \alpha =0.332057336215196}$$

そして大きい場合の極限形は^[5]である。${\displaystyle \eta \gg 1}$

$${\displaystyle f(\eta )=\eta -\beta +O\left((\eta -\beta )^{-2}e^{-{\frac {1}{2}}(\eta -\beta )^{2}}\right),\qquad \beta =1.7207876575205}$$

境界層の特性パラメータは、2シグマ粘性境界層厚さ^[6] 、変位厚さ、運動量厚さ、壁面せん断応力、およびプレートの長さに作用する抗力である。ブラシウス解の場合、これらは次のように与えられる。 ${\displaystyle \delta _{v}}$${\displaystyle \delta ^{*}}$${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \tau _{w}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle l}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{99}&\approx \delta _{v}=5.29{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\delta ^{*}&=\delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)dy=1.72{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\theta &=\delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)dy=0.665{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\tau _{w}&=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|_{y=0}=0.332{\sqrt {\frac {\rho \mu U^{3}}{x}}}\\[1ex]F&=2\int _{0}^{l}\tau _{w}dx=1.328{\sqrt {\rho \mu lU^{3}}}\end{aligned}}}$$

抗力の計算式における要素は、プレート両側を考慮することです。 ${\displaystyle 2}$

フォン・カルマンの運動量積分とブラシウス プロファイルのエネルギー積分は、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}&={\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}\\{\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}&={\frac {\partial \delta _{3}}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}\end{aligned}}}$$

ここで、は壁面せん断応力、は壁面注入/吸引速度、はエネルギー散逸率、は運動量厚さ、はエネルギー厚さです。 ${\displaystyle \tau _{w}}$${\displaystyle v_{w}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta _{2}}$${\displaystyle \delta _{3}}$

ブラシウス解は数学的観点からは一意ではありません。^{[7] : 131}ルートヴィヒ・プラントル自身が転置定理でそれを指摘し、キース・スチュワートソン、ポール・A・リビーなどの一連の研究者によって分析されました。^[8]この解には、それぞれが同次条件と無限大での指数関数的減衰を伴う線形摂動方程式を満たす、無限離散固有関数の集合の任意の1つを追加できます。これらの固有関数の最初のものは、原点の有効位置の不確実性を表す1次ブラシウス解の導関数であることがわかります。 ${\displaystyle x}$

この境界層近似は、壁から遠く離れた場所ではゼロではない垂直速度を予測します。これは、次の次の外側の非粘性層と対応する内側の境界層の解で考慮する必要があり、それによって新しい垂直速度が予測されます。ブラシウス方程式からの1次の境界層問題に対する無限遠での垂直速度は、

$${\displaystyle v=0.86{\sqrt {\frac {\nu U}{x}}}}$$

2次境界層の解はゼロである。外側の非粘性境界層と内側の境界層の解は^{[7] ：134 である。}

$${\displaystyle \psi (x,y)\sim {\begin{cases}y-{\sqrt {\frac {\nu }{Ux}}}\beta \ \Re {\sqrt {x+iy}},&{\text{outer }}\\{\sqrt {\nu Ux}}f(\eta )+0,&{\text{inner}}\end{cases}}}$$

1 次境界問題と同様に、この解には無限の固有解のいずれかを追加できます。すべての解はレイノルズ数として考えることができます。 ${\displaystyle Re=Ux/\nu }$

2次の内部問題はゼロなので、3次の問題に対する対応する補正はゼロ、すなわち3次の外部問題は2次の外部問題と同じである。^{[7] ：139} 3次の補正の解は正確な式を持たないが、内部境界層の展開は次の形式になる。

$${\displaystyle \psi (x,y)\sim {\sqrt {2\nu Ux}}f(\eta )+0+\left({\frac {\nu }{Ux}}\right)^{3/2}\left[\log \left({\frac {Ux}{\nu }}\right){\sqrt {\frac {x}{2}}}f_{32}(\eta )+{\frac {1}{\sqrt {2x}}}f_{31}(\eta )\right]+\cdot \cdot \cdot }$$

ここで、は 1 次境界層解の最初の固有解 (これは1 次ブラシウス解の導関数) であり、 の解は一意ではないため、問題には未定定数が残ります。 ${\displaystyle f_{32}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{31}}$

吸引は境界層の剥離を遅らせる一般的な方法の1つです。^[9]壁での均一な吸引速度を考えてみましょう。 ブライアン・スウェイツ^[10]は、この問題の解は、前縁に非常に近い距離では吸引がない場合のブラシウス解と同じであることを示しました。変換を導入すると、 ${\displaystyle v(0)=-V}$

$${\displaystyle \psi ={\sqrt {2U\nu x}}f(\xi ,\eta ),\quad \xi =V{\sqrt {\frac {x}{2U\nu }}},\quad \eta ={\sqrt {\frac {U}{2\nu x}}}y}$$

境界層方程式にこれを当てはめると、

$${\displaystyle u=U{\frac {\partial f}{\partial \eta }},\quad v=-{\sqrt {\frac {U\nu }{2x}}}\left(f+\xi {\frac {\partial f}{\partial \xi }}-\eta {\frac {\partial f}{\partial \eta }}\right),}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial \eta ^{3}}}+f{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \eta ^{2}}}+\xi \left({\frac {\partial f}{\partial \xi }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \eta ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \xi \partial \eta }}{\frac {\partial f}{\partial \eta }}\right)=0}$$

境界条件付きで、

$${\displaystyle f(\xi ,0)=\xi ,\quad {\frac {\partial f}{\partial \eta }}(\xi ,0)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial \eta }}(\xi ,\infty )=0.}$$

イグリッシュは1944年に完全な数値解を得た。^[11]さらにフォン・ミーゼス変換^[12]を導入する と

$${\displaystyle \sigma =2\xi ,\quad \psi -Vx={\frac {U\nu }{2V}}\sigma \tau ^{2},\quad \phi ={\frac {4u^{2}}{U^{2}}},\quad \chi =U^{2}-u^{2}=U^{2}\left(1-{\frac {V}{4}}\right),}$$

すると方程式は

$${\displaystyle {\sqrt {\phi }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+\left(2\sigma \tau +\tau ^{3}-{\frac {\sqrt {\phi }}{\tau }}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \tau }}=2\sigma \tau ^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial \sigma }}}$$

境界条件付きで、

$${\displaystyle \phi (0,\tau )=4,\quad \phi (\sigma ,0)=0,\quad \phi (\sigma ,\infty )=4.}$$

この放物型偏微分方程式は数値的に開始して進行することができます。 ${\displaystyle \sigma =0}$

吸引による対流と固体壁による拡散は反対方向に作用するため、境界層が無限に成長するブラシウスプロファイルとは異なり、プロファイルは大きな距離で定常解に達する。この解は、グリフィスとFWメレディスによって初めて得られた。^[13]プレートの先端からの距離については、境界層の厚さと解は両方とも次のように与えられる値 に依存しない。${\displaystyle x\gg \nu U/V^{2}}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \delta ={\frac {\nu }{V}},\quad u=U(1-e^{-yV/\nu }),\quad v=-V.}$$

スチュワートソン^[14]は漸近吸引プロファイルへの完全解のマッチングを研究した。

ここでは、壁面での特定のエンタルピー を持つブラシウス境界層を研究します。密度、粘性、熱伝導率はここでは一定ではありません。質量、運動量、エネルギーの保存則は次のようになります。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial y}}&=0,\\\rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right),\\\rho \left(u{\frac {\partial h}{\partial x}}+v{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\mu }{Pr}}{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)+\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

ここで、は無限大で評価された特性を表す接尾辞を持つプラントル数である。境界条件は ${\displaystyle Pr=c_{p_{\infty }}\mu _{\infty }/\kappa _{\infty }}$${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle u=v=h-h_{w}(x)=0\ {\text{for}}\ y=0,}$$ $${\displaystyle u-U=h-h_{\infty }=0\ {\text{for}}\ y=\infty \ {\text{or}}\ x=0.}$$

非圧縮境界層とは異なり、相似解は変換が

$${\displaystyle x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}},\quad h\rightarrow h,\quad \rho \rightarrow \rho ,\quad \mu \rightarrow \mu }$$

が成り立ち、これは の場合にのみ可能です。 ${\displaystyle h_{w}={\text{constant}}}$

ハワース・ドロドニツィン変換を用いた自己相似変数の導入

$${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {U}{2\nu _{\infty }x}}}\int _{0}^{y}{\frac {\rho }{\rho _{\infty }}}dy,\quad f(\eta )={\frac {\psi }{\sqrt {2\nu _{\infty }Ux}}},\quad {\tilde {h}}(\eta )={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {\rho }}={\frac {\rho }{\rho _{\infty }}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}}}$$

方程式は次のように簡約されます 。 ここでは比熱比、はマッハ数、 は音速です。方程式はが指定されると解くことができます。境界条件は $${\displaystyle {\begin{aligned}2({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f'')'+ff''=0,\\({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}{\tilde {h}}')'+Prf{\tilde {h}}'+Pr(\gamma -1)M^{2}{\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f''^{2}=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M=U/c_{\infty }}$${\displaystyle c_{\infty }}$${\displaystyle {\tilde {\rho }}={\tilde {\rho }}({\tilde {h}}),\ {\tilde {\mu }}={\tilde {\mu }}({\tilde {h}})}$

$${\displaystyle f(0)=f'(0)=\theta (0)-{\tilde {h}}_{w}=f'(\infty )-1={\tilde {h}}(\infty )-1=0.}$$

空気について一般的に使用される表現は です。 が一定の場合は です。 プレート温度が周囲と同じ温度に維持されていても、境界層内の温度は散逸加熱によって上昇します。もちろん、これらの散逸効果はマッハ数が大きい場合にのみ顕著になります。 ${\displaystyle \gamma =1.4,\ Pr=0.7,\ {\tilde {\rho }}={\tilde {h}}^{-1},\ {\tilde {\mu }}={\tilde {h}}^{2/3}}$${\displaystyle c_{p}}$${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {\theta }}=T/T_{\infty }}$ ${\displaystyle M}$

境界層方程式は放物型偏微分方程式なので、この問題の自然座標は放物型座標である。^{[7] : 142}直交座標から 放物型座標への変換は次のように与えられる。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$

$${\displaystyle x+iy={\tfrac {1}{2}}(\xi +i\eta )^{2},\quad x={\tfrac {1}{2}}(\xi ^{2}-\eta ^{2}),\quad y=\xi \eta .}$$

• ファルクナー・スカン境界層
• エモンズ問題

• [1] - Blasiusの原論文の英訳 - NACA技術覚書1256。

• Parlange, JY; Braddock, RD; Sander, G. (1981). 「Blasius 方程式の解に対する解析的近似」. Acta Mech . 38 (1–2): 119–125. Bibcode :1981AcMec..38..119P. doi :10.1007/BF01351467. S2CID  122114667.
• ポズリキディス、C. (1998)。理論および計算流体力学入門。オックスフォード。ISBN 978-0-19-509320-9。
• シュリヒティング、H. (2004)。境界層理論。スプリンガー。ISBN 978-3-540-66270-9。
• ウィルコックス、デビッド C.基礎流体力学DCW インダストリーズ社 2007
• ボイド、ジョン P. (1999)、「複素平面におけるブラシウス関数」、実験数学、8 (4): 381–394、doi :10.1080/10586458.1999.10504626、ISSN  1058-6458、MR  1737233